31. Необходимый признак сходимости рядов (доказать). Гармонический ряд и его расходимость (доказать)

Теорема 1. (необходимое условие сходимости числового ряда).Если числовойрядсходится,то.

Доказательство. Ряд сходится, т.е. существует предел. Заметим, что.

Рассмотрим . Тогда. Отсюда,.

Следствие 1. Если не выполнено условие , то рядрасходится.

Замечание 1. Условиене является достаточным для сходимости числового ряда. Например,гармонический рядрасходится, хотя и имеет место.

Определение 1. Числовой рядa_n+1+a_n+2+…=, полученный из данного ряда отбрасыванием первыхп членов, называетсяn-мостаткомданного ряда и обозначаетсяR_n .

Теорема 2. Если числовой рядсходится, то сходится и любой его остаток.Обратно: если сходится хотя бы один остаток ряда, то сходится и самряд. При этом для любого n выполняется равенство S=S_n+R_n .

Следствие 2. Сходимость или расходимость числового ряда не изменится, если удалить или добавить несколько первых членов.

Следствие 3.  .

32. Признаки сравнения и признак для знакоположительных рядов

Теорема 1 (признак сравнения рядов с положительными членами в неравенствах).Пусть и-ряды с неотрицательными членами,причем для каждого пN выполнено условие а_nb_n . Тогда:

1) из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими членами;

2) из расходимости ряда с меньшими членами следует расходимость ряда с большими членами.

Замечание 1. Теорема верна, если условиеа_nb_nвыполняется с некоторого номераNN.

Теорема 2 (признак сравнения рядов с положительными членами в предельной форме).

Пусть и-ряды с неотрицательными членами и существует.Тогдаданные ряды сходятся или расходятся одновременно.

33. Признак Даламбера сходимости знакоположительных рядов

Теорема 1 (признак Даламбера).Пусть-ряд с положительными членами и существует.

Тогда ряд сходится приq1и расходится при q>1 .

Доказательство. Пустьq1. Зафиксируем числортакое, чтоq p1. По определению предела числовой последовательности, с некоторого номераNNвыполняется неравенствоa_n+1 /a_np, т.е.a_n+1 pa_n. Тогдаa_N+1pa_N , a_N+2 p²a_N .По индукции легко показать, что для любогоkNверно неравенство, a_N+k p^ka_N . Но рядсходится как геометрический ряд (p<1). Следовательно, по признаку сравнения рядов с неотрицательными членами, рядтакже сходится. Следовательно, сходится и ряд(по теореме 2.2).

Пусть q>1. Тогда с некоторого номераNNверно неравенствоa_n+1/a_n>1, т.е.a_n+1>a_n . Следовательно, с номераNпоследовательность (a_n) является возрастающей и условиене выполнено. Отсюда, по следствию 2.1, вытекает расходимость рядаприq>1.

Замечание 1. С помощью интегрального признака несложно проверить, что числовой ряд сходится, еслиа>1, и расходится, еслиa1. Ряд называетсягармоническимрядом, а ряд с произвольнымRназываетсяобобщенным гармоническим рядом.

34. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов

Исследование рядов с членами произвольных знаков представляет более трудную задачу, однако в двух случаях есть удобные признаки: для знакочередующихся рядов - теорема Лейбница; для абсолютно сходящихся рядов применим любой признак исследования рядов с неотрицательными членами.

Определение 1. Числовой ряд называетсязнакочередующимся, если любые два соседних члена имеют противоположные знаки, т.е. ряд имеет вид или , гдеa_n>0 для каждогоnN.

Теорема 1 (Лейбница).Знакочередующийся ряд сходится, если:

1) (a_n) -невозрастающая последовательность;

2) при .

При этом модуль суммы знакочередующегося ряда не превосходит модуля его первого члена, т.е. S a₁.

Доказательство. Пусть ряд имеет вид . Рассмотрим последовательность. Она является неубывающей, так как для любогоnNвыполняется условие, и ограниченной сверху, так как для любогоnNвыполняется условие. Следовательно, последовательностьсходится. Пусть. Тогда. Отсюда получаем, что последовательностьсходится кS, т.е. ряд сходится и имеет суммуS.

Заметим также, что , следовательно, для любогоnNвыполняется условие. Аналогичными рассуждениями доказывается, что, следовательно,. Если же ряд имеет вид , то. Следовательно, в общем случае выполняется неравенство. После предельного перехода при получаем, что и требовалось доказать.

Следствие 1. Модуль остатка знакочередующегося ряда типа Лейбница не превосходит модуля его первого члена, т.е..