Мат_модели

Основная связь между двойственными задачами изложена в следующих утверждениях.

Теорема 1 (основное неравенство для двойственных задач). Для всех допустимых решений X ,Y пары двойственных задач имеет место неравенство z(X )≤T (Y ).

Теорема 2 (первая теорема двойственности). Если исходная задача имеет оптимальное решение, то и двойственная ей имеет оптимальное решение. При этом оптимальные значения обеих целевых функций равны, то есть zmax =Tmin .

Чтобы решить задачу линейного программирования, иногда проще решить двойственную задачу, а затем найти решение исходной задачи.

Задачи для самостоятельного решения

Для задач линейного программирования построить двойственные задачи

31

Двойственная задача имеет вид

Решим ее графическим способом. Строим на плоскости (y1, y2 ) прямые

l2

A

33

Вектор нормали n имеет координаты n = (1,22). Поэтому, очевидно, мак-

симальное значение функции T (Y ) достигается в точке A(9,14) и

Y = (9,14), Tmax =T (9,14)= 9 +22 14 +19 = 336 .

Запишем теперь теорему равновесия для данной пары двойственных задач

С учетом того, что Y = (9,14) (то есть y1 ≠ 0, y2 ≠ 0 ) и A = l1 ∩l2 , A l3 (то есть

−10 y1 +8y2 −22 = 0, 7 y1 +2 y2 −91 = 0 , 3y1 −10 y2 +37 ≠ 0 , в чем можно убедить-

ся непосредственной подстановкой), выполнение первых двух уравнений очевидно, третье сводится к условию x3 = 0 и система сводится к виду

Задачи для самостоятельного решения

Для следующих задач линейного программирования а) построить задачу, двойственную данной; б) решить двойственную задачу графическим методом;

в) найти решение исходной задачи с помощью теоремы равновесия.

34

§3. Решение двойственных задач с помощью симплекс-метода

Решение пары двойственных задач может быть основано на следующем правиле.

Теорема 4. Если для одной из задач оптимальное решение найдено симплекс-методом, то в исходной задаче можно выделить квадратную матрицу P, образованную столбцами, соответствующими базисным переменным оптимального решения. Тогда оптимальное решение двойственной задачи находится по формуле

Y * = cбаз P−1 ,

где – вектор-строка, образованная коэффициентами при базисных

переменных заключительной симплекс-таблицы в целевой функции исходной задачи.

Пример 3. Для задачи

z = 23x1 + 40x2 + 60x3 + 2x4 − x5 −18 → max4x1 +10x2 +11x3 + x4 + x5 = 57,

2x −6x2 − x3 + x4 − x5 = 9,

35

построить двойственную, решить исходную задачу симплекс-методом и найти оптимальное решение двойственной задачи.

Решение. Составим задачу, двойственную к данной. Образуем расширенную матрицу

и преобразуем ее по общему правилу

Двойственная задача имеет вид

Решим исходную задачу симплекс-методом. В задаче не выделен допустимый базис, поэтому для его нахождения можно использовать метод искусственного базиса или выделить его непосредственно из нетривиальных ограничений: сложим уравнения, а затем вычтем из первого второе. Получим систему

с выделенным базисом x4 , x5 . Выражаем базисные переменные x4 , x5

x4 = 33 −3x1 −2x2 −5x3 , x5 = 24 − x1 −8x2 −6x3

36

и подставляем полученные выражения в формулу для z . Получим задачу

Перепишем целевую функцию в виде

z−18x1 −44x2 −56x3 = 24

иимеем симплекс-таблицу

из базиса переменную x5 . Делим соответствующую строку на 6 и получаем

В строке оценок осталась единственная отрицательная оценка, а так как

ножаем первую строку на 6 /13 , получаем симплекс-таблицу

и делаем шаг симплекс-метода:

37

Так как в строке оценок нет отрицательных элементов, то полученная симплекс-таблица – заключительная, оптимальное решение X * = (6,0,3,0,0)

и zmax = z( X * ) = 300 .

Базисными переменными оптимального решения являются x1, x3 ,

cбаз = (23,60) , поэтому оптимальным решением двойственной задачи будет

причем Tmin = T (Y * ) = 57 112 +9 12 −18 = 300 = zmax .

Если в задаче линейного программирования выделен допустимый базис и базисные переменные исключены из целевой функции, то оптимальным решением двойственной задачи являются элементы строки оценок последней симплекс-таблицы при базисных переменных исходной симплекс-таблицы. Например, для задачи ( ) двойственной задачей будет

T = 33y1 + 24 y2 + 24 → min

3y1 + y2 ≥18,2 y1 +8y2 ≥ 44,5y1 + 6 y2 ≥ 56,

y1 ≥ 0,

y ≥ 0.2

и общая формула теоремы 4 дает

Y * = (18,56) 3 5 −1 = (4,6), T (Y * )= 33 4 + 24 6 + 24 = 300 .

1 6

38

С другой стороны, оптимальное решение Y * = (4,6) легко находится из

строки оценок последней симплекс-таблицы как коэффициенты при базисных переменных x4 , x5 исходной.

Задачи для самостоятельного решения

Для следующих задач линейного программирования а) построить задачу, двойственную данной;

б) решить исходную задачу симплекс-методом и найти решение двойственной задачи.

39