13. Теорема Ролля и Лагранжа (без доказательства). Геометрическая интерпретация этих теорем

Теоремы этого параграфа являются основным средством, с помощью которого локальное понятие производной оказывается эффективным орудием при исследовании поведения функции (как в окрестности отдельной точки, так и на промежутках области ее определения).

Теорема Ролля. Пусть функция :

1) определена и непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале ;

3) .

Тогда существует такая точка , что.

Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что если функция fнепрерывна на отрезке, дифференцируема внутри его и принимает на концах отрезка равные значения, то существует точкаграфика функции, в которой касательная параллельна осиOx.

Теорема Лагранжа. Пусть функция :

1) определена и непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале ;

Тогда существует такая точка , что.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в том, что если функция fнепрерывна на отрезке и дифференцируема внутри его, то существует точкаграфика функции, в которой касательная параллельна хорде, соединяющей точкии.

Замечание. Формулу Лагранжа часто записывают в виде

и говорят, что приращение дифференцируемой функции на отрезке равно произведению приращения аргумента на значение производной в некоторой промежуточной точке.

Порядок точек bиaнесущественен: если , то, следовательно,.

Определение 1. Точка называетсявнутренней точкой множества, если существует окрестность точки , содержащаяся вE.

Определение 2. Точка называетсяграничной точкой множества, если в любой ее окрестности есть точки как принадлежащие множествуE, так и не принадлежащие ему.

Ясно, что точка является граничной точкой множествав том и только в том случае, если она является одновременно точкой прикосновения для множестваEи его дополнения.

Теорема 2 (условие постоянства функции).Пусть функция f :

1) определена и непрерывна на промежуткеI;

2) во всех внутренних точках промежутка I имеет производную , равную 0.

Тогда функция f постоянна на промежутке I .

Доказательство. Зафиксируем точку. Пусть. Применим к функцииfна отрезке с концамиx₀иxтеорему Лагранжа:, гдеc- междуx₀иx. По условию теоремы, , следовательно,для всех, т.е. функцияfпостоянна наI.

Правило Лопиталя

При вычислении пределов функций для раскрытия неопределенностей вида ипри стремлении аргумента к некоторому значению (,,,,,) нередко эффективно применяется прием, суть которого состоит в замене предела частного двух функцийна предел частного их производных.

Отметим, что это возможно, если функции fиgудовлетворяют некоторым условиям. Сформулируем соответствующие теоремы для некоторых случаев.

Теорема 1. Пусть функции и :

1) являются бесконечно малыми при ;

2) дифференцируемы в некоторой проколотой окрестности ;

3) в .

Тогда, если существует ,то существует , причем эти пределы равны.

Замечание 1. Еслине существует, то из этого не следует, что не существует.

Замечание 2. После некоторых тождественных преобразований правило Лопиталя применимо для раскрытия неопределенностей вида, а нередко и для раскрытия неопределенностей вида.

Пример 1. .