5.1.2. Представление информации в компьютере

В компьютере применяются две формы представления чисел:

— естественная форма, или форма с фиксированной за­пятой (точкой);

— нормальная форма, или форма с плавающей точкой.

С фиксированной запятой (точкой) все числа изобража­ются в виде последовательности цифр с постоянным для всех цифр положением запятой (точкой), отделяющей целую часть от дробной. Эта форма наиболее проста, естественна, но имеет небольшой диапазон представления чисел.

С плавающей запятой (точкой) каждое число изобража­ется в виде двух групп цифр. Первая группа называется ман­тиссой, вторая — порядком, причем абсолютная величина мантиссы должна быть меньше 1, а порядок — целым чис­лом. В общем виде число в форме с плавающей точкой мо­жет быть представлено следующим образом:

N= ± М*Р ^{± r},

где М— мантисса числа, (| М | < 1);

r — порядок числа;

Р — основание системы счисления.

Например: +0,72*10³; -0,103*10⁵.

Нормальная форма представления имеет огромный ди­апазон отображения чисел и является основой в современ­ных ЭВМ. Вся информация в ЭВМ (данные) представлена в виде двоичных кодов.

Последовательность нескольких битов или байтов час­то называют полем данных. Биты нумеруются справа нале­во, начиная с 0-го разряда. В компьютере могут обрабаты­ваться поля переменной и постоянной длины.

Размеры поля постоянной длины:

- слово — 2 байта;

- по­луслово — 1 байт;

- двойное слово — 4 байта;

- расширенное слово — 8 байт;

- слово длинной 10 байт.

Числа с фиксированной запятой чаще всего имеют фор­мат слова и полуслова, числа с плавающей запятой — фор­мат двойного и расширенного слова.

Поля переменной длины могут иметь любой размер от 0 до 256 байт, но обязательно равный целому числу байтов. Двоично-кодированные числа в компьютере могут быть представлены полями переменной длины в так называемом упакованном и распакованном формате. Для кодирования чисел используют кодовые таблицы, основной из которых является таблица ASCII-кодов (американский стандарт — Атеriсаn Standard Code for Information Interchange для обме­на кодов). В ней каждый символ представлен десятичным числом от 0 до 256. Аналогом отечественной таблицы слу­жит таблица КОИ-8.

Биты и байты используются для измерения «емкости» памяти и для измерения скорости передачи двоичной ин­формации. Скорость передачи измеряется количеством пе­редаваемых байтов в секунду — бод.

5.2. Основы алгебры высказываний

Для анализа и синтеза схем ЭВМ при алгоритмизации и программировании различных задач используется мате­матический аппарат алгебры логики.

В алгебре логики значения всех элементов определены на двухэлементном множестве: 0 и 1. Наименьшим элемен­том является 0, наибольшим — 1. Обычно цифрой 0 обозна­чено значение «ложь», цифрой 1 — значение «истина».

Алгебра логики оперирует с высказываниями. Выска­зывание — это любое предложение, в отношении которого имеет смысл утверждение об его истинности или ложности и при этом удовлетворяет закону исключения третьего, г.с. каждое высказывание или истинно или ложно и не может быть одновременно и истинным, и ложным.

Например, высказывание «город Сочи расположен на берегу Черного моря» истинно, а высказывание «город Ростов расположен на берегу Черного моря» ложно. Из простых высказываний А, В можно образовать более сложные высказывания: «А и В», «А или В», «неверно, что А», «если А, то В» («из А следует В»). Зная истинность или ложность утверждений А, В, можно установить истинность или лож­ность сложного (составного) высказывания.

Высказывание можно формализовать с помощью логи­ческой формулы. Логическая формула включает в себя ло­гические переменные и знаки логических операций. Пере­менные представляют собой утверждения и обозначаются обычно буквами латинского или русского алфавита.

Основные логические операции алгебры:

- логическое умножение, конъюнкция (обозначения ∩, &, AND, И):

- логическое сложение, дизъюнкция (обозначения U, ОR, ИЛИ);

- отрицание (обозначения ¬, ~, NOT, НЕ, Ā для выска­зывания А);

- импликация (обозначения →).

Мы будем использовать первые из указанных в списках обозначения.

Например, высказывание «если будет дождь, мы не по­едем в гости, будем сидеть дома» можно формально пред­ставить формулой А→ ¬В∩С, где переменная А в данном случае представляет высказывание «будет дождь», В — вы­сказывание «поедем в гости», С — «будем сидеть дома». Про­читать такую формулу можно так: «из А следует не В и С».

Операнды дизъюнкции называют дизъюнктами, операн­ды конъюнкции — конъюнктами. В импликации х→y ле­вый операнд, формулу х, называют посылкой, а правый опе­ранд, формулу у, — заключением. Читают импликацию как «из х следует у», или «х влечет у».

Формальное определение формулы строится по индукции:

логическая переменная является формулой;

если х и у формулы, то х U ¬у, х ∩ у, х→у, ¬х также формулы.

Например, (х→у) U ¬z — это формула, ¬ ¬х — также формула (двойное отрицание: «неверно, что не x»), а выра­жжение х U →z формулой не является (операндами логичес­ких операций должны быть формулы, а ни х U, ни →z ими не являются).

На множестве {0, 1} операции ¬, ∩, U, → определены при помощи следующих таблиц:

А	¬А
0	1
1	0

Отрицание истинно тогда и только тогда, когда исход­ное высказывание А ложно, и ложно, когда исходное вы­сказывание А истинно.

А	В	А∩В
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Конъюнкция истинна тогда и только тогда, когда опе­ранды А и В истинны.

А	В	А U В
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Дизъюнкция ложна тогда и только тогда, когда оба опе­ранда А и В ложны.

А	В	А→В
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Импликация ложна тогда и только тогда, когда первое высказывание А (посылка, причина) истинно, а второе вы­сказывание В (заключение, следствие) ложно.

Приоритеты операции: существует договоренность о по­рядке выполнения логических операций, если этот порядок не размечен круглыми скобками. Наивысший приоритет имеют отрицание и скобки, затем конъюнкция, далее вы­полняется дизъюнкция и последней — импликация.

Чтение формул. Формулы необходимо читать с учетом приоритетов операций. Например, формулу ¬ (x → ¬ y) → z можно прочитать так: из того, что не выполняется условие «из х следует не у», вытекает (логически следует) z. Другой пра­вильный вариант: если неверно, что из х следует не у, то вы­полняется z. Прочтение «если не х, то не у влечет z» является неверным и неоднозначным, так как соответствует формуле:

¬x → (¬у →z ) и формуле: (¬x →¬у) →z.

Эквивалентность формул означает совпадение их зна­чений истинности для всех возможных наборов входящих в них переменных. Операцию эквивалентности обозначают обычно знаком тождества .

Существуют формулы, имеющие одно и то же значе­ние, при различных значениях входящих в них перемен­ных. К ним относятся тавтология и противоречие.

Тавтология — это формула, истинная при любой ин­терпретации входящих в нее переменных. Так, формула хU¬х всегда истинна. Действительно, значение дизъюнк­ции есть истина, если хотя бы один ее операнд истинен, а в этой формуле, если х — ложь, то ¬х — истина.

Противоречие — это формула, ложная при любой ин­терпретации входящих в нее переменных. Так, формула х∩¬х всегда ложна. Действительно, значение конъюнк­ции есть ложь, если хотя бы один ее операнд ложен, а в этой формуле если х — истина, то ¬х — ложь.

Если заданы значения переменных, то, используя стан­дартную интерпретацию, можно определить, истинна или нет данная формула.

Определение истинности формул с помощью таблиц ис­тинности продемонстрируем на примере, в котором следу­ет определить, истинна или нет формула

¬ (х U ¬у) → х ∩ у, если а) x=1, у=0; б) x=0, у=1.

Решение. Для решения задачи нужно подставить дан­ные значения x и y в формулу и использовать интерпрета­цию операций, учитывая их приоритет.

Так, для а): ¬ (1 U ¬0) → 1∩0 = ¬1→0 = 0→0 = 1.

Ответ : при x= 1, у =0 данная формула истинна.

Для б): ¬ (0 U ¬1) → 0∩1 = ¬ (0 U 0) → 0 = ¬0→0 = 1→0.

Ответ: при x=0, у=1 данная формула ложна. Этот процесс можно представить таблицей:

x	y	¬y	x U ¬у	¬ (x U ¬y)	х ∩ у	¬ (х U ¬у) → x∩y
1	0	1	1	0	0	1
0	1	0	0	1	0	0

Построение формулы по таблице истинности для ло­гической функции. Всякую формулу можно понимать как логическую функцию от ее переменных — аргументов.

Так, приведенная выше таблица задает график функции

φ(х,у,z) = ¬ (х ∩ у) →¬x U ¬у U ¬z → х U у U z :

x	у	z	φ
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	1
1	0	0	1
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

Можно ли по такой таблице построить логическую фор­мулу, ей соответствующую? Если даны значения истинно­сти, какой либо логической функции для всех возможных значений ее переменных, то можно построить эквивалент­ную этой функции формулу. Заметим, что таких формул может быть несколько, но их интерпретации (истинност­ные значения) будут совпадать.

Один из способов построения формулы по таблице со­стоит в следующем. Пусть дана таблица значений некото­рой логической функции ψ, например, от трех переменных х, у, z:

x	y	z	ψ
0	0	0	1
0	0	1	0
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	1
1	0	1	1
1	1	0	0
1	1	1	0

Оставляем в ней строки, в которых значения функции ψ равны 1 (истине). Получим следующую таблицу:

x	y	z	ψ
0	0	0	1
0	1	0	1
1	0	0	1
1	0	1	1

Искомая формула теперь строится так: каждой строке таблицы соответствует конъюнкция, в которую переменная входит с отрицанием, если ее значение в строке было 0, и без отрицания, если 1.

Заменим для наглядности в таблице последний столбец этими конъюнкциями:

x	у	z	Построение искомой формулы
0	0	0	¬х ∩ ¬у ∩ ¬z
0	1	0	¬x ∩ у ∩ ¬z
1	0	0	х ∩ ¬у ∩ ¬z
1	0	1	x ∩ ¬у∩ z

Далее строим дизъюнкцию этих конъюнкций, соединяя полученные подформулы знаком U:

ψ = ¬х ∩ ¬у ∩ ¬z U

¬х ∩ у ∩ ¬z U

х ∩ ¬у ∩ ¬z U

х ∩ ¬у ∩ z

Это и есть формула, эквивалентная исходной функции ψ. Данный факт можно проверить, построив для получен­ной формулы соответствующую таблицу истинности.

Упрощение формул — важная задача в логике высказы­ваний. Под упрощением понимается получение более про­стой (например, более короткой, не содержащей знаков →, скобок, отрицаний над составными формулами) формулы, эквивалентной данной. Для этого используются эквивален­тные преобразования формул, основанные на следующих известных тождествах (правилах):

1) ¬(AUB) = ¬А∩¬В 3) А∩(ВUС) = А∩В U А∩С 5) AU(А∩В) = А 7) (АUВ) ∩¬В = AU¬B 9) A→B = ¬AUB 11) А∩В = B∩A 13) (А∩В)∩C = A∩(B∩C) 15) (A=B) = (B=A) 17) AUB∩¬В = А 19) AUBU¬В = B∩¬В 21) A∩(BU¬В) = A 23) AU¬A = 1

2) ¬(A∩B) = ¬АU¬В 4) АU(В∩С) = (АUВ)∩(АUС) 6) A∩(АUВ) = А 8) A→(B→C) = A∩B→C 10) A→B = ¬B→¬C 12) АUВ = BUA 14) (АUВ)UC = AU(BUC) 16) A∩A = A 18) ¬¬A = A 20) AUA = A 22) A∩¬A = 0

Большинство из данных формул можно легко вывести, используя таблицы истинности. Здесь А, В, С — подфор­мулы, в частности, логические переменные. Обычно при преобразованиях вначале избавляются от импликаций с по­мощью правила 9, затем от отрицаний над составными фор­мулами (правила 1,2, 18) и скобок.

Правило 19 говорит о том, что в дизъюнкции подфор­мула-тавтология и будет результатом, поскольку она все­гда истинна, а для истинности дизъюнкции достаточно ис­тинности хотя бы одною операнда. Правило 17 говорит о том, что противоречие не влияет на результат дизъюнкции, так как оно всегда ложно и результат определяется истин­ностью или ложностью оставшейся формулы. Соответствен­но тавтология не влияет на результат конъюнкции (прави­ло 21), что она всегда истинна и окончательный результат зависит только от значения оставшейся формулы.

Раздел математической логики — логика высказываний является математической основой построения компьютеров, представления и преобразования информации.

Приняты следующие изображения простейших логичес­ких блоков, из которых строятся более сложные устрой­ства компьютеров: триггеры, регистры памяти, счетчики и другие элементы (рис. 1.1).

U

&

¬

a a+b a a*b a ¬a

b b

схема ИЛИ схема И схема НЕ

Рисунок 5.1 - Простейшие логические элементы компьютера

Контрольные вопросы

1. Фазы существования информации.

2. Потребительские свойства информации, характеризующие ее ка­чество.

3. Меры информации.

4. Экономическая информация: понятия, особенности, классификация.

5. Понятия и свойства единиц информации.

6. Методы классификации экономической информации.

7. Системы кодирования экономической информации.

8. Системы счисления, представление чисел в различных системах.

9. Методы перевода чисел из одной системы счисления в другую.

10. Представление информации в компьютере.

11. Основные понятия математической логики: высказывания, логические операции, приоритеты операций.

12. Тавтология и противоречия в алгебре логики.

13. Определение в алгебре логики истинности формул с помощью таблиц.

14. Построение формулы по таблице истинности для логической функции.

15. Упрощение формул в алгебре логики.