Lin_Alg-BE

2.5 Матричные уравнения

Прием, описанный в Ÿ 2.4, позволяет решать и более сложные матричные уравнения.

Задача 6. Решить матричное уравнение XA = B, ãäå

Решение. Умножая уравнение XA = B справа на A¡1, получаем формулу XAA¡1 = BA¡1 èëè X = BA¡1, по которой можно находить решение. Вычисляем:

Задача 7. По какой формуле надо решать матричное уравнение AXB = F ?

Решение. Умножим уравнение слева на A¡1 и справа на B¡1. Получим

A¡1AXBB¡1 = A¡1F B¡1;

EXE = A¡1F B¡1;

X = A¡1F B¡1:

2.6 Метод Гаусса

Рассмотрим произвольную систему

На этот раз не будем предполагать, что число уравнений m обязательно совпадает с числом неизвестных n.

Две системы линейных уравнений называют эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.

Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называют:

1)перестановку двух уравнений местами;

2)умножение уравнения на ненулевое число или сокращение на общий множитель;

3)прибавление к одному уравнению другого, умноженного на некоторое число;

4)отбрасывание нулевых1) уравнений.

Напомним, что матрицу называют ступенчатой, если каждая ее строка начинается со строго большего числа нулей, чем предыдущая. Первый ненулевой элемент в строке ступенчатой матрицы A называют началом ступеньки. Будем различать

ступеньки короткие и длинные.

Пример 23. Ступенчатой является матрица

Метод Гаусса заключается в преобразовании расширенной матрицы D (èëè, ÷òî

эквивалентно, системы уравнений) с помощью элементарных преобразований сна- чала к ступенчатому виду (эту часть метода Гаусса называют прямым ходом), а затем по возможности к диагональному виду (эту часть метода Гаусса называют обратным ходом). Возникающая в результате преобразований система уравнений легко решается. В промежутке между прямым и обратным ходом обсуждают вопрос о существовании и единственности решения. Уточним некоторые детали.

Между прямым и обратным ходом применяют два правила.

Правило 1. Если в последней строке расширенной матрицы, получившейся после окончания прямого хода, до черты есть ненулевые числа, система совместна; если же в последней (ненулевой) строке до черты нет ненулевых чисел, то система несовместна.

Действительно, если последняя ненулевая строка имеет вид

1)Нулевым называют уравнение, в котором все коэффициенты, а также свободный члены равны

íóëþ: 0 ¢ x1 + 0 ¢ x2 + : : : + 0 ¢ xn = 0.

ãäå br =6 0, то решений нет (система несовместна), поскольку этой строке соответ-

ствует уравнение

0x1 + 0x2 + ¢ ¢ ¢ + 0xn = br;

удовлетворить которому невозможно. Если же последняя ненулевая строка имеет

В качестве второго этапа прямого хода приводим к ступенчатому виду 2-ой столбец. Для этого первые две строки переписываем без изменений, к 3-ей строке прибавляем 2-ую, умноженную на 2, а к 4-ой строке прибавляем 2-ую, умноженную на

столбец. Для этого первые три строки переписываем без изменений, а к 4-ой строке прибавляем 3-ую, умноженную на ¡1:

После окончания прямого хода применяем два правила, см. с. 21 и 22. Вывод 1: поскольку в последней строке до черты есть ненулевые числа, система является совместной. Вывод 2: поскольку все ступеньки являются короткими, система является определенной.

Переходим к обратному ходу, см. с. 22. Его цель сформировать нули над нача- лами ступенек. Поскольку в нашем случае все ступеньки короткие, это означает, что надо сформировать до черты диагональную (а еще лучше единичную) матрицу.

В качестве первого этапа обратного хода приводим к единичному виду 4-ый столбец. Для этого последнюю строку умножаем на ¡1, 4-ую строку умножаем на ¡6 è

прибавляем к 3-ей, 4-ую строку умножаем на ¡3 и прибавляем к 2-ой, 4-ую строку умножаем на ¡4 и прибавляем к 1-ой:3)

На втором этапе обратного хода приводим к единичному виду 3-ий столбец. Для этого 4-ую строку оставляем без изменений, 3-ю строку умножаем на 1=4, 3-ю строку

умножаем на ¡2 и прибавляем к 2-ой, а 3-ю строку умножаем на ¡3 и прибавляем к 1-ой:

3)Термины прямой ход и обратный ход объясняются следующим обстоятельством. При прямом ходе движение идет сверху вниз и слева направо: верхние строки прибавляют к нижним, и на каждом шаге столбец, в котором формируют нули, передвигается вправо. При обратном ходе движение происходит в обратную сторону.

Поскольку в последней ненулевой строке есть ненулевое число до черты, система совместна. Но поскольку есть длинная ступенька, решений бесконечно много. В соответствии с видом полученной ступенчатой матрицы в качестве базисных неизвестных возьмем x è z, а в качестве свободной y.

Обозначая свободную неизвестную y через C и перенося ее вправо, приходим к системе уравнений

относительно x è z.

По сути это уже готовый ответ: x = 1 ¡ 2C, y = C, z = 0, ãäå C произвольное число. Подчеркнем, что при различных C будут получаться разные решения. Так, например, при C = 0 имеем x = 1, y = 1, z = 0. Ïðè C = 1 получаем x = ¡1, y = 1,

z = 0. À ïðè C = 3 имеем x = ¡5, y = 3, z = 0.

Задача 11. Решить систему

8

> x + 2y + z = 1;

<

> x + 2y + z = 1; :2x + 4y + 2z = 2:

Решение. У этой системы матрицы A è D имеют одинаковые 1-ю и 2-ю строки,

а 3-я строка пропорциональна 1-й. Поэтому после преобразований по методу Гаусса мы приходим к расширенной матрице, содержащей единственную ненулевую строку

¡ ¯ ¢

1 2 1 ¯ 1 ;

или, что эквивалентно, к единственному уравнению

x + 2y + z = 1:

Очевидно, оно имеет бесконечно много решений. Чтобы их найти, в соответствии с нашим правилом в качестве свободных неизвестных примем y è z, а в качестве

базисной x. Положим y = C1, z = C2 и перенесем их в правую часть уравнения. В результате получим x = 1 ¡ 2C1 ¡ C2. Таким образом, все решения задаются формулами x = 1 ¡ 2C1 ¡ C2, y = C1, z = C2, ãäå C1 è C2 произвольные числа.

Отметим базисное решение: x = 1, y = 0, z = 0.

Вернемся от расширенной матрицы к системе уравнений, одновременно обозна- чим свободную неизвестную y через C и перенесем ее вправо:

8

< x = C;

z = 0;

: u = 0;

Ответ: x = C, y = C, z = 0, u = 0.

2.10 Понятие о модели Леонтьева

Рассмотрим замкнутую экономику, состоящую из n отраслей. Продукция каждой

из отраслей расходуется на потребности производства ее самой и других отраслей, а также идет на конечное потребление. Необходимо сбалансировать производство так, чтобы производилось ровно столько, сколько нужно.

Введем обозначения:

xi общий (валовый) объем продукции i-ой отрасли,

yj необходимый объем конечного (для непроизводственного потребления) продукции j-îé отрасли,

aij затраты продукции j-ой отрасли на производство единицы продукции i-îé

Глава 3 Векторы в трехмерном пространстве

3.1 Основные понятия

¡!

Вектором называют направленный отрезок AB с началом в точке A, называемой хвостом и концом в точке B, называемой головой. Вектор принято также обозначать

строчной латинской буквой a¯ с чертой вверху.

можно переместить в другой с помощью параллельного переноса. Таким образом, вектор можно передвигать параллельно самому себе. Когда это обстоятельство хотят подчеркнуть, такие векторы называют свободными.

Вектор ¯

b называют произведение числа ¸ на вектор a¯ и обозначают символом ¸¢a¯

èëè ¸a¯, åñëè:

1) вектор ¯

b коллинеарен вектору a¯,

¯

2) jbj = j¸j ¢ ja¯j,

è¯

3)направления векторов a¯ b совпадают, если ¸ > 0, и противоположны, если

¸< 0.