linalgebra

Пространство Rn называют n-мерным координатным пространством , а его элементы (строки длины n из действительных чисел) называют векторами. Пространство Rn èíî- гда неправильно называют n-мерным арифметическим пространством, а его элементы - n-мерными арифметическими векторами . Вектор

(0, . . . , 0) Rn

называют нулевым вектором и обозначают через 0.

Âпространствах R1, R2 è R3 геометрически определены операции сложения векторов

èумножения векторов на числа. Вот несколько примеров:

Эти операции естественным образом обобщаются на Rn. А именно, определим

(1) сумму векторов (x1, . . . , xn) è (y1, . . . , yn) êàê

(x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) := (x1 + y1, . . . , xn + yn);

(2) произведение вектора (x1, . . . , xn) на число λ R êàê

λ(x1, . . . , xn) := (λx1, . . . , λxn).

Например, в R5 имеем:

(2, −1, 3, −3, 0) + (1, −2, −2, 5, 1) = (3, −3, 1, 2, 1),

3(−1, 2, 1, −2, 6) = (−3, 6, 3, −6, 18).

2. Определение и примеры векторных пространств

Абстрактное векторное пространство определяют следующим образом.

Определение 2.1. Векторным пространством называют множество V (элементы которого называют векторами) с отмеченным вектором 0 V (который называют нулевым вектором) такое, что

• для любых векторов a, b V определена их сумма a + b;

•для любого вектора a V и любого числа λ R опрелено их произведение λa;

•выполнены следующие свойства:

(1)a + b = b + a;

(2)(a + b) + c = a + (b + c);

(3)a + 0 = a;

(4)для любого вектора a существует вектор −a такой, что a + (−a) = 0;

(5)λ(a + b) = λa + λb;

(6)(λ + µ)a = λa + µa;

(7)(λµ)a = λ(µa);

(8)1a = a.

Векторные пространства иногда неправильно называют линейными пространствами.

Основным примером векторного пространства для нас будет определенное выше пространство Rn.

Приведем еще примеры векторных пространств.

Пример 2.2. Множество {0}, состоящее только из нулевого вектора 0, является векторным

пространством (его называют нулевым пространством). В нулевом пространстве 0+0 = 0

è λ0 = 0.

Пример 2.3. Рассмотрим множество многочленов от переменной t (обозначим его через R[t]). Тогда R[t] является векторным пространством.

Пример 2.4. Фиксируем натуральное число n и рассмотрим множество многочленов сте-

ïåíè íå âûøå n от переменной t (обозначим его через R[t]6n). Тогда R[t]6n является векторным пространством.

Пример 2.5. Пусть x1, . . . , xn - переменные. Линейной функцией от x = (x1, . . . , xn) называют функцию вида

f(x) = f(x1, . . . , xn) = a1x1 + . . . + anxn,

ãäå a1, . . . , an R. Рассмотрим множество всех линейных функций. Естественным образом определены суммы линейных функций и произведения линейных функций на числа. Относительно этих операций множество линейных функций от x1, . . . , xn является век- торным пространством. Нулевым вектором является нулевая функция, то есть функция

f(x) = 0x1 + . . . + 0xn = 0.

Èç ñâîйств (1) (8) векторных пространств несложно вывести, что для любых векторов a1, . . . , an векторного пространства и любых чисел λ1, . . . , λn R корректно определен вектор

λ1a1 + . . . + λnan.

Лемма 2.6. Для любых векторов a, a1, . . . , an и любых чисел λ, λ1, . . . , λn R выполнены следующèå ñâойства.

(1)λ0 = 0.

(2)0a = 0.

(3)(−λ)a = −(λa).

(4)λ(−a) = −(λa).

(5)(λ1 + . . . + λn)a = λ1a + . . . + λna.

(6)λ(µ1a1 + . . . + µnan) = (λµ1)a1 + . . . + (λµn)an.

Доказательство. При доказательстве мы будем использовать свойства (1) (8) из определения векторных пространств.

Сначала докажем, что

Действительно, к правой и левой частям равенства a + b = a + c прибавим −a. Получим a + b + (−a) = a + c + (−a).

Упрощаем левую и правую части этого равенства:

ë.÷. = a + b + (−a) = b + a + (−a) = b,

ï.÷. = a + c + (−a) = c + a + (−a) = c

и, следовательно, b = c.

Докажем (1). Имеем:

λ0 + λ0 = λ(0 + 0) = λ0 = λ0 + 0

и из (2.1) следует λ0 = 0.

Докажем (2). Имеем:

0a + 0a = (0 + 0)a = 0a = 0a + 0

Определение 2.7. Пусть V - векторное пространство. Подмножество L V называют подпространством пространства V , åñëè

(1)для любых векторов a, b L их сумма a + b лежит в L;

(2)для любого вектора a L и любого числа λ R их произведение λa лежит в L.

Подпространства векторного пространства называют также линейными подпространствами.

Пример 2.8. Пространство V является подпространством самого себя.

Пример 2.9. Подмножество {0} V , состоящее из нулевого вектора, является подпространством (его называют нулевым подпространством).

Теорема 2.10. Подпространство векторного пространства является векторным пространством.

Доказательство. Мы должны доказать, что если L - подпространство векторного пространства V , òî L само по себе является векторным пространством, т.е. для L выполнены

свойства, указанные в определениè векторных пространств.

Нулевым вектором в L является 0 нулевой вектор пространства V . Мы должны только проверить, что 0 L. Для этого берем какой-нибудь a L и получаем: 0a = 0 (Лемма

2.6 (2)) è 0a L (свойство (2) определения подпространств) и, следовательно, 0 L. Сумму векторов из L определим складывая их как векторы из V . Мы должны только

проверить, что складывая так векторы из L мы будем получать векторы из L. Íî â ýòîì

как раз и состоит свойство (1) подпространств.

Произведение вектора из L на число определим умножая его на число как вектор из V . Мы должны только проверить, что умножая так вектор из L на число мы будем получать вектор из L. Но в этом как раз и состоит свойство (2) подпространств.

Наконец, мы должны доказать, что для векторов из L выполнены свойства (1) (8). Но это очевидно, так как эти свойства выполнены для векторов из V è L V .

Опишем две важные конструкции подпространств.

Подпространства в Rn как множества решений систем однородных линейных уравнений.

Пусть x1, . . . , xn - переменные. Линейным уравнением с x1, . . . , xn называют уравнение âèäà

ãäå a1, . . . , an, b R. Линейное уравнение (2.2) называют однородным, если b = 0. Рассмотрим систему

линейных уравнений с x1, . . . , xn и положим

L = {x = (x1, . . . , xn) | x1, . . . , xn удовлетворяют системе (2.3) }.

Теорема 2.11. L является подпространством в Rn тогда и только тогда, когда b1 =

. . . = bm = 0 (то есть когда система (2.3) состоит из однородных уравнений).

Доказательство. Допустим, что L является подпространством в Rn. Мы должны дока- çàòü, ÷òî b1 = . . . = bm = 0. Заметим, что L, как всякое подпространство, содержит нулевой вектор (0, . . . , 0). Таким образом, (0, . . . , 0) удовлетворяет системе уравнений (2.3), то есть,

(2.4)

Видно, что левая часть каждого уравнения системы (2.4) равна 0. Значит и правая часть каждого уравнения системы (2.4) равна 0, то есть,

b1 = . . . = bm = 0.

Допустим, что b1 = . . . = bm = 0. Мы должны доказать, что L является подпространством в Rn. Для этого мы должны проверить, что L удовлетворяет свойствам (1) и (2)

определения подпространств. Проверим свойство (1). Для любых

x′ = (x′1, . . . , x′n), x′′ = (x′′1, . . . , x′′n) L

мы должны проверить, что

x′ + x′′ = (x′1 + x′′1, . . . , x′n + x′′n) L.

Другими словами, мы должны проверить, что для любых решений x′, x′′ Rn системы (2.4) их сумма x′ + x′′ тоже будет решением системы (2.4). Для этого заметим, что так êàê x′ è x′′ - решения системы (2.4), то

aj1x′1 + . . . + ajnx′n = 0, aj1x′′1 + . . . + ajnx′′n = 0

для каждого j = 1, . . . , m. Сложив эти уравнения, получим

(aj1x′1 + . . . + ajnx′n) + (aj1x′′1 + . . . + ajnx′′n) = 0

èëè

aj1(x′1 + x′′1) + . . . + ajn(x′n + x′′n) = 0.

для каждого j = 1, . . . , m. Но это как раз означает, что x′ +x′′ является решением системы

Подпростраíства как линейные оболочки векторов.

Пусть a1, . . . , an векторы векторного пространства V . Всякий вектор вида

λ1a1 + . . . + λnan,

ãäå λ1, . . . , λn R называют линейной комбинацией векторов a1, . . . , an

òàìè λ1, . . . , λn. Множество всех линейных комбинаций векторов a1, . . . , an называют их линейной оболочкой и обозначают через a1, . . . , an . Таким образом,

a1, . . . , an := {λ1a1 + . . . + λnan | λ1, . . . , λn R}.

Теорема 2.12. Линейная оболочка a1, . . . , an является подпространством в V .

òî ýòî ñоотношение называют соотношением линейной зависимости между векторами a1, . . . , an. Ясно, что всегда выполнено тривиальное соотношение линейной зависимости

0a1 + . . . + 0an = 0.

Если выполнåно хотя бы одно нетривиальное соотношение линейной зависимости, то век- òîðû a1, . . . , an называют линейно зависимыми. Если выполнено только тривиальное со-

отношение линейной зависимости, то векторы a1, . . . , an называют линейно независимы- ìè.

Пример 3.1. Векторы (1, 0, −1), (3, 2, 1), (4, 1, 0) R3 линейно зависимы, так как

(1, 0, −1) + (3, 2, 1) + (−1)(4, 2, 0) = (0, 0, 0).

Векторы (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) R3, как нетрудно проверить, линейно независимы.

Пример 3.2. Пусть x1, x2, x3, x4 - переменные. Линейные функции

f1(x) = 2x1 + x2 − 3x3 − x4, f2(x) = −x1 + 2x2 + x3 + x4, f3(x) = 5x2 − x3 + x4

линейное зависимы. Действительно,

f1(x) + 2f2(x) − f3(x) = 0.

Пример 3.3. Пусть t - переменная. Многочлены

f1 = t2 − 4t + 3, f2 = 2t2 − 3t − 1, f3 = 4t2 − 11t + 5

(как элементы векторного пространства R[t]) линейное зависимы так как

2f1 + f2 − f3 = 0.

Говорят, что вектор v линейно выражается через векторы v1, . . . , vn, åñëè

v = µ1v1 + . . . + µnvn

для некоторых чисел µ1, . . . , µn.

Лемма 3.4. (1) Один вектор линейно зависим этот вектор равен 0.

(2)Два вектора линейно зависимы эти векторы пропорциональны, то есть, один из них линейно выражается через другой.

Доказательство. (1) "= ". Если вектор a линейно зависим, то имеется соотношение линейной зависимости

λa = 0.

ãäå λ ≠ 0. Умножив это соотношение на λ−1 получим 0 = λ−1(λa) = a.

" =". Если вектор a равен нулю, то, очевидно, 1a = 0 и, значит, вектор a линейно зависим.

(2) "= ". Если векторы a, b линейно зависимы, то имеется соотношение линейной за-

ãäå λ ≠ 0 èëè µ ≠ 0. Åñëè λ ≠ 0, то умножив соотношение (3.1) на λ−1 получим a+λ−1µb =

0 èëè a = −λ−1µb, òî åñòü, a è b пропорциональны. Если µ ≠ 0, то умножив соотношение

(3.1) íà µ−1 получим µ−1λa + b = 0 èëè b = −µ−1λa, òî åñòü, a è b пропорциональны.

" =". Допустим векторы a è b пропорциональны. Если a = λb, òî a − λb = 0 и, значит, векторы a è b линейно зависимы. Если b = λa, òî λa − b = 0 и, значит, векторы a è b

система векторов пространства R3 (в системе векторов может быть нулевой вектор и

равные векторы). Систему векторов называют линейно зависимой (соотв. линейно независимой), если векторы, входящие в эту систему линейно зависимы (соотв. линейно независимы).

Лемма 3.5. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов этой системы можно линейно выразить через остальные.

Доказательство. Если система векторов v1, . . . , vn линейно зависима, то

(3.2) λ1v1 + . . . + λnvn = 0,

причем не все λ1, . . . , λn равны нулю. Пусть λi ≠ 0. Тогда из (3.2) получаем

то есть вектор vi линейно выражается через векторы v1, . . . , vi−1, vi+1, . . . , vn.

Наоборот, пусть вектор vi линейно выражается через векторы v1, . . . , vi−1, vi+1, . . . , vn, òî åñòü,

vi = µ1v1 + . . . + µi−1vi−1 + µi+1vi+1 + . . . + µnvn

для некоторых чисел µ1, . . . , µi−1, µi+1, . . . , µn. Тогда

базисом пространства V , если любой вектор из V можно единственным образом представить как линейную комбинацию векторов a1, . . . , an.

Пример 3.7. Векторы

e1 = (1, 0, . . . , 0, 0), e2 = (0, 1, . . . , 0, 0),

..............................

en = (0, 0, . . . , 0, 1)

образуют стандартный базис пространства Rn.

Теорема 3.8. Пусть a1, . . . , an - система векторов векторного пространства V такая, что

(1)векторы a1, . . . , an линейно независимы;

(2)V = a1, . . . , an .

Тогда a1, . . . , an образует базис пространства V .

8 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Доказательство. Условие (2) означает, что любой вектор из V можно представить как линейную комбинацию векторов a1, . . . , an. Осталось проверить, что для каждого вектора такое представление единственно. Пусть v V è

Векторное пространство V называют конечномерным, если у него существует конечный базис (т.е. базис, состоящий из конечного числа векторов). Пространство V называют бесконечномерным, если у него не существует конечного базиса.

Теорема 3.9. Рассмотрим конечномерное векторное пространство V и некоторый его

конечный базис a1, . . . , an. Пусть b1, . . . , bm V - произвольные линейно независимые векторы. Тогда

(1)m6n;

(2)m = n тогда и только тогда, когда система векторов b1, . . . , bm является базисом пространства V .

Из теоремы 3.9 следует, что у конечномерного векторного пространства V всякий базис

содержит одно и то же число векторов; это число называют размерностью пространства V и обозначают через dim(V ). Например,

dim(Rn) = n

(см. пример 3.7). Если пространство V бесконечномерно, то его размерность dim(V ) полагают равной бесконечности. Например,

dim(R[t]) = ∞.

Далее в этом курсе мы рассматриваем только конечномерные векторные пространства.

Пусть V - конечномерное векторное пространство, e1, . . . , en базис пространства V .

По определению базиса, коэффициенты λ1, . . . , λn разложения (3.4) определены одно- значно. Эти коэффициенты называют координатами вектора a в базисе e1, . . . , en. Часто векторы записывают указывая их координаты в скобках через запятые:

a = (λ1, . . . , λn).

Теорема 3.10. (1) При сложении векторов их координаты складываются.

(2) При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.

Доказательство. (1). Пусть λ1, . . . , λn - координаты вектора a è µ1, . . . , µn - координаты вектора b. Это означает, что

a = λ1e1 + . . . + λnen, b = µ1e1 + . . . + µnen

и, следовательно,

a + b = (λ1 + µ1)e1 + . . . + (λn + µn)en.

Таким образом, координатами вектора a+b являются λ1 +µ1, . . . , λn +µn и, следовательно,

4.Алгоритмы для нахождения базисов

Âэтом параграфе мы укажем алгоритмы для нахождения базисов (под)пространств в трех важных случаях.

I. Алгоритм для нахождения базисов пространств решений систем однородных линейных уравнений.

Пусть x1, . . . , xn - переменные,

a11x1 + . . . + a1nxn = 0

- система однородных линейных уравнений с x1, . . . , xn,

L = {(x1, . . . , xn) | x1, . . . , xn удовлетворяют системе уравнений (4.1) }

- множество решений системы (4.1). По теореме 2.11, L является подпространством в Rn. Всякий базис подпространства L называют фундаментальной системой решений

системы (4.1). Алгоритм для нахождения фундаментальной системы решений (базиса пространства L) состоит в следующем.

•Сначала элементарными преобразованиями привести систему (4.1) к главному ступенчатому виду.

•Затем выразить главные неизвестные через свободные.

•Наконец, выписать фундаментальную систему решений. Фундаментальная систе-

ма решений будет состоять из стольких векторов, столько будет свободных неизвестных.

Разберем пример применения этого алгоритма.

Пример 4.1. Найдем фундаментальную систему решений системы уравнений

{

Сначала приводим эту систему к главному степенчатому виду и получаем систему

{

Главные неизвестные: x1, x2, свободные неизвестные: x3, x4. Далее выражаем главные неизвестные через свободные: {

И, наконец, выписываем фундаментальную систему решений (в данном случае она будет состоять из двух векторов). Для этого

(1)полагаем x3 = 1, x4 = 0 и из (4.2) находим x1 = 1, x2 = −2. Это дает вектор

(1, −2, 1, 0).

(2)полагаем x3 = 0, x4 = 1 и из (4.2) находим x1 = −4, x2 = 5. Это дает вектор

(−4, 5, 0, 1).

Таким образом, фундаментальной системой решений исходной системы уравнений будет система векторов (1, −2, 1, 0), (−4, 5, 0, 1).

II. Алгоритм для нахождения базисов линейных оболочек столбцов матриц.

Пусть дана матрица A. Укажем алгоритм для нахождения (a) столбцов, образующих

базис линейной оболочки столбцов этой матрицы и (b) разложения по ним остальных столбцов.

(1)Элементарными преобразованиями по строкам приводим матрицу A к главному ступенчатому виду. Полученную матрицу обозначим через A′.

(2)Пусть k1, . . . , kr номера столбцов матрицы A′, в которых расположены угловые элементы ступенек. Тогда в матрице A столбцы с этими же номерами k1, . . . , kr будут

образовывать базис линейной оболочки столбцов.

(3)В матрице A′ столбцы с номерами отличными от k1, . . . , kr разлагаем по столбцам

ñномерами k1, . . . , kr (это легко сделать, так как матрица A′ имеет главный ступенчатый

вид). Тогда в матрице A столбцы с номерами отличными от k1, . . . , kr раскладываются по столбцам с номерами k1, . . . , kr точно так же (с теми же коэффициентами).

Замечание 4.2. Как нетрудно заметить, при элементарных преобразованиях матрицы по строкам соотношения линейной зависимости между столбцами этой матрицы сохраняются, откуда и следует корректность приведенного выше алгоритма.

Пример 4.3. Найдем столбцы, образующие базис линейной оболочки столбцов матрицы

и разложим по ним остальные столбцы этой матрицы.

Сначала элементарными преобразованиями по строкам приводим матрицу A к главному ступенчатому виду и получаем

В матрице A′ базис пространства столбцов образуют столбцы с номерами 1, 2 и 4. Разлагая по ним 3-ий столбец получаем

Следовательно, матрице A базис пространства столбцов образуют столбцы с номерами 1, 2 и 4. При этом разложение 3-го столбца имеет вид