Бакалавры экономики / Линейная алгебра / 14_Компьютерный практикум по высшей математике в Excel

Рис. 5.6. Использование функций НАКЛОН и ОТРЕЗОК для нахождения параметров линейной эмпирической формулы

Опишем более подробно шаги этого метода решения задачи.

Шаг 1 (ввод эмпирических данных)

Введите эмпирические данные в ячейки B3:G4 (рис. 5.6).

Шаг 2 (выбор функции НАКЛОН)

ЩелкнитемышьюпоячейкеF6.

Для вычисления неизвестного параметра a линейной эмпирической формулы можно использовать функцию НАКЛОН (известные_значения_y; известные_значения_x), которую можно ввести с клавиатуры или вызвать с помощью Мастера функций, выбрав категорию Статистические.

Мастер функций вызывается командой меню Вставка – Функция… или кнопкой fx на панели инструментов (рис.5.7).

Рис. 5.7. Вызов функции НАКЛОН с помощью мастера функций

Щелкните мышью на кнопке OK. Появится диалоговое окно Аргументы функции (рис.5.8). Курсор в виде вертикальной черты находится в верхнем полеизвестные_значения_y.

40

Рис. 5.8. Диалоговое окно функции НАКЛОН

Шаг 3 (вычисление значения функции НАКЛОН)

Выполните следующие действия:

–в поле Известные значения_y введите элементы вектора y. Для этого выделите мышью ячейки области B4:G4.

–для перехода в следующее поле щелкните в нем мышью или нажмите клавишу Tab.

–в поле Известные значения_x введите элементы вектора x. Для этого

выделите мышью ячейки области B3:G3.

– щелкните мышью по кнопке OK для завершения ввода функции

(рис. 5.9).

Рис. 5.9. Вычисление значения функцииНАКЛОН

Шаг 4 (выбор функции ОТРЕЗОК и вычисление её значения)

Аналогично вызовите функцию ОТРЕЗОК категории Статистические (рис. 5.10) и вычислите в ячейке F7 её значение (рис. 5.11).

41

Рис. 5.10. Диалоговое окно функции ОТРЕЗОК

Рис. 5.11. Вычисление значения функции ОТРЕЗОК

3 способ. Опишем ещё один способ получения эмпирической формулы, реализованный в EXSEL — с помощью инструмента Добавить линию тренда.

Шаг 1 (ввод эмпирических данных и их изображение на чертеже)

Введите эмпирические данные в ячейки B3:G4 (рис. 5.6) и изобразите их на чертеже (рис. 5.12)

42

Рис. 5.12. Изображение на чертеже эмпирических данных

Шаг 2 (вызов команды Добавить линию тренда)

Наведите курсор мыши на любую точку, изображенную на чертеже и щелкните правой кнопкой мыши при надписи Ряд "Эмпирические данные …" (рис. 5.13).

Рис. 5.13. Вызов контекстного меню В появившемся контекстном меню выберите команду Добавить линию

43

тренда …. (рис. 5.14). Появится диалоговое окно Линия тренда (рис. 5.15.а).

Рис. 5.14. Выбор команды Добавить линию тренда

Шаг 3 (выбор типа и параметров линии тренда)

На вкладке Тип выберите тип Линейная и щелкните мышью по вкладке Параметры. Появится диалоговое окно, представленное на рисунке 5.15.б.

Поставьте флажок в окне показывать уравнение на диаграмме и

щелкните мышью по кнопке по кнопке OK для завершения работы

(рис. 5.16).

44

Рис. 5.16. Построение линейной эмпирической формулы

спомощью команды Добавить линию тренда

5.2.Нахождение нелинейной эмпирической формулы

Предполагая, что зависимость величины y от величины x имеет вид y = ax2 + b, найти значения параметров a и b этой зависимости, используя метод наименьших квадратов.

Решение.

1 способ. С помощью Excel можно решить задачу с вычислением всех сумм, необходимых для составления системы нормальных уравнений (рис. 5.17), нахождением решения полученной системы методом обратной матрицы (рис. 5.18), и построением чертежа, содержащего эмпирические данные и график эмпирической формулы y = ax2 + b (рис. 5.19).

Система нормальных уравнений имеет вид

45

Рис. 5.17. Вычисление сумм для системы нормальных уравнений

Рис. 5.18. Решение системы нормальных уравнений

Рис. 5.19. Построение эмпирической формулы вида y = ax2 + b по методу наименьших квадратов

46

2 способ. Используем рассмотренный выше инструмент Добавить линию тренда (рис. 5.20).

Рис. 5.20. Построение квадратичной эмпирической формулы с помощью команды Добавить линию тренда

Заметим, что функция g(x)=0,5226 x2 - 0,1837 x + 1,3013 общего вида (S=0,468) в смысле метода наименьших квадратов лучше выравнивает эмпирические данные, чем функция вида y =0,5067 x2 + 0,9016 (S=0,587).

Вычисления представлены на рисунке 5.21.

Рис. 5.21. Вычисление сумм квадратов отклонений теоретических значений от эмпирических значений по найденным формулам

47

6. Теория вероятностей

При решении многих задач теории вероятностей необходимо проводить значительный объем вычислений, которые удобно организовать в Excel.

6.1. Формула Бернулли

Пример 2.1 [2,c.68]. Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали равна 0,8. Найти вероятности возможного числа появления бракованных деталей среди 5 отобранных.

Решение. С помощью Excel несложно организовать решение задачи с получением результатов вычислений, и построением чертежа, содержащего полигон распределения вероятностей (рис. 6.1).

Рис. 6.1. Применение формулы Бернулли Опишем кратко шаги решения задачи.

Введите данные в ячейки D1, F1 и B4:B9. В ячейку D4 введите формулу:

=(ФАКТР(D$1)/(ФАКТР($B4)*ФАКТР(D$1-$B4)))*СТЕПЕНЬ(F$1;$B4)*

*СТЕПЕНЬ(1-F$1;D$1-$B4).

Функции СТЕПЕНЬ (число; степень) и ФАКТР (число) можно ввести с клавиатуры или вызвать с помощью Мастера функций, выбрав категорию

Математические.

После копирования этой формулы в ячейки D5-D9 автоматически проводится вычисление всех требуемых вероятностей. Приведенный фрагмент листа Excel легко модифицировать для решения любой вероятностной задачи на применение формулы Бернулли.

О том, как построить чертеж, содержащий полигон распределения вероятностей, прочитайте в разделе 4.

48

6.2. Вычисление значений функций Гаусса, Лапласа, Пуассона

Решение многих задач теории вероятностей и математической статистики основано на применение стандартных таблиц значений функций Гаусса, Лапласа, Пуассона и других таблиц. При решении задачи с помощью программы MS Excel эти значения могут быть получены с заданной точностью.

Функция НОРМСТРАСП(x) возвращает значение функции распределения стандартного нормального закона распределения. Это распределение имеет параметры a=0 и 2=1. Известно, что функция

вычислить по формуле (x)=2 НОРМСТРАСП(x)-1.

Функция НОРМРАСП(x; среднее; стандартное_откл; интегральная) возвращает нормальную функцию распределения для указанного среднего и стандартного отклонения. Интегральная — логическое значение, определяющее форму функции. Если интегральная имеет значение ИСТИНА, то функция НОРМРАСП возвращает интегральную функцию распределения; если это аргумент имеет значение ЛОЖЬ, то возвращается функция плотности распределения.

Следовательно, значение функции Гаусса f (x) 21 e x2\2 можно

вычислить по формуле f(x)= НОРМРАСП(x; 0; 1; ЛОЖЬ).

Заметим, что значения функции Гаусса можно вычислить и непосредственно по формуле f(x)=(1\ КОРЕНЬ(2* ПИ()))* EXP(-x*x\2).

В этой формуле функция ПИ() возвращает округленное до 15 значащих цифр число «пи» (значение 3,14159265358979), а функция EXP(число) возвращает экспоненту заданного числа, т.е. число "e", возведенное в указанную степень. Функция EXP(1) возвращает округленное до 15 значащих цифр число "e" (значение 2,71828182845904).

Значение функции Пуассона P(X m) m e можно непосредственно m!

вычислить по формуле f( ; m)=(СТЕПЕНЬ( ; m))/ ФАКТР(m))* EXP(- ).

49