30. Общее уравнение плоскости в пространстве и его частные случаи. Нормальный вектор плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей

Определение 1. Уравнение с тремя переменнымиAx + By + Cz + D = 0, гдеA, B и Cне равны 0 одновременно, называетсяобщим уравнением плоскости.

Основные виды уравнений плоскости в трехмерном пространстве:

1) z = 0- уравнение плоскостиOxy;

2) y = 0- уравнение плоскостиOxz;

3) x = 0- уравнение плоскостиOyz;

4) Cz + D = 0- уравнение плоскости, параллельной плоскостиOxy;

5) By + D = 0- уравнение плоскости, параллельной плоскостиOxz;

6) Ax + D = 0- уравнение плоскости, параллельной плоскостиOyz;

7) Ax + By + D = 0- уравнение плоскости, параллельной оси координатOx;

8) Ax + Cz + D = 0- уравнение плоскости, параллельной оси координатOy;

9) Ax + By + D = 0- уравнение плоскости, параллельной оси координатOz;

10) Ax + By + Cz = 0- уравнение плоскости, проходящей через начало координат.

Теорема 1. Любая плоскость в трехмерном пространстве может быть задана общим уравнением.

Определение 2.Вектор(A, B, C)называетсяобщим нормальным вектором плоскостиAx + By + Cz + D = 0.

Если две плоскости заданы общими уравнениями A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 иA₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0, то:

- плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы коллинеарны: ;

- плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда скалярное произведение их нормальных векторов равно нулю: A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0.

A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀) = 0-уравнение прямой, проходящей через точку(x₀, y₀, z₀),перпендикулярно нормальному вектору.

31. Уравнения прямой линии в пространстве как линии пересечения двух плоскостей. Канонические уравнения прямой. Направляющий вектор прямой. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве

Существует несколько способов задания прямой в трехмерном пространстве:

1) - прямая как линия пересечения двух плоскостей задается аналитически системой двух линейных уравнений;

2) - канонические уравнения прямой, где(m, n, p) – направляющий вектор прямой (т.е. прямая параллельна этому вектору),M₁(x₁, y₁, z₁) – некоторая точка, лежащая на данной прямой.

Если две прямые заданы каноническими уравнениями и , то:

- прямые параллельны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы коллинеарны: ;

- прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда скалярное произведение их направляющих векторов равно нулю: m₁m₂ + n₁n₂ + p₁p₂ = 0;

42. Углы между двумя плоскостями, между двумя прямыми, между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей, двух прямых, прямой и плоскости

Если две плоскости заданы общими уравнениями A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 иA₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0, то уголмежду плоскостями равен углу между нормальными векторами(A₁, B₁, C₁)и(A₂, B₂, C₂), следовательно,

.

Если две прямые заданы каноническими уравнениями и , то уголмежду прямыми равен углу между направляющими векторами(m₁, n₁, p₁)и(m₂, n₂, p₂), следовательно,

.

Если плоскость задана общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0, а прямая задана каноническими уравнениями , то уголмежду прямой и плоскостью равен дополнительному углу к углу между нормальным вектором(A, B, C)и направляющим вектором(m, n, p), следовательно,

.

В последнем случае:

- плоскость и прямая параллельны тогда и только тогда, когда скалярное произведение их нормального и направляющего векторов равно нулю:

Am + Bn + Cp = 0.

- плоскость и прямая перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальный и направляющий векторы коллинеарны:

.