Бакалавры экономики / Линейная алгебра / 14_Компьютерный практикум по высшей математике в Excel

Выполните шаги, описанные в разделах 4.1 и 4.2, изменив только одно действие: устанавливая тип и вид диаграммы, выбрать Точечная диаграмма со значениями, соединенными сглаживающими линиями (рис. 4.17).

Рис. 4.17. Выбор вида диаграммы

Выполните следующие действия:

– в поле Значения X введите значения абсцисс заданных точек. Для этого выделите мышкой ячейки области B5:B11 (рис. 4.18).

Рис. 4.18. Ввод координат точек параболы

30

–в поле Значения Y введите значения ординат заданных точек. Для этого выделите мышкой ячейки области C5:C11.

–щелкните мышьюнакнопкеДалее.

После заполнениявсехдиалоговыхоконпоявится диаграмма (рис.4.19).

Рис. 4.19. Парабола, заданная уравнением y = -0,5 x2 + x +1

Замечание. Задание точек, отмеченных на параболе (и их количество), проводится в соответствии с условием решаемой задачи.

4.6. Изображение окружности

Пример 4.5. Изобразить на плоскости окружность с центром в точке O(2;1) , имеющую радиус R =2.

Решение. Окружность с центром в точке O(x0; y0) , имеющую радиус

Определите в ячейке E2 число n точек, изображаемых на окружности. Вычислите значения параметра t, абсцисс и ординат точек окружности.

Для этого в ячейку C5 введите формулу =(2*ПИ()/E$2)*(B5-1), в ячейку D5

– формулу =C$1+E$1*COS(C5), в ячейку E5 – формулу =C$2+E$1*SIN(C5).

Скопируйте эти формулы в ячейки C6:E13.

Функцию ПИ(), которая возвращает округленное до 15 знаков после

запятой число , можно ввести с клавиатуры или вызвать с помощью Мастера функций, выбрав категорию Математические.

31

Рис. 4.20. Задание параметров и точек окружности

В диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 2 из 4) выполните следующие действия (рис. 4.21):

–в поле Значения X введите значения абсцисс заданных точек. Для этого выделите мышкой ячейки области D5:D13.

–в поле Значения Y введите значения ординат заданных точек. Для

этого выделите мышкой ячейки области E5:E13.

–щелкните мышьюнакнопкеДалее.

Рис. 4.21. Ввод координат точек параболы

32

После заполнениявсехдиалоговыхоконпоявится диаграмма (рис.4.22).

Рис. 4.22. Окружность с центром в точке O(2;1) и радиусом R =2

Замечание. При увеличении количества точек, отмеченных на окружности, гладкость линии повышается.

4.7. Изображение гиперболы

каждой из них на одной диаграмме в Excel необходимо провести как отдельного ряда данных. При задании этих рядов использовать тот факт, что

точка x dc является точкой разрыва функции. Следовательно, значения

абсцисс точек для одной ветви гиперболы должны быть меньше точки разрыва, а для другой ветви гиперболы – больше.

Введите коэффициенты a, b, c и d уравнения y cxax db гиперболы в

ячейки B1:B2 и D1:D2 (рис.4.23).

Задайте абсциссы нескольких точек, лежащих на ветвях гиперболы. Введите их значения в ячейки B5:B9 и B11:B15.

Вычислите значения ординат выбранных точек. Введите в ячейку C5 формулу: =(B$1*B5+D$1)/(B$2*B5+D$2). Скопируйте эту формулу в ячейки C6:C9 и C11:C15.

33

Рис. 4.23. Задание параметров и точек гиперболы

В диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 2 из 4) выполните следующие действия (рис. 4.24):

–введите вполеИмяназваниерядаданныхлевая ветвь.

–в поле Значения X для ряда левая ветвь введите значения абсцисс

заданных точек. Для этого выделите мышкой ячейки области B5:B9.

– в поле Значения Y введите значения ординат заданных точек. Для этого выделите мышкой ячейки области C5:C9.

Щелкните мышью на кнопке Добавить и заполните поля для второго ряда данных:

–введите вполеИмяназваниерядаданныхправая ветвь.

–в поле Значения X для ряда правая ветвь введите значения абсцисс заданных точек. Для этого выделите мышкой ячейки области B11:B15.

–в поле Значения Y введите значения ординат заданных точек. Для

этого выделите мышкой ячейки области C11:C15. ЩелкнитемышьюнакнопкеОК.

34

Рис. 4.24. Ввод координат точек параболы После заполнениявсехдиалоговыхоконпоявится диаграмма (рис.4.25).

Рис. 4.25. Гипербола, заданная уравнением y xx 12

35

5. Метод наименьших квадратов

На практике часто зависимость между двумя величинами выражается в виде таблицы, полученной опытным путем, в результате наблюдений или статистической обработки:

Формула y=f(x), служащая для аналитического представления опытных данных, получила название эмпирической формулы.

Наиболее часто для нахождения неизвестных параметров функции f(x) применяется метод наименьших квадратов, согласно которому необходимо сделать наименьшим выражение

n f (xi ) yi 2 .

i 1

5.1.Нахождение линейной эмпирической формулы

Рассмотрим сначала случай, когда зависимость является линейной, т.е. y=f(x) есть линейная функция y=ax+b с неизвестными параметрами a, b .

Для этого необходимо найти наименьшее значение функции двух переменных

S(a,b) n axi b yi 2 .

i 1

По необходимому условию экстремума функции двух переменных

Эта система называется системой нормальных уравнений.

Доказано, что система имеет единственное решение, которое является точкой минимума функции S(a,b).

Пример 15.13 [1, с.424-425]. Имеются следующие данные о цене на нефть x (ден. ед.) и индексе акций нефтяных компаний y (усл. ед.).

Предполагая, что между переменными x и y существует линейная зависимость, найти эмпирическую формулу вида y = ax +b, используя метод наименьших квадратов.

Решение.

1 способ. Решение системы нормальных уравнений имеет вид

36

С помощью Excel несложно организовать решение задачи с получением всех промежуточных результатов вычислений, проводимых при составлении системы нормальных уравнений, и построением чертежа, содержащего эмпирические данные и график линейной эмпирической формулы (рис. 5.1).

Рис. 5.1. Построение линейной эмпирической формулы по методу наименьшихквадратов

Опишем более подробно некоторые шаги решения задачи.

37

Шаг 1 (вычисление сумм системы нормальных уравнений)

Введите эмпирические данные в ячейки B3:C8.

Вычислите суммы n xi , n yi , n xi2 , n xi yi , входящие в систему

i 1 i 1 i 1 i 1

нормальных уравнений.

Для этого в ячейку D3 введите формулу = B3 * B3, в ячейку E3 – формулу = B3 * C3.

Скопируйте формулы из ячеек D3:E3 в ячейки D4:E8. Для этого, удерживая нажатой левую кнопку, выделите мышью ячейки D3:E3. Щелкните мышью по кнопке Копировать Панели инструментов Стандартная. Удерживая нажатой левую кнопку, выделите мышью ячейки D4:D8. Щелкните мышью по кнопке Вставить Панели инструментов Стандартная.

В ячейку B9 введите формулу =СУММ(B3:B8).

Скопируйте эту формулу в ячейки C9:E9 (рис. 5.2).

Рис. 5.2. Вычисление сумм системы нормальных уравнений

Шаг 2 (вычисление неизвестных параметров a, b)

Введите в ячейки D11 и G11 с клавиатуры формулы, соответствующие формулам (5.1). Первая формула представлена в строке формул на рисунке 5.1, а вторая – в строке формул на рисунке 5.3.

Рис. 5.3. Вычисление параметра b

Шаг 3 (вычисление значений функции y = ax + b и нахождение суммы квадратов отклонений теоретических данных от эмпирических данных)

Введите в ячейку F3 с клавиатуры формулу, которая представлена в строке формул на рисунке 5.4. Знак доллара означает абсолютную ссылку на

38

ячейки D11 и G11 с найденными параметрами a и b .

Введите в ячейку G3 с клавиатуры формулу =(F3-C3)*(F3-C3), по которой вычисляется квадрат отклонения f (x1) y1 2 .

Рис. 5.4. Вычисление значения функции f(x1)

Скопируйте формулы из ячеек F3:G3 в ячейки F4:G8. Для этого, удерживая нажатой левую кнопку, выделите мышью ячейки F3:G3. Щелкните мышью по кнопке Копировать Панели инструментов Стандартная. Удерживая нажатой левую кнопку, выделите мышью ячейки F4:F8. Щелкните мышью по кнопке Вставить Панели инструментов Стандартная.

В ячейку G9 скопируйте формулу из ячейки B9 (рис. 5.5).

Рис. 5.5. Вычисление суммы квадратов отклонений теоретических данных от эмпирических данных

О том, как построить чертеж, содержащий эмпирические данные и график линейной эмпирической формулы, прочитайте в разделе 4.

2 способ. Если нет необходимости получить промежуточные результаты вычислений, то можно использовать функции НАКЛОН и ОТРЕЗОК. Эти функции возвращают коэффициенты прямой регрессии y=ax+b, которая наилучшим образом сглаживает данные векторов x и y

(рис. 5.6).

39