Бакалавры экономики / Линейная алгебра / 11_Компьютерный практикум по высшей математике в Excel

2. Вычисление определителя матрицы

Пример ([1], с.18). Вычислить определитель матрицы третьего порядка

Решение. Вычисление определителя квадратной матрицы производится следующим образом:

–введитеэлементыматрицы A в ячейки A2:C4 (рис.2.1);

–щелкните мышью на ячейке F3, в которой будет выведено значение определителя матрицы (рис.2.2).

Для вычисления определителя матрицы используется функция МОПРЕД (массив), которую можно ввести с клавиатуры или вызвать с помощью Мастера функций, выбрав категорию Математические (рис.2.3).

Рис. 2.3. Вызов функции МОПРЕД с помощью мастера функций

Щелкните мышью на кнопке OK. Появится диалоговое окно Аргументы функции(рис.2.4).

10

Рис. 2.4. Диалоговое окно функцииМОПРЕД

В поле Массив введите элементы матрицы A. Для этого выделите мышью ячейки области A2:C4 (рис.2.5).

Рис. 2.5. Задание формулы для вычисления определителя матрицы ЩелкнитемышьюнакнопкеOK длязавершениявводафункции(рис.2.6).

Рис. 2.6. Вычисление определителя квадратной матрицы в Excel

11

3. Решение определенной системы линейных уравнений

Система m линейных уравнений c n переменными может быть записана в матричной форме в виде A X B, где:

Напомним, что система называется определенной, если она имеет единственное решение.

Рассмотрим сначала частный случай, в котором число уравнений n системы равно числу переменных n.

3.1. Метод обратной матрицы

Предположим, что квадратная матрица A коэффициентов при переменных является невырожденной, т.е. её определитель A 0. В этом случае система имеет единственное решение X A 1 B.

Пример ([1], с.43). Решить систему уравнений

Решение. Для решения системы линейных уравнений методом обратной матрицы используются операции над матрицами:

—нахождение обратной матрицы с помощью функция МОБР (массив);

—нахождение произведения двух матриц с помощью функции

МУМНОЖ (массив 1; массив 2).

Введите элементы матрицы A в ячейки A2:C4 и элементы матрицыстолбца B в ячейки B7:B9 (рис.3.1).

Рис. 3.1. Задание элементовматриц A и B

Найдите обратную матрицу A 1 с помощью действий, описанных в разделе 1.5 (рис. 1.21).

12

Найдите произведение матриц A 1 B с помощью действий, описанных в разделе 1.3 (рис. 1.15).

Напомним, что обе операции завершаются выполнением команды

<Shift>+<Ctrl>+<Enter>(рис.3.2).

Рис. 3.2. Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы в Excel

3.2. Использование надстройки Поиск решения

Заметим, что Поиск решения – это надстройка Excel, которая позволяет решать более сложные задачи – оптимизационные. Эти задачи характеризуются наличием системы ограничений и некоторой функции, называемой целевой, для которой требуется найти оптимальное значение.

Система линейных уравнений является простейшим случаем системы ограничений. Целевую функцию для неё можно задать многими способами. Например, поставим дополнительное условие равенства нулю разности левой и правой части одного уравнения системы.

Пример ([1], с.56). Решить систему уравнений

Решение. Для решения определенной системы линейных уравнений используем надстройку Excel Поиск решения.

Опишем более подробно шаги решения задачи.

Шаг 1 (ввод коэффициентов)

Введите элементы матрицы A в ячейки A2:D6 и элементы матрицыстолбца B в ячейки G2:G6 (рис.3.3).

Зарезервируйте ячейки A9:D9 для значений переменных X решения системы.

13

Назначьте целевую ячейку E9 и введите в неё формулу дополнительного условия: =E2-G2 (рис. 3.3).

Рис. 3.3. Ввод коэффициентов системы уравнений

Шаг 2 (задание левых частей уравнений)

Щелкните мышкой на ячейке E2.

Для вычисления значения левой части первого уравнения при текущих значениях переменных можно использовать функцию СУММПРОИЗВ (массив1; массив2; массив3; ...), которую можно ввести с клавиатуры или вызвать с помощью Мастера функций, выбрав категорию Математические.

Мастер функций вызывается командой меню Вставка – Функция… или кнопкой fx на панели инструментов (рис.3.4).

Рис. 3.4. Вызов функции СУММПРОИЗВ с помощью мастера функций

Щелкните мышью на кнопке OK. Появится диалоговое окно Аргументы функции (рис.3.5). Курсор в виде вертикальной черты находится в верхнем полеМассив1.

14

Рис. 3.5. Диалоговое окно функции СУММПРОИЗВ

Выполните следующие действия:

– в поле Массив 1 введите элементы первой строки матрицы A. Для этого выделите мышью ячейки области A2:D2 (рис.3.6);

Рис. 3.6. Выделение коэффициентов при переменных первого уравнения

–для перехода в поле Массив 2 щелкните в нем мышью или нажмите клавишу Tab;

–в поле Массив 2 введите элементы матрицы X. Для этого выделите

мышью ячейки области A9:D9 (рис.3.7).

15

Рис. 3.7. Выделение значений переменных системы уравнений

Поставьте перед цифрами 9 знак доллара для получения абсолютной ссылки, которая не изменяется при копировании формулы (рис.3.8).

Рис. 3.8. Диалоговое окно функции СУММПРОИЗВ

ЩелкнитемышьюнакнопкеOK длязавершениявводафункции(рис.3.9). Скопируйте формулу из ячейки E2 в ячейки E3:E6 (рис. 3.10).

16

Шаг 3 (задание системы уравнений в надстройке Поиск решения)

Щелкните мышью нацелевой ячейке E9.

Вызовите надстройку командой меню Сервис – Поиск решения … . Появится диалоговоеокноПоиск решения (рис.3.11).

Рис. 3.11. Диалоговое окно Поиск решения

Щелкните мышью по кнопке значение и введите в поле значение 0 (рис.3.12).

Рис. 3.12. Задание значения целевой функции

Щелкните мышью в поле Изменяя значения.

Укажите элементы матрицы X. Для этого выделите мышью ячейки области A9:D9 (рис.3.13).

Щелкните мышью в поле Ограничения. Щелкните мышью по кнопке Добавить.

Появится диалоговоеокноДобавление ограничения (рис.3.14). Курсор в виде вертикальной черты находитсявполеСсылка на ячейку. Выделите мышью ячейку E2.

Для перехода в центральное поле щелкните в нем мышью или нажмите клавишу Tab. Щелкните мышью на кнопке ▼ и выберите во всплывающем меню знак равенства «=».

17

Рис. 3.13. Задание изменяемых ячеек

Рис. 3.14. Диалоговое окно Добавление ограничения

Для перехода в поле Ограничение щелкните в нем мышью или нажмите клавишу Tab.

Выделите мышью ячейку G2 (рис.3.15).

Рис. 3.15. Вводпервогоограничения

Щелкните мышью на кнопке Добавить и введите следующее ограничение в виде равенства частей уравнения системы.

После задания всех ограничений щелкните мышью на кнопке OK. Диалоговое окно Поиск решения возвратится в следующем виде

(рис.3.16).

Шаг 4 (определение метода решения)

Щелкните мышью на кнопке Параметры.

Появится диалоговое окно Параметры поиска решения (рис.3.17), с помощью которого можно выбрать метод поиска, тип модели, относительную погрешностьидругиеважныепараметры.

18

Рис. 3.16. Заполненное диалоговое окно Поиск решения

Рис. 3.17. Диалоговое окно Параметры поиска решения

Щелкните мышью на кнопке OK. На экран возвратится окно Поиск решения(рис.3.16).

Шаг 5 (получение решения системы линейных уравнений)

Щелкните мышью на кнопке Выполнить.

Появится диалоговое окно Результаты поиска решения (рис.3.18), с помощью которого можно выбрать тип отчета в том случае, если решение найдено.

Рис. 3.18. Диалоговое окно Результаты поиска решения

19