Оценка параметров модели по формуле (3.5) «вручную».
Промежуточные расчеты параметров линейной модели по формулам (3.5)приведены в табл. 4.3.15.
Табл. 4.3.15
|
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
45 |
-5,5 |
30,25 |
-5 |
27,5 |
40,04 |
4,96 |
|
2 |
40 |
-4,5 |
20,25 |
-10 |
45 |
41,85 |
-1,85 |
|
3 |
43 |
-3,5 |
12,25 |
-7 |
24,5 |
43,66 |
-0,66 |
|
4 |
48 |
-2,5 |
6,25 |
-2 |
5 |
45,47 |
2,53 |
|
5 |
42 |
-1,5 |
2,25 |
-8 |
12 |
47,28 |
-5,28 |
|
6 |
47 |
-0,5 |
0,25 |
-3 |
1,5 |
49,09 |
-2,09 |
|
7 |
51 |
0,5 |
0,25 |
1 |
0,5 |
50,91 |
0,09 |
|
8 |
55 |
1,5 |
2,25 |
5 |
7,5 |
52,72 |
2,28 |
|
9 |
50 |
2,5 |
6,25 |
0 |
0 |
54,53 |
-4,53 |
|
10 |
57 |
3,5 |
12,25 |
7 |
24,5 |
56,34 |
0,66 |
|
11 |
60 |
4,5 |
20,25 |
10 |
45 |
58,15 |
1,85 |
|
12 |
62 |
5,5 |
30,25 |
12 |
66 |
59,96 |
2,04 |
|
6,5 |
50 |
|
143 |
|
259 |
|
0 |
При вычислении «вручную» по формуле (3.4)получаем те же результаты:
,
Табл. 4.3.16.
|
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H |
|
1 |
|
ВЫЧИСЛЕНИЯ В EXCEL С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФОРМУЛ |
|
| ||||
|
2 |
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
45 |
=B2-$J$15 |
=D2*D2 |
=C2-$K$15 |
=D2*F2 |
=$M$21+$M$18*B2 |
=C2-H2 |
|
4 |
2 |
40 |
=B3-$J$15 |
=D3*D3 |
=C3-$K$15 |
=D3*F3 |
=$M$21+$M$18*B3 |
=C3-H3 |
|
5 |
3 |
43 |
=B4-$J$15 |
=D4*D4 |
=C4-$K$15 |
=D4*F4 |
=$M$21+$M$18*B4 |
=C4-H4 |
|
6 |
4 |
48 |
=B5-$J$15 |
=D5*D5 |
=C5-$K$15 |
=D5*F5 |
=$M$21+$M$18*B5 |
=C5-H5 |
|
7 |
5 |
42 |
=B6-$J$15 |
=D6*D6 |
=C6-$K$15 |
=D6*F6 |
=$M$21+$M$18*B6 |
=C6-H6 |
|
8 |
6 |
47 |
=B7-$J$15 |
=D7*D7 |
=C7-$K$15 |
=D7*F7 |
=$M$21+$M$18*B7 |
=C7-H7 |
|
9 |
7 |
51 |
=B8-$J$15 |
=D8*D8 |
=C8-$K$15 |
=D8*F8 |
=$M$21+$M$18*B8 |
=C8-H8 |
|
10 |
8 |
55 |
=B9-$J$15 |
=D9*D9 |
=C9-$K$15 |
=D9*F9 |
=$M$21+$M$18*B9 |
=C9-H9 |
|
11 |
9 |
50 |
=B10-$J$15 |
=D10*D10 |
=C10-$K$15 |
=D10*F10 |
=$M$21+$M$18*B10 |
=C10-H10 |
|
12 |
10 |
57 |
=B11-$J$15 |
=D11*D11 |
=C11-$K$15 |
=D11*F11 |
=$M$21+$M$18*B11 |
=C11-H11 |
|
13 |
11 |
60 |
=B12-$J$15 |
=D12*D12 |
=C12-$K$15 |
=D12*F12 |
=$M$21+$M$18*B12 |
=C12-H12 |
|
14 |
12 |
62 |
=B13-$J$15 |
=D13*D13 |
=C13-$K$15 |
=D13*F13 |
=$M$21+$M$18*B13 |
=C13-H13 |
|
15 |
=СРЗНАЧ (A2:A13) |
=СРЗНАЧ (B2:B13) |
|
=СУММ (D2:D13) |
|
=СУММ (F2:F13) |
|
=СУММ (H2:H13) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1= |
=G14/E14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0= |
=C14-E17*B14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оценка качества построенной модели.
2.1) Оценка адекватности
Для оценки адекватности построенных моделей исследуются свойства остаточной компоненты, т.е. расхождения уровней, рассчитанных по модели, и фактических наблюдений (табл. 4.3.17).
Табл. 4.3.17.
|
№ |
|
Точки поворота |
|
|
|
1 |
4,962 |
|
24,617 |
|
|
2 |
-1,850 |
* |
3,421 |
46,392 |
|
3 |
-0,661 |
|
0,437 |
1,413 |
|
4 |
2,528 |
* |
6,391 |
10,169 |
|
5 |
-5,283 |
* |
27,912 |
61,015 |
|
6 |
-2,094 |
|
4,387 |
10,169 |
|
7 |
0,094 |
|
0,009 |
4,791 |
|
8 |
2,283 |
* |
5,213 |
4,791 |
|
9 |
-4,528 |
* |
20,503 |
46,392 |
|
10 |
0,661 |
|
0,437 |
26,924 |
|
11 |
1,850 |
|
3,421 |
1,413 |
|
12 |
2,038 |
|
4,155 |
0,036 |
|
|
0 |
5 |
100,902 |
213,504 |
При проверке независимости(отсутствие автокорреляции) определяется отсутствие в ряду остатков систематической составляющей, например, с помощью d-критерия Дарбина–Уотсона по формуле(3.7):
Так как
попало
в интервал отd2, до 2 то по
данному критерию можно сделать вывод
о выполнении свойства независимости.
Это означает, что в ряду динамики не имеется автокорреляции, следовательно, модель по этому критерию адекватна.
Проверкуслучайности уровней ряда остатковпроведем на основе критерия поворотных точек (формула (3.6)). Количество поворотных точек (p) равно 5 (рис. 3.4.14).
Неравенство выполняется (5>4). Следовательно, свойство случайности выполняется. Модель по этому критерию адекватна.
Рис. 3.4.14. График остатков
Соответствие ряда остатковнормальному закону распределенияопределим при помощи RS-критерия:
RS=
max
–
min/
;
где
max
– максимальный уровень ряда
остатков,
max=4,962;
min
– минимальный уровень ряда
остатков,
min=– 4,528;
– среднеквадратическое отклонение,
=
=
=3,029;
RS=4,962–(–5.283)/ 3,029= 3,383
Расчетное значение попадает в интервал (2,7 – 3,7), следовательно, выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию адекватна.
Проверка равенства нулю математического ожидания уровней ряда остатков.
В нашем случае
=
0, поэтому гипотеза о равенстве
математического ожидания значений
остаточного ряда нулю выполняется.
В табл. 4.3.18собраны данные анализа ряда остатков.
Таблица4.3.18.Анализ ряда остатков
|
Проверяемое свойство |
Используемые статистики
|
Граница
|
Вывод | |||
|
наименование |
значение |
нижняя |
верхняя | |||
|
Независимость
|
d-критерий Дарбина–Уотсона
r(1) – коэффициент автокорреляции
|
d=2,12 dn=4-2,21=1,88
|
0,98
|
1,36
0,36 |
адекватна
| |
|
Случайность
|
Критерий пиков (поворотных точек) |
5 > 4
|
4
|
адекватна | ||
|
Нормальность
|
RS-критерий
|
3,383
|
2,6 |
2,7 |
адекватна | |
|
Среднее
|
t-статистика Стьюдента
|
0,000
|
-2,179
|
2,179
|
адекватна | |
|
Вывод: Модель статистически адекватна | ||||||
= 0 ?2.2) Оценка точности
Для оценки точности модели вычислим
среднюю относительную ошибку аппроксимации
Таблица4.3.19.
|
Номер наблюдения |
|
|
|
|
1 |
45 |
4,96 |
0,110 |
|
2 |
40 |
-1,85 |
0,046 |
|
3 |
43 |
-0,66 |
0,015 |
|
4 |
48 |
2,53 |
0,053 |
|
5 |
42 |
-5,28 |
0,126 |
|
6 |
47 |
-2,09 |
0,045 |
|
7 |
51 |
0,09 |
0,002 |
|
8 |
55 |
2,28 |
0,042 |
|
9 |
50 |
-4,53 |
0,091 |
|
10 |
57 |
0,66 |
0,012 |
|
11 |
60 |
1,85 |
0,031 |
|
12 |
62 |
2,04 |
0,033 |
-
хороший уровень точности модели.