50_lectures

Человек кладет в банк 1000 руб. под 100 % годовых. Это значит, что при хранении вклада в течение года его величина вырастает на 100 % первоначального значения, т. е. на 1000 руб. и если вкладчик предполагает хранить свои деньги в банке ровно в течение года, он сможет в конце этого периода получить 1000 + 1000 = 2000 руб.

Правила хранения таковы, что вкладчик может в любой момент получить свои деньги.

Проценты простые, т.е. приращение вклада пропорционально времени хранения. Если вкладчик захочет получить свои деньги через два года, то его вклад увеличится на 2000 руб. ему будет причитаться всего 3000 руб., а если он захочет снять свои деньги через полгода, то вклад увеличится на 500 руб. и составит всего 1500 руб.

Но вкладчик все-таки хочет хранить деньги в банке ровно год. И ему в голову приходит такая мысль: а что если через полгода ему переоформить вклад, т. е. как бы получить деньги и сразу же положить их снова храниться еще полгода? Сумма, выросшая за полгода, составит, как мы видели, 1500 руб. А если эти 1500 руб оставить теперь еще на полгода в банке, то сумма увеличится еще на 1500·1/2 = 750 руб. и составит 2250 руб. Это больше, чем та сумма, которая получилась бы без переоформления, так что такая операция вкладчику, безусловно, выгодна.

Читатель, возможно, заметил, что мы могли бы все расчеты выполнить проще. За первые полгода вложенная сумма возрастает в 1 + 1/2 =l.5 раза. За вторые полгода уже новая сумма возрастает в 1.5 раза, так что всего в конце года вкладчик должен получить:

1000(1 + 1/2)2 = 2250 руб.

Но вернемся к нашему вкладчику. Он продолжает свои размышления: а если переоформлять вклад через каждый квартал? Тогда в конце концов получится:

1000(1+1/4)4 = 2441.41 руб.,

т. е. еще больше! (Если вы захотели проверить результат, учтите, что мы округляем результат до целых копеек).

Легко сообразить, что, переоформляя вклад N раз в течение года, вкладчик в конце концов получит:

1000 (l+1/N)N руб.

При ежемесячном переоформлении вклада сумма составит 2613.04 руб., а при ежедневном, считая, что банк работает без выходных, — 2714.57 руб. Как видим, переход от N = 12 к N = 365 не очень сильно увеличил сумму — всего на 101 руб. с копейками, — так что выигрыш едва ли стоит ежедневных хлопот с переоформлением.

Но в мысленном эксперименте мы можем пойти еще дальше: а что произойдет при бесконечно частом переоформлении? Величина (1+1/N)N, как известно из курса математики, при N → + стремится к пределу, равному е ≈ 2.718 281 8... Таким образом, если переоформление вклада превратится в непрерывный процесс, то при 100 % годовых вкладчик к концу года сможет получить в банке 1000е ≈ 2718.28 руб., т. е. доход на вложенную 1000 руб. составит 2718.28 – 1000 = 1718.28 руб.

241

Теперь мы отойдем от перельмановского сюжета и попытаемся найти ответы на некоторые вопросы. Вполне ли разумны рассмотренные нами правила хранения вклада?

Нельзя ли их улучшить? И что означает цифра ―100 % годовых‖, если при соблюдении всех правил вкладчик может получить в течение года доход почти 172 %?

Чем неудачны правила, предложенные банком? Они побуждают вкладчика часто переоформлять свой вклад. При этом он не получает и не вкладывает никаких денег. Как будто ничего не происходит — а его доход увеличивается.

Банк, назначив ставку 100 % в год, должен быть готов за пользование вкладом в течение года заплатить без малого 172 % и при этом загрузить своих служащих бесполезной работой по переоформлению вкладов.

Можно, конечно, запретить вкладчику какое-то время совершать операции по своему вкладу или по крайней мере понижать процентную ставку, если вкладчик захочет воспользоваться своими деньгами в течение ―запретного‖ периода. Можно ввести плату за переоформление. Можно не накапливать доход на счете вкладчика, а выплачивать ему причитающиеся суммы ―непрерывно‖ (на практике — через короткие промежутки времени). Но мы рассмотрим другую возможность: попытаемся отказаться от простых процентов, т. е. от начисления дохода пропорционально сроку хранения вклада, и попробуем найти такую зависимость дохода от времени хранения вклада, которая избавила бы и вкладчика, и банк от перечисленных выше неудобств. Уязвимым местом первоначального правила начисления дохода было следующее обстоятельство: операции, не изменяющие в момент их совершения количества денег у каждой из сторон, тем не менее изменяли в конце концов доход вкладчика. Назовем такие операции фиктивными; попытаемся сконструировать правила таким образом, чтобы выполнение фиктивных операций не изменяло дохода вкладчика. Пусть v обозначает сумму, вносимую вкладчиком в момент t0; сумму, которую он получит в банке через некоторое время, в момент t1, обозначим w. Функция роста, связывающая эти величины:

w = F(v, t0, t1),

выражает количественную сторону правила начисления дохода. Для правила простых процентов, которое мы теперь ставим под сомнение, эта функция описывает линейную зависимость от времени хранения:

w = F(v, t0, t1),

выражает количественную сторону правила начисления дохода. Для правила простых процентов, которое мы теперь ставим под сомнение, эта функция описывает линейную зависимость от времени хранения:

w = v[1 + (t0 – t1),

где коэффициент определяется процентной ставкой.

Потребуем, чтобы функция роста обладала следующими тремя свойствами.

1. Стационарность: один и тот же по величине вклад при одной и той же продолжительности хранения дает одно и то же значение функции роста, независимо от момента вложения (рис. 4). Иными словами, значения функции роста должны зависеть

242

только от разности Т = t0 – t1. Приняв это требование, мы можем записать функцию роста как w = F(v, T).

Рис. 4. Стационарность роста

2. Аддитивность: рост суммы вкладов равен сумме функций роста по каждому из вкладов в отдельности (рис. 5). Зафиксируем моменты внесения и получения вкладов и рассмотрим зависимость размера выплаты w только от величины первоначального вклада: w = G(v). Требование аддитивности означает выполнение равенства:

G(x + y) = G(x) + G (y) (1)

Рис. 5. Аддитивность роста

В чем смысл этого требования? Если бы при каких-нибудь значениях х и y имело бы место неравенство:

G(x + y) < G(x) + G(y),

то вкладчику было бы выгодно свой вклад v = х + y разделить на два вклада размером х и y. Но количество денег у вкладчика не зависит от того, сделает ли он один вклад размером 1000 руб. или разделит его на части размером 300 и 700 руб. Не зависит от этого и количество денег, поступающее в распоряжение банка, так что дробление вклада — фиктивная операция.

Если бы, напротив, имело место неравенство:

G(x + y) > G(x) + G(y),

243

вкладчик был бы заинтересован, например, объединиться с приятелем, договорившись о распределении дополнительного дохода. Но такое объединение — тоже фиктивная операция. Итак, мы признали требование (1) разумным. Но непрерывная функция, обладающая этим свойством — это прямая пропорциональность:

G(v) = kv.

Доказательство этого факта помещено в Математическом приложении VI. Вспомним, что функция G(v) описывает рост при фиксированных моментах t0 и t1. Если же эти моменты произвольны, то коэффициент k должен зависеть от t0 и t1, а поскольку мы приняли допущение о стационарности, коэффициент k должен зависеть от продолжительности хранения вклада. Таким образом, мы пришли к следующему результату: функция роста, отвечающая требованиям 1 и 2, должна иметь вид:

F(v, T) = vk(T). (2)

Функцию k(T) будем называть коэффициентом роста вклада.

3. Согласованность во времени. Пусть вклад v за время хранения вклада T1 возрастает до значения w1, а вклад w1 за последующий период хранения T2 возрастает до w2 (рис. 6).

Потребуем, чтобы за время хранения T1 + T2 первоначальный вклад v возрастал до того же самого значения w2. Иными словами, мы хотим, чтобы фиктивная операция переоформления вклада не изменяла дохода вкладчика.

Рис. 6. Согласованность во времени

Из равенства (2) следует:

w1 = vk(T) и w2 = w1k(T2) = vk(T1)k(T2).

Мы требуем, чтобы выполнялось также равенство:

w2 = vk(T1 + T2).

Таким образом, коэффициент роста должен удовлетворяет условию:

k(T1 + T2) = k(T1)k(T2). (3)

244

Подобно тому как условию (1) соответствует только прямая пропорциональность, требованию (3), предъявляемому к коэффициенту роста, отвечает только показательная функция:

k(T) = eρT.

Коэффициент ρ показывает, с какой скоростью происходит рост вклада.

Таким образом, всем трем рассмотренным требованиям отвечает функция:

w = vρT..

Заметим, что коэффициенту роста можно придать эквивалентную форму:

k(T) = RT, (4)

или:

k(T) = (1+r)T, (5)

полагая R = eρ, r = R – 1.

Теперь в нашем распоряжении имеются различные показатели, характеризующие скорость возрастания вклада. Между ними существует взаимно однозначная связь. В частности,

ρ = lnR = ln(1 + r).

Выясним, что показывает каждый из этих показателей.

Из равенства (4) видно, что при Т = 1, т. е. при хранении вклада в течение единицы времени (например, года), первоначальный вклад увеличивается в R раз, или возрастает на долю r своей первоначальной величины. Величина r100 % обычно называется процентной ставкой, а формула (5) — формулой сложных процентов. Будем считать, что вклад производится в момент t0 после чего доход начисляется непрерывно; будем рассматривать накопленную сумму вклада w(t) как функцию текущего времени. По прошествии временивклад несколько увеличится; его относительный прирост в единицу времени составит:

d = [w(t + t) – w(t)]/w(t) t.

Мгновенную относительную скорость получим, переходя к пределу при t → +: d = (1/w(t))(dw(t)/dt).

Если рост происходит в соответствии с уравнением (4):

w(t) = veρ(t – t0),

то dw(t)/dt = ρveρ(t – t0)

и δ = ρ.

245

выгод с сегодняшней ценностью ожидаемых затрат. Приведение к настоящему моменту (дисконтирование) будущих выгод и затрат является здесь ключевым аспектом.

Рациональный вкладчик в человеческий капитал будет инвестировать до достижения такого уровня образования (подготовки), при котором предельные выгоды образования как раз покрывают предельные затраты. В равновесии норма отдачи на последнюю порцию инвестиций в образование должна быть равна норме отдачи на другие виды вложений (например, в физический капитал).

Для того чтобы проиллюстрировать основную идею с помощью простой модели, рассмотрим индивида, максимизирующего свое богатство, т. е. чистую сегодняшнюю ценность всех своих будущих доходов. Пусть он решает вопрос, обучаться ли ему еще в течение одного года. Обозначим через С затраты образования в течение дополнительного года — в значительной мере это не полученные за время обучения заработки. Затраты обучения нужно сравнить с ожидаемыми выгодами более высоких заработков, предоставляемых рынком труда. Обозначим через Р сегодняшнюю ценность этих выгод, тогда:

где Вt — ожидаемый дополнительный (в результате образования) годовой заработок в году t; i — рыночная норма отдачи на капиталовложения; N — продолжительность предстоящей трудовой жизни.

Если Р > С, тогда чистая сегодняшняя ценность вложений в образование (Р – С) положительна и индивид должен инвестировать в дополнительный человеческий капитал.

Капиталовложения в человеческий капитал будут, следовательно, поощряться низкими С и i и высокими В и N.

Теория человеческого капитала способна объяснить характер наблюдающейся зависимости заработков от возраста и образования работников. В течение срока обучения молодые люди специализируются на накоплении человеческого капитала, поскольку отдача на вложения высока благодаря длительности будущей занятости (N), а альтернативные затраты невелики или даже равны нулю для молодежи нетрудоспособных возрастов.

После окончания обязательной школы обучение становится более дорогостоящим, так как момент выхода на пенсию приближается, а период, в течение которого индивид будет извлекать выгоды из своего образования, сокращается. Кроме того, человеческий капитал со временем обесценивается, так как приобретенные когда-то знания и умения устаревают.

Пример. Рассмотрим расчет экономической эффективности вложений в образование.

Предположим, что общий уровень цен стабилен и не ожидается его рост в будущем.

Пусть у Антона, работающего сегодня младшим бухгалтером с годовой заработной платой 48 тыс. руб., есть альтернатива: окончить годичный курс обучения стоимостью 20 тыс. руб. и занять должность старшего бухгалтера. Спрашивается, насколько выше

248

должна быть заработная плата старшего бухгалтера, чтобы Антон счел обучение целесообразным, если он считает приемлемой для себя норму отдачи на вложения в 15 % годовых?

В случае обучения затраты Антона будут состоять из не полученных заработков (48 тыс. руб.) и платы за обучение (20 тыс. руб.) — всего 68 тыс. руб. После окончания курсов Антон будет зарабатывать на Х тыс. руб. в год больше, чем сейчас. Сегодняшнюю ценность выгод обучения для Антона получим, суммируя геометрическую прогрессию:

PV = X/(1 +0.15) + X/(1 +0.15)2 + X/(1 +0.15)N = X[1 – 1/(1 +0.15)N]/(1 +0.15)[1 – 1/(1 +0.15)N] = X[1 – 1/(1 +0.15)N]/0.15.

Второе слагаемое в квадратных скобках стремится к нулю при N , и если N достаточно велико, то его конкретное значение несущественно. Так, если Антон предполагает проработать в новой должности еще 40 лет, то:

1/(1 +0.15)N = 0.0037

Этой величиной можно пренебречь, так что:

PV » X/0.15

Вложения в образование эффективны, если выгоды по меньшей мере равны затратам, т. е.:

X/0.15 ≈ 68 тыс. руб.

Следовательно, если зарплата старшего бухгалтера выше зарплаты младшего на Х = 0.15•68 = 10.2 тыс. руб. или более в год, Антон сочтет разумным окончить бухгалтерские курсы.

Если бы тот же вопрос встал перед дядей Антона, которому до выхода на пенсию предстоит проработать всего пять лет, то равенство сегодняшней ценности обучения затратам для него имело бы вид:

(X/0.15)[1 – 1/(1 +0.15)5] = (X/0.15)(1 – 0.497) тыс. руб.

иобучение было бы выгодным лишь при увеличении зарплаты на Х = 20.3 тыс. руб. в год

иболее. Представим себе конкурентную экономику, в которой ни государство, ни профсоюзы не оказывают заметного влияния на объем ресурсов, направляемых в сферу образования. Нехватка какого-либо вида квалифицированной рабочей силы, если таковая возникнет, вызовет увеличение относительного уровня заработной платы этой категории рабочей силы, что в свою очередь повысит отдачу на вложения в ее подготовку.

Увеличение нормы отдачи на вложения в образование приведет к росту численности обучающихся в учебных заведениях и на рабочих местах; постепенно нехватка квалифицированной рабочей силы будет устранена. В состоянии равновесия поквалификационные различия в заработной плате будут как раз достаточны, чтобы компенсировать затраты обучаемых на образование и обеспечить требуемое работодателями количество квалифицированной рабочей силы.

РАЗДЕЛ 4. Из истории ростовщичества

249