3. Особенная и неособенная квадратные матрицы. Присоединенная матрица. Матрица, обратная данной, и алгоритм ее вычисления

Определение 1. Квадратная матрицаAназываетсяособенной (вырожденной), если ее определитель равен нулю, т.е.A=0.

Определение 2. Квадратная матрицаAназываетсянеособенной (невырожденной), если ее определитель отличен от нуля, т.е.A0.

Определение 3. МатрицаА^-1называетсяобратнойпо отношению к квадратной матрицеn-го порядкаA, еслиAА^-1=А^-1A=E, гдеE- единичная матрицаn-го порядка.

Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Обратная матрица А^-1 существует(и единственна), тогда и только тогда, когда матрица A неособенная.

Алгоритм вычисления обратной матрицы

1. Находим определитель AматрицыА.

Если A=0, тоA- особенная матрица,А^-1не существует.

Если A0, тоA- неособенная матрица,А^-1существует.

2. Находим матрицу A', транспонированную кА.

3. Находим алгебраические дополнения A'_ijэлементов транспонированной матрицыA' и составляем из них присоединенную матрицу, т.е. .

4. Вычисляем обратную матрицу .

5. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы А^-1, исходя из определенияAА^-1=А^-1A=Е.

Определение 4. Матрицаназываетсяприсоединеннойпо отношению к квадратной матрицеn-го порядкаA, если ее элементами являются алгебраические дополненияA'_ijэлементов матрицыA', транспонированной к матрицеA,

т.е. , гдеi=1,2,...,n;j=1,2,...,n.

Необходимость. Пусть матрицаAимеетА^-1, т.е.АА^-1=А^-1A=Е. По свойству 10 определителей имеемАА^-1=АА^-1=Е=1, Следовательно,А0 иА^-10.

Достаточность. ПустьA0.

Рассмотрим матрицу . По правилу умножения матриц. По определению присоединенной матрицы и свойству 7 определителей, т.е.В- диагональная матрица, диагональные элементы которой равныА.

Аналогично проверяется, что . Итак, в качестве обратной матрицы можно взять матрицу, так как.

Единственность обратной матрицы следует из того, что если некоторая матрица Худовлетворяет условию обратной матрицыАХ=Е, тои.

4. Понятие минора k-го порядка. Ранг матрицы (определение). Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований

Определение 1. Пусть задана матрицаAразмеромmnи числоkmin(m,n).Миноромk-го порядка матрицыAназывается определитель квадратной матрицыk-го порядка, полученной из матрицыAвычеркиванием каких-либоm-kстрок иn-kстолбцов.

Например, из матрицы Aразмером 34 можно получить миноры 1-го, 2-го и 3-го порядков.

Определение 2. Рангом матрицыAназывается наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Ранг матрицыAобозначается символомrang(A) илиr(A).

Ясно, что: 1) r(A)min(m,n);

2) r(A)=0A- нулевая матрица;

3) если A- квадратная матрицаn-го порядка, тоr(A)=nA0.

Определение ранга матрицы перебором всех миноров достаточно трудоемко. Для облегчения решения этой задачи используют преобразования, сохраняющие ранг матрицы.

Определение 3. Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие преобразования:

1) отбрасывание нулевой строки (столбца);

2) умножение всех элементов строки (столбца) на число, не равное нулю;

3) транспонирование матрицы;

4) изменение порядка строк (столбцов) матрицы;

5) прибавление к каждому элементу строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.

Теорема. Ранг матрицы при элементарных преобразованиях не изменяется.

Доказательство. Из свойств 1-4, 8 определителей следует, что при элементарных преобразованиях квадратных матриц их определители либо сохраняются, либо умножаются на число, не равное нулю. Таким образом, сохраняется наивысший порядок отличных от нуля миноров данной матрицы.

Обычно с помощью элементарных преобразований можно привести матрицу к ступенчатому виду, при котором легко определяется ранг матрицы.

Определение 4. МатрицаAназываетсяступенчатой, если она имеет вид , гдеa_ii0приi=1, 2, ...,r;rk.

Легко получить, что ранг ступенчатой матрицы равен r.