7. Второй замечательный предел, число е. Понятие о натуральных логарифмах

Рассмотрим последовательность . Вычислимa₁=2, , ,… . Можно доказать, что последовательность является возрастающей и ограниченной сверху, следовательно, имеет предел (по теореме о сходимости монотонной ограниченной последовательности). Обозначим предел буквойе.

Определение 1. Числом e называется предел последовательности.

Известно, что число eявляется иррациональным числом иe=2,718281828459045…

Можно доказать также, что . Этот предел и называетсявторым замечательным пределом. Обратим внимание, что переменнаяxпринимает значения произвольного знака, следовательно,и.

Замечание 1. Второй замечательный предел широко используется при вычислении пределов для раскрытия неопределенностей вида (1^).

Замечание 2. Второй замечательный предел часто используется в другой форме. Обозначим 1/x=y, тогдаx=1/y(xy0). Следовательно,.

Известно, что логарифмическая функция y=log_axявляется обратной к показательной функцииy=a^x.

Определение 2. Натуральным логарифмом(логарифмической функцией с основаниемe) называется функция, обратная к показательной функцииy=е^xи обозначаетсяy=lnx.

Напомним основные свойства функции y=lnx:

1. область определения функции  промежуток(0;+);

2. множество значений функции вся числовая прямая (-;+);

3. функция lnx возрастает на(0;+);

4. функция lnxнепрерывна в любой точкеx(0;+);

5. , .

8. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Точки разрыва

Определение 1. Функцияy=f(x) называетсянепрерывной в точкеx=x₀, если.

Можно доказать, что любая элементарная функция непрерывна в любой точке своей области определения. Напомним, что функция называетсяэлементарной, если она может быть получена из основных элементарных функций с помощью конечного числа операций сложения, умножения, деления и композиции функций. Косновным элементарным функциямобычно относят степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

Определение 2. Функцияy=f(x) называетсянепрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Тема 3: Производная

9. Производная и ее геометрический смысл. Уравнение касательной к плоской кривой в заданной точке

Очень многие задачи естествознания (математики, физики, химии, биологии и других наук) приводят к необходимости вычисления для заданной функции пределов специального вида, которые характеризуют скорость изменения значений функции.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Пусть Разностьназывается приращением независимой переменной (илиприращением аргумента) в точкеx₀и обозначаетсяx. Итак,. Следовательно, .

Приращением функцииfв точкеx_0, соответствующим приращениюx, называется разность и обозначается или простоf. При фиксированном значенииx₀приращение функцииfесть функция отx.

Определение 1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки .Производной функцииfв точкеx₀называется предел, если он существует и конечен.

Обозначения: , , , .

Заметим, что производная функции в точке – это число.

Выясним геометрический смысл производной функции f в точке x₀. Прямая ММ₀, проходящая через точки М₀(x₀; f(x₀)) , М(x; f(x)) при , называетсясекущей графика. Положение секущей определяется точкой М₀ и угловым коэффициентом секущей . Если, то точка М, перемещаясь по графику, приближается к точке М₀. Возможно, получится так, что секущая будет приближаться к некоторому определенному положению М₀N.

Определение 2. Если существует предельное положение секущей ММ₀ при , т.е. существует, то прямая, проходящая через точку М₀ и имеющая угловой коэффициент k₀, называется касательной к графику функции f в точке М₀(x₀; f(x₀)) .

Если существует , то существует, а это и означает, по определению, что существует касательная к графику функцииfв точке М₀и ее угловой коэффициент.

Итак, геометрический смысл производной функцииfв точкеx₀заключается в том, что значение производнойравно угловому коэффициенту касательной к графику функцииf, проведенной в точке М₀(x₀;f(x₀)) . Зная координаты точки М₀и угловой коэффициент, получаем уравнение этой касательной: .