Тема 11. Математическое доказательство Контрольные вопросы по теории

1. Что называется умозаключением?

2. Какое умозаключение называется дедуктивным?

3. Дайте определения неполной и полной индукции.

4. Дайте определение умозаключения по аналогии.

5. Запишите схемы дедуктивных умозаключений и докажите тождественную истинность формул, лежащих в основе этих правил.

6. Как проверить правильность умозаключений с помощью кругов Эйлера? Какие еще известны способы проверки правильности умозаключений?

7. Какое умозаключение называется софизмом?

8. Что значит доказать утверждение?

9. Какие доказательства различают по способу ведения?

10. Опишите способы ведения рассуждения при различных формах прямого и косвенного доказательства.

Практические задания

1. В каждом из следующих умозаключений выделите посылки и заключение.

а) Если число натуральное, то оно целое; если число целое, то оно рациональное. Следовательно, если число натуральное, то оно рациональное.

б) Всякое натуральное число целое; число 138 – целое. Следовательно, оно натуральное.

2. Выделите логическую форму умозаключений и укажите те из них, которые построены по правилу: заключения, отрицания, силлогизма и контрапозиции.

а) Все учащиеся нашего класса в каникулы ходили в театр, Петя не был в театре в дни каникул. Следовательно, Петя – учащийся не нашего класса.

б) Все деревья являются растениями. Сосна – дерево. Значит, сосна – растение.

в) Каждый учащийся нашего класса занимается в каком-то кружке. Петя занимается в кружке по рисованию. Следовательно, Петя учится в нашем классе.

г) Если треугольник прямоугольный, то в нем есть прямой угол. Следовательно, если в треугольнике нет прямого угла, то он не прямоугольный.

д) Все студенты нашей группы приняли участие в конкурсе по решению задач. Сидорова учится в нашей группе. Значит, она принимала участие в конкурсе по решению задач.

е) Все квадраты являются прямоугольниками. Во всех прямоугольниках диагонали равны. Следовательно, в любом квадрате диагонали равны.

ж) Все реки впадают в моря. Волга впадает в море. Значит, Волга – река.

з) Если студент справился с контрольной работой по математике, то он будет допущен к экзамену. Петрова не допущена к экзамену по математике. Следовательно, она не справилась с контрольной работой.

и) Если числитель дроби меньше знаменателя, то дробь правильная. Если дробь правильная, то она меньше 1. Следовательно, если числитель дроби меньше знаменателя, то дробь меньше 1.

к) В любом квадрате диагонали взаимно перпендикулярны. В четырехугольнике ABCD диагонали не перпендикулярны. Следовательно, четырехугольник ABCD не квадрат.

л) Если число четное, то оно делится на 2. Следовательно, если число нечетное, то оно не делится на 2.

3. Докажите, что приведенные ниже умозаключения неправильны, подобрав опровергающий пример.

а) Все числа, делящиеся на 4, делятся на 2. Число 127 не делится на 4. Следовательно, 127 не делится на 2.

б) Все числа, делящиеся на 4, делятся на 2. Число 124 делится на 2. Следовательно, число 124 делится на 4.

в) Все притоки Волги протекают по территории России. Кама протекает по территории России. Следовательно, она является притоком Волги.

4. Может ли быть истинное заключение в неправильном умозаключении? Ответ проиллюстрируйте на примере.

5. Может ли в правильно построенном умозаключении получиться ложное заключение? Ответ проиллюстрируйте на примере.

6. Используя правила дедуктивных умозаключений, закончите умозаключение так, чтобы оно было верным.

а) Все имена собственные пишутся с большой буквы. Слово «Глазов» — ...

б) Одушевленные имена существительные отвечают на вопрос «кто?». Существительное «сад» — ...

в) Все студенты III курса педагогического факультета летом поедут работать в детский оздоровительный лагерь. Аня Иванова – ...

г) Все квадраты являются ромбами. Все ромбы ...

д) Если число делится на 2, то оно четное. Число 17 – ...

7. Постройте правильные умозаключения из следующих предложений:

а) В четырехугольнике ABCD все углы прямые. Четырехугольник ABCD — прямоугольник. Если в четырехугольнике все углы прямые, то он является прямоугольником.

б) Равные отрезки имеют равную длину. Отрезки АВ и CD не равны. Отрезки АВ и CD имеют разные длины.

в) В четырехугольнике ABCD все углы прямые. Четырехугольник ABCD – прямоугольник. Если четырехугольник является прямоугольником, то у него все углы прямые.

8. Восстановите пропущенную посылку в каждом из следующих умозаключений:

а) Треугольник АВС равнобедренный. Следовательно, в треугольнике АВС есть хотя бы две равные стороны.

б) Если числитель дроби больше знаменателя или равен ему, то дробь неправильная. Следовательно, у дроби числитель меньше знаменателя.

в) 25 и 37 – натуральные числа. Следовательно, 25 + 37 = 37 + 25.

г) Все ромбы являются параллелограммами. Следовательно, все квадраты являются параллелограммами.

д) Число 12 – натуральное, следовательно, оно положительное

9. Постройте умозаключение, доказывающее, что: а) 18 делится на 2; б) число 113 не делится на 6; в) дробь правильная; г) дробьнеправильная; д) 21 кратно 3; е) 121 не кратно 3.

10. Является ли рассуждение правильным? а) Колпак мой треугольный, треугольный мой колпак. Если он не треугольный, значит, он не мой колпак. б) Если на луне живут лунатики, то 2 · 2 = 4. Лунатики не живут на луне. Следовательно, 2 · 2  4.

11. Изобразите следующие высказывания с помощью кругов Эйлера:

а) все прямоугольники являются четырехугольниками;

б) некоторые учащиеся 1 В класса – отличники;

в) треугольник АВС прямоугольный;

г) число 3,2 не является натуральным;

д) ни одно число, запись которого оканчивается цифрой 1, не делится на 4.

12. Проверьте с помощью кругов Эйлера правильность следующих умозаключений:

а) Все глаголы отвечают на вопрос «что делать?» или «что сделать?». Слово «василек» не отвечает ни на один из этих вопросов. Следовательно, «василек» не является глаголом.

б) Все деревья являются растениями. Дуб – растение. Следовательно, дуб – дерево.

в) Если углы вертикальны, то они равны. Углы ABC и DEF не вертикальные. Следовательно,  АВС   DEF.

г) Все натуральные числа целые. Все целые числа рациональные. Следовательно, все натуральные числа рациональные.

д) Если четырехугольник является прямоугольником, то у него все углы прямые. ABCD – прямоугольник. Следовательно, все его углы прямые.

13. Проверьте правильность следующих умозаключений с помощью таблицы истинности:

а) Все студенты педфака проходят педагогическую практику. Таня Петрова прошла педагогическую практику. Следовательно, она является студенткой педфака.

б) Если завтра будет холодно и рукав будет почищен, то я надену теплое пальто. Завтра будет холодно, а рукав не будет почищен. Следовательно, я не надену теплое пальто.

14. Проверьте правильность следующих умозаключений методом от противного:

а) Будет пасмурная погода со снегом. Если будет снег, то будет и дождь. Если будет пасмурная погода с ветром, то дождя не будет. Вывод: ветра не будет.

б) На день рождения было решено купить астры или георгины. Было также решено, что купленные цветы должны быть светлыми и красными. В магазине выяснилось, что все светлые астры не красные. Вывод: были куплены георгины.

в) Известно, что посетитель буфета взял или кефир, или молоко, или сок. Если он взял кефир или молоко, то взятый им напиток был холодным. Если же он взял не холодный напиток, то это не сок. Вывод: посетитель взял холодный напиток.

в) Если Игорь переутомился или болен, то он раздражается и у него болит голова. Если у него болит голова, то он пьет лекарство от головной боли. Игорь сегодня не принимает лекарство от головной боли. Следовательно, Игорь не болен.

г) Если Олег приходит домой не поздно и в хорошем настроении, то он смотрит телевизор. Когда он смотрит телевизор, то всегда что-нибудь ест. Олег пришел домой не поздно и ничего не ест. Следовательно, он пришел домой в плохом настроении.

д) Если он обладает большими знаниями или удачлив, то он добьется цели. Если он не будет обладать большими знаниями, то он не сможет быть удачливым. Следовательно, если он не обладает большими знаниями, то он не добьется цели.

15. Найдите ошибку в каждом из следующих софизмов:

а) 4 p. = 40 000 к. Возьмем верное равенство: 2 р. = 200 к. и возведем его по частям в квадрат. Мы получим: 4 р. = 40 000 к.

б) 5 = 6. Возьмем верное числовое равенство: 35 + 10 – 45 = = 42 + 12 – 54. Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки. Получим: 5 · (7 + 2 – 9) = 6 · (7 + 2 – 9). Разделим обе части этого равенства на общий множитель (заключенный в скобки). Получаем 5 = 6.

в) 2 · 2 = 5. Имеем 4 : 4 = 5 : 5. Вынесем за скобки в каждой части его общий множитель. Получим: 4 · (1 : 1) = 5 · (1 : 1). Числа в скобках равны, поэтому 4 = 5, или 2 · 2 = 5.

г) 1 = – 1. Возьмем верное числовое равенство: 16 – 24 + 9 = = 4 – 12 + 9. Перепишем его в виде: (4 – 3)² = (2 – 3)². Значит, 4 – 3 = 2 – 3, т.е. 1 = – 1.

д) Любое число равно его половине. Возьмем два равных числа а и b, т.е. a = b. Обе части этого равенства умножим на a и затем вычтем из произведений по b². Получим: а² – b² = аb – b², или (а + b) (а – b) = = b(а – b). Отсюда а + b = b, или a + а = а, так как b = а. Значит, 2а = а, или а = .

16. Докажите, что если к произведению двух последовательных натуральных чисел прибавить большее из них, то получится квадрат большего числа.

17. Докажите, что значением выражения (х – 4)(2х + 1) является целое число, если х принимает значения – 1; 0; 1; 4.

18. Разность двух углов равна 10°. Докажите, что эти углы не могут быть вертикальными.

19. Докажите, что если х² + 3х + 1 < 0, то х < 0.

20. Каким числом может быть сумма двух четных чисел? Рассмотрите несколько частных случаев и выскажите предположение. Каким образом можно доказать его истинность?

21. Рассмотрите равенства: 1² = 1, 3² = 9, 5² = 25, 7² = 49. Выскажите какое-либо заключение относительно квадратов нечетных чисел и укажите возможный способ установления его истинности.

22. Покажите, что, обосновывая решение следующей задачи, младшие школьники могут использовать полную индукцию: «Можно ли утверждать, что значения всех нижеприведенных выражений одинаковы: 326 326 : 326; 236 236 : 236; 626 626 : 626?».

23. Выясните, каким образом учащиеся начальных классов убеждаются в истинности следующих высказываний: а) а + b = b + а; б) 0 + а = а.

24. По аналогии с признаками делимости на 3 и на 9 учащийся сформулировал такой признак делимости на 27: «Для того чтобы число делилось на 27, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр в записи этого числа делилась на 27». Верен ли вывод, сделанный учащимися?

25. Докажите следующие теоремы, основываясь на законе контрапозиции: а) Если сумма двух натуральных чисел равна 53, то одно из слагаемых не меньше 27. б) Если p · q – нечетное число, то p и q нечетны (p, q  N). в) Если т² + п²  0, то m  0 или п  0.