Общий отчёт по МО

1 Введение

Необходимо для функций 4(х-9)*(х-3)*(х-1), х/4+7*sin(3*pi*x+1), и

функции 4-7*e^-((x-3)^2) вычислить точки минимума методами: золотого сечения, дихотомии и Фибоначчи. Составить теоретическое описание методов, описать процесс выбора отрезка, список границ отрезка при каждой итерации и построить график функций.

Атакже для функций 4*(X1 - 7)^2 + 3*(X2 - 1)^2 и функции (X1 - 4)^2

+(X2 - 7)^2 + 30*(X2 + X1 - 6)^2 + 7,1 вычислить точки минимума методами:

Нелдера-Мида, наискорейшего спуска и овражным. Составить теоретическое описание методов, описать процесс выбора отрезка, список границ отрезка при каждой итерации и построить график функций.

2

2 Ход работы:

2.1Одномерная оптимизация без ограничений

2.1.1Метод золотого сечения

Пусть функция ( ) унимодальна на отрезке [ 1, 1]. Нужно найти минимум данной функции на заданном отрезке с некоторой точностью .

Принцип золотого сечения заключается в следующем: на каждом шаге

= 1 −

Перемножим части по правилу пропорции и получим уравнение:

2 + − 1 = 0

Корни у этого уравнения, следующие:

Для наших вычислений нужен положительный корень, обозначим его:

= √5 − 1 ≈ 0.618 2

Также введем

3

= 1 − ≈ 0.382.

Опишем k –й шаг метода.

Известны , , и вычислены значения функции ( ), ( ).

Вычисляем две симметричные относительно середины отрезка точки

и значения функции в этих точках ( α[ ]), (xβ[ ]).

Сокращаем интервал неопределенности следующим образом:

если ( β[ ]) ≥ (xα[ ]), то +1 = β[ ], +1 = ;

если ( β[ ]) ≤ ( α[ ]), то +1= , +1 = ,

Обратите внимание, что за один раз меняется только одна граница отрезка. Длина интервала неопределенности становится

+1 = = 1,

то есть на k –й итерации интервал неопределенности сокращается меньше,

чем в 2 раза.

Условие останова:

< ,

точкой минимума является аргумент меньшего из значений ( α [ +

1]) и (xβ [ + 1]).

2.1.2 Метод дихотомии

4

Пусть функция ( ) унимодальна на отрезке [ 1, 1]. Нужно найти минимум данной функции на заданном отрезке с некоторой точностью .

Вычислим 2 точки по следующим соотношениям:

В каждой найденной точке вычисляем ( 1), ( 2).

Дальше сокращаем интервал неопределенности и получаем интервал

[ 1, 2] следующим образом:

если ( 1) ≤ ( 2), то 2 = 1, 2 = 2;

если ( 1) ≥ ( 2), то 2 = 1, 2 = 1,

опять же за один раз меняется только одна граница отрезка.

Далее по аналогичным формулам на этом интервале вычисляем следующую пару точек 1 и 2. С помощью найденных точек определяем новый интервал неопределенности.

Условие останова: длина интервала неопределенности [ , ] на текущей итерации k становится меньше заданной точности:

| - | < ,

точкой минимума является середина последнего отрезка [ , ]. В

данном методе на каждой итерации минимизируемая функция f(x)

вычисляется дважды, интервал неопределенности сокращается почти в 2 раза

(при малых < ).

2.1.3 Метод Фибоначчи

Последовательность Фибоначчи подчиняется соотношению:

5

+2= +1+ ,

где n =1,2, ... , и начальные значения 1 = 2 = 1.

Она имеет вид 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597,…

С помощью метода математической индукции можно показать, что n -е число Фибоначчи вычисляется по формуле Бинэ:

[1+√5] −[1−√5]

= 2 √5 2 ,

где = 1,  2,  3, ...

Из данной формулы видно, что при больших значениях выполняется соотношение:

[1+√5]

≈ 2 5 ,

√

так что числа Фибоначчи с увеличением n растут очень быстро. Сам метод Фибоначчи очень похож на метод золотого сечения и дихотомии. На k -ой итерации промежуточные точки вычисляются по формулам:

и расположены на отрезке [ , ] симметрично относительно его середины.

Интервал неопределенности сокращается точно так же, как в методе золотого сечения:

если ( 1[ ]) ≥ ( 2[ ]), то +1 = 1[ ], +1 = , .

если ( 1[ ]) ≤ ( 2[ ]), то +1 = , , +1= 2[ ].

Можно заметить, что при = точки

1[ ] = + 1 ( 1 - 1)

+2

6

2[ ] = + 2 ( 1 - 1)

+2

совпадают и делят отрезок [ , ] пополам.

Следовательно,

− = 1−1< ,

2 +2

и, значит, можно выбрать n из условия

1−1< +2.

ε

Таким образом, это условие позволяет до начала работы определить число итераций, нужное для определения минимума с заданной точностью при начальной величине интервала [ 1, 1].

Условие останова:

< ,

точкой минимума является аргумент меньшего из значений ( 1[k + 1]) и

( 2[k + 1]).

С ростом n из-за того, что – бесконечная десятичная дробь, возникает

+2

погрешность метода и возможна потеря интервала с точкой минимума.

Следует отметить также, что при практическом применении метод золотого сечения по скорости сходимости и точности получаемого решения почти не уступает методу Фибоначчи, а алгоритмически реализация метода золотого сечения является более простой.

7

2.2 Вывод программы для вычисления точек минимума

На рисунках 2.1–2.6 показаны выводы программы для трёх заданных вариантом функций.

Рисунок 2.1 – Вывод программы для функции 4*(x-7)*(x-3)*(x-1)

8

Рисунок 2.2 – Продолжение вывода программы для функции 4*(x-7)*(x- 3)*(x-1)

9