21. Собственные векторы и собственные значения матрицы. Собственные векторы и собственные значения оператора (матрицыА). Характеристический многочлен оператора и его характеристическое уравнение

Определение 1. n-мерный векторx  0 называетсясобственным векторомлинейного оператораA, если существует такое число, чтоA(x) = x.Числоназываетсясобственным значениемоператораA, соответствующим векторуx.

Можно доказать, что ненулевое решение уравнения AX = Xсуществует тогда и только тогда, когда определительA - E=0, гдеE- единичная матрицаn–го порядка.

Определение 2. ОпределительA - Eявляется многочленомn–ой степени относительно переменнойи называетсяхарактеристическим многочленом линейного оператораA.

Определение 3. Характеристическим уравнением линейного оператораAназывается уравнениеA - E=0.

Можно доказать, что характеристический многочлен линейного оператора Aне зависит от выбора базиса линейного пространства.

22. Матрица линейного оператора в базисе,

состоящем из его собственных векторов

Матрица Aлинейного оператораAпространстваRⁿв себя принимает наиболее простой вид, если базис пространства состоит из собственных векторов оператораA.

Можно доказать, что в этом случае матрица Aлинейного оператора является диагональной и имеет вид:

.

Верно и обратное: если матрица Aлинейного оператораAв некотором базисе является диагональной, то все векторы этого базиса являются собственными векторами оператораA.

Тема 5:  Квадратичные формы

23. Квадратичная форма (определение). Матрица квадратичной формы.

Ранг квадратичной формы

Определение 1. Квадратичной формой L(x₁, x₂, … , x_n)отnпеременных называется сумма, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменныхx_ix_j, взятых с некоторым действительным коэффициентомa_ij, (причемa_ij = a_ji):

.

Определение 2. Матрицей квадратичной формы L(x₁, x₂, … , x_n) отnпеременных называется матрица, составленная из коэффициентовa_ij:

.

Отметим, что в силу условия a_ij=a_ji, она является симметрической.

Ее диагональные элементы равны коэффициентам при квадратах переменных.

Определение 3. Матричной записью квадратичной формы L(x₁, x₂, … , x_n) отnпеременных называется записьL=XAX, гдеX=(x₁, x₂, … , x_n)- матрица столбец переменных.

Следовательно, .

Определение 2. Рангом квадратичной формы L(x₁, x₂, … , x_n) отnпеременных называется ранг матрицы квадратичной формы.

24. Квадратичная форма (канонический вид). Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Закон инерции квадратичных форм

Определение 1. Квадратичная форма L(x₁, x₂, … , x_n) отnпеременных называетсяканонической, если все её коэффициенты при произведениях различных переменных равны нулю, т.е.a_ij=0приij.

В этом случае квадратичная форма имеет вид .

Доказано, что любая квадратичная форма с помощью линейного невырожденного преобразования может быть приведена к каноническому виду.

При этом её матрица приводится к диагональному виду.

Теорема 1 (закон инерции квадратичных форм). Ранг квадратичной формы не меняется при линейных преобразованиях.

Следовательно, ранг квадратичной формы L(x₁, x₂, … , x_n) отnпеременных равен числу отличных от нуля коэффициентов канонической формы и совпадает с рангом соответствующей диагональной матрицы.