Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение

высшего профессионального образования

«Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации»

Тульский филиал Финуниверситета

__________________________________________________________________

Кафедра математики и информатики

Конспект лекций по дисциплине

«Линейная алгебра»

(для студентов бакалавриата, обучающимся по направлениям 080199.62 «Экономика», 080500.62 «Бизнес-информатика»)

Составил: к.ф.-м.н., доцент

кафедры математики и информатики

Луценко Алексей Георгиевич

Рассмотрено и одобрено на заседании кафедры

кафедры математики и информатики

протокол № ___ от «___»____________ 2013 г.

Тема 1:  Матрицы и определители

1. Понятие матрицы. Виды матриц. Равенство матриц.

Транспонирование матрицы. Алгебраические операции над матрицами:

умножение на число, сложение, умножение матриц

Определение 1. Матрицей размераmnназывается прямоугольная таблица чисел, содержащаяmстрок иnстолбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

,	aij- элемент матрицыA, где: i-номер строки, j- номер столбца.

Определение 2. Две матрицы одного размераmnназываютсяравными, если они совпадают поэлементно, т.е. А=В  a_ij=b_ijдля любыхi=1,2,...,m;j=1,2,...,n.

Определение 3. Матрица, состоящая из одной строки, называетсяматрицей-строкойA=(a₁₁a₁₂...a_1n) илиA=(a₁ a₂ ... a_n).

Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом:

или .

Определение 4. Матрица называетсяквадратной матрицейn-го порядка, если число ее строк равно числу ее столбцов и равноn.

Определение 5. Элементыa_ijматрицыA, у которых номер строкиiравен номеру столбцаj, называютсядиагональными. Они образуютглавную диагональматрицы.

Квадратная матрица называется диагональной, если все недиагональные элементы равны нулю.

Определение 6. Единичной матрицейn-гопорядканазывается диагональная матрицаn-го порядка, у которой все диагональные элементы равны 1.

Определение 7. Матрица любого размера называетсянулевой, если все ее элементы равны 0.

Определение 8. Матрица , которая получается из матрицыAзаменой строк столбцами, называетсятранспонированнойпо отношению к матрицеА.

Из определения следует, что если матрица Aимеет размерmn, то транспонированная матрицаA' имеет размерnm.

Определение 9. Произведением матрицы A на числоназывается матрицаB=A, элементы которойb_ij=a_ijдля любыхi=1,2,...,m;j=1,2,...,n.

Определение 10. Суммой двух матриц A и Bодного размера называется матрицаC=A+B, элементы которойс_ij=a_ij+b_ijдля любыхi=1,2,...,m;j=1,2,...,n.

Определение 11. Если число столбцов матрицыAравно числу строк матрицыBи равноk, топроизведением матриц A и Bназывается матрицаC=AB, каждый элемент которойс_ijравен сумме произведений элементовi-ой строки матрицыAна соответствующие элементыj-го столбца матрицыB, т.е.с_ij=a_i1b_1j+a_i2b_2j+...+a_ikb_kjдля любыхi=1,2,...,m;j=1,2,...,n

Многие свойстваопераций над числами справедливы и дляопераций над матрицами(это проверяется по определению операций):

1) A+B=B+A;

2) (A+B)+C=A+(B+C);

3) (A+B)=A+B;

4) A(BC)=(AB)C;

5) (AB)=(A)B=A(B);

6) (A+B)C=AC+BC;

7) A(B+C)=AB+AC.

Однако для операций над матрицами справедливы не все свойства операций над числами. Например, ABBAдля матрици.