3 лаба численные методы

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Кафедра комплексной информационной безопасности электронно-

вычислительных систем (КИБЭВС)

Интерполяция и аппроксимация Отчет по лабораторной работе №3 по дисциплине «Численные методы»

Студент гр. 711-2

_______ Е. П. Толстолес

_______

Принял:

Ст. преподаватель кафедры КИБЕВС

_______ А. Ю. Якимук

_______

Томск 2022

1 Введение

Необходимо для функции ( ) = cos (6,64 2 + 2,49) вычислить интерполяционный полином и аппроксимирующую функцию.

Порядок действий:

индивидуальная функция.

2. Запрограммировать вычисление интерполяционного полинома Лагранжа

2 степени по заданным точкам.

3. По методу наименьших квадратов рассчитать параметры функции (̅ ) =2 + + аппроксимирующей функцию f(x) . Построить график

зависимости f(x) от x, вывести линии полиномиального (2 степени) тренда,

уравнение тренда и коэффициент детерминации R2.

Взять произвольный узел , > 2, промежуточную точку ( , +1), j>3, выбрать точку прогноза ̅> 11, и для всех 3 точек заполнить таблицу:

2

2 Ход работы

2.1Интерполяционный полином Лагранжа

Вобщем виде интерполяционный многочлен в форме Лагранжа записывается в следующем виде:

где n – степень полинома;

f( ) значение интерполирующей функции f(x) в точке ;

( ) базисные полиномы (множитель Лагранжа), которые определяются

Так, например, интерполяционный многочлен в форме Лагранжа,

проходящий через три заданные точки [x1, f(x1); x2, f(x2); x3, f(x3)] , будет записываться в следующем виде:

( − 0) ( − 2) (1 − 0) (1 − 2)

2.2 Аппроксимирующая функция по методу наименьших квадратов

3

Для расчета коэффициентов аппроксимирующей функции (̅) = 2 ++ применяется метод наименьших квадратов.

0 1 2|0

Расширенная матрица системы уравнений: [ 1 2 3|1], решив

2 3 4|2

которую получим искомые коэффициенты a, b,c.

Коэффициент детерминации ( 2) — это доля дисперсии, зависимой перемен-

ной, объясняемая рассматриваемой моделью. Более точно — это единица ми-

нус доля необъяснённой дисперсии (дисперсии случайной ошибки модели,

или условной по признакам дисперсии зависимой переменной) в дисперсии зависимой переменной. В случае линейной зависимости R2 является квадратом так называемого множественного коэффициента корреляции между зависимой переменной и объясняющими переменными.

Коэффициент корреляции:

= √1 − ∑( − )^2 ∑( − ̅^2)

1 ̅ = ∑

= 2 + +

Результаты работы программы представлены на рисунках 2.1 и 2.2.

4

Рисунок 2.2 – Продолжение вывода работы программы

2.3 Результаты вычислений

Результаты вычислений представлены в таблице 2.1.

Таблица 2.1 – Результаты вычислений

6

3Выводы

Врезультате выполнения данной лабораторной работы были получены навыки разработки программ, использующих в своей работе вычисление интерполяционного полином Лагранжа и вычисление аппроксимирующей функции по методу наименьших квадратов.

Отчет написан согласно ОС ТУСУР 2021.

7

Приложение А

(обязательное)

Листинг кода программы

#include <iostream> #include <cmath> #include <math.h> using namespace std;

double func(double x) { return cos(6.64*x*x+2.49); } //функция из задания

double n[14] = { 0,0.13,0.26,0.39,0.52,0.65,0.78,0.91,1.04,1.17,1.30,1.43,1.56,1.69};

struct coord { double y;

};

double a[3][4]; coord tabl[13];

double Lagrange(double x, int i) { return (((x - n[i])*(x - n[i + 1])) / ((n[i - 1]

-

n[i])*(n[i - 1] - n[i + 1])))*tabl[i - 1].y + (((x - n[i - 1])*(x - n[i + 1])) / ((n[i] -

n[i -

8

1])*(n[i] - n[i + 1])))*tabl[i].y + (((x - n[i - 1])*(x - n[i])) / ((n[i + 1] - n[i - 1])*(n[i

+ 1] - n[i])))*tabl[i + 1].y; }

int main() { setlocale(LC_ALL, "Russian");

cout << "\nПара(x; y)\n" << endl; for (int i = 0; i < 13; i++) {

tabl[i].y = func(n[i]);

cout << "("<< n[i] << ";" << "\t" << tabl[i].y << ")" << endl;

}

cout << "\n\tПолиномЛагранжа" << endl; //ПолиномЛагранжа for (int i = 1; i < 13; i++) {

cout << Lagrange(n[i], i) << endl;

}

double d, x[3], x0, tempX1, tempX2, tempX3;

cout << "\n\tНахождениекоэффициентов : " << endl; //НахождениекоэффициентовпометодуГаусса

for (int i = 0; i <= 11; i++) { a[0][0] += pow(n[i], 0); //c a[0][1] += n[i]; //b

9

a[0][2] += pow(n[i], 2); //a a[0][3] += tabl[i].y; //f(x) a[1][0] += n[i];

a[1][1] += pow(n[i], 2); a[1][2] += pow(n[i], 3); a[1][3] += tabl[i].y*n[i]; a[2][0] += pow(n[i], 2); a[2][1] += pow(n[i], 3); a[2][2] += pow(n[i], 4);

a[2][3] += tabl[i].y*pow(n[i], 2);

}

for (int k = 0; k < 3; k++) {

for (int i = k + 1; i < 3; i++) { d = -(a[i][k] / a[k][k]);

for (int j = k; j < 4; j++) { a[i][j] = a[i][j] + a[k][j] * d;

}

}

}

x[2] = a[2][3] / a[2][2];

10