Нелинейная регрессия
Наиболее привлекательными с точки зрения простоты построения и экономической интерпретации являются линейные регрессионные модели.
К ним прибегают всегда, в том числе и в случаях нелинейных связей, когда нет угрозы значительных потерь в точности оценок.
Однако для некоторых зависимостей их представление в
линейной форме приводит к ложным выводам. Тогда используют нелинейные регрессионные функции.
Параболическое уравнение парной регрессии
Равноускоренное изменение результативного признака у при равномерном изменении фактора х говорит о параболической связи между признаками.
При этом в некоторой точке связь может поменять свое направление: прямая связь перейти в обратную и наоборот.
При парной параболической зависимости уравнение регрессии имеет вид:
y |
x |
a |
0 |
a x |
a |
2 |
x2 |
|
|
1 |
|
|
Параметры уравнения находят из следующей системы нормальных уравнений:
|
na0 |
a1 x |
||
|
a0 x a1 |
x |
2 |
|
|
|
|||
|
2 |
a1 |
x |
3 |
a0 x |
|
|||
a2 x 2 y,
a2 x3 yx,
a2 x 4 yx2 .
Гиперболическое уравнение парной регрессии
Гиперболическая зависимость имеет место, если связь между признаками обратная.
Обратная связь также может описываться линейным уравнением с отрицательным значением коэффициента регрессии. По расположению точек на корреляционном поле можно выбрать окончательный вид уравнения.
При выборе гиперболы факторный признак не может принимать нулевое значение.
Уравнение гиперболы при парной зависимости между признаками имеет вид:
yx a0 ax1
Если значения результативного признака у уменьшаются при увеличении факторного признака х, параметр а1 имеет положительное значение, если у увеличиваются при увеличении х – отрицательное.
При этом и уменьшение значений у, как в первом случае, и их увеличение, как во втором, будут постепенно замедляться, и при неограниченном росте значений х, средняя величина результативного признака у будет сколь угодно мало отличаться от значения свободного члена уравнения а0.
Примером гиперболической связи может являться зависимость между объемом производства продукции и ее себестоимостью. Как правило, с увеличением размера выпуска продукции себестоимость единицы продукции уменьшается, но до определенного предела, после которого все большее увеличение объема выпуска уже не приводит к уменьшению затрат, составляющих себестоимость.
Для оценки параметров гиперболы в случае парной зависимости используется следующая система нормальных
уравнений:
|
1 |
y, |
|||||
|
na0 a1 x |
||||||
|
1 |
|
1 y |
||||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||
x a1 x2 x . |
|||||||
a0 |
|||||||
Корреляционное отношение
Линейный коэффициент корреляции характеризует тесноту связи только в случае линейной зависимости.
Если связь криволинейна, то линейный коэффициент дает заниженную оценку, а в некоторых случаях обращается в
ноль.
Тогда рассчитывают другой показатель – корреляционное отношение, которое применяется как при линейной, так и при
нелинейных формах зависимостей.
В теории статистики различают эмпирическое корреляционное отношение и теоретическое корреляционное отношение.
Эмпирическое корреляционное отношение вычисляется на основе данных комбинационной таблицы, содержащей
группировку значений показателя у в зависимости от значений
х:
эмп. |
у2 |
|
у2 |
||
|
у2 – межгрупповая дисперсия
у2 - общая дисперсия
Квадрат эмпирического корреляционного отношения называется эмпирическим коэффициентом детерминации,
который характеризует долю вариации результативного признака у за счет действия группировочного признака х.
Теоретическое корреляционное отношение:
|
|
|
теор. |
( ух уобщ )2 |
|
( у уобщ )2 |
||
|
у – общее среднее значение у,
общ
ух – теоретические (выравненные) значения у,
Квадрат теоретического корреляционного отношения называется теоретическим коэффициентом детерминации.
Он показывает долю вариации результативного признака у, которую можно объяснить полученным уравнением регрессии.
Значение корреляционного отношения и коэффициента детерминации изменяется от 0 до 1. Чем ближе к 1, тем теснее.
Нулевое значение обозначает отсутствие связи с переменной
х.
Значение |
коэффициента |
Характеристика связи |
|
детерминации |
|
||
меньше 0,3 |
|
весьма слабая |
|
0,3 |
– 0,5 |
|
слабая |
0,5 |
– 0,8 |
|
средняя |
0,8 |
и выше |
|
сильная |
Если зависимость между двумя признаками линейная, значение теоретического корреляционного отношения совпадет со значением линейного (парного) коэффициента корреляции.