ЛА Задачник

Вопросы и задачи

Метод Гаусса

Определенные системы линейных уравнений

1.Решите систему линейных уравнений методом Гаусса

9x1 +8x2 = 30,

2x1 − 5x2 = − 34.

2.Решите систему линейных уравнений методом Гаусса

−6x − 20y +4z = − 42,

−3x +4y = 11,

−5x + z = 3.

3.Решите систему линейных уравнений методом Гаусса

−6x1 +5x2 − 9x3 = − 41,

8x1 − 4x2 − 6x3 = 108,

−8x1 +5x2 − x3 = − 87.

4.Решите систему линейных уравнений методом Гаусса

z +2t = 4,

−x +2y+ z = − 3,

−2x +2y+4z +5t = 11.

5.Решите систему линейных уравнений методом Гаусса

−3x − 5y − 7z +6t = − 21,

Определённые системы линейных уравнений в матричной форме

6. Решите методом Гаусса систему линейных уравнений, записанную в матричной форме:

7. Решите методом Гаусса систему линейных уравнений, записанную в матричной форме:

8. Решите методом Гаусса систему линейных уравнений, записанную в матричной форме:

9. Решите методом Гаусса систему линейных уравнений, записанную в матричной форме:

10. Решите методом Гаусса систему линейных уравнений, записанную в матричной форме:

Системы с параметром

11. Определите, при каких значениях параметра φ система уравнений имеет бесконечное число решений

7x1 +9x2 − 8x3 = φ,

−5x1 + x2 − 2x3 = 3,

−4x1 +6x2 − 7x3 = 3.

12.Определите, при каких значениях параметра φ система уравнений имеет бесконечное число решений

−4x1 +5x2 +3x3 = 1,

10x1 − 2x2 + φx3 = 17,

6x1 − 4x2 − 5x3 = 5.

13.Определите, при каких значениях параметра ν система уравнений имеет бесконечное число решений

3x1 − 4x2 − 3x3 = − 1,

14. Определите, при каких значениях параметра ρ система уравнений имеет бесконечное число решений

−2x1 − 14x2 +2x3 = 2.

15.Определите, при каких значениях параметра τ система уравнений имеет бесконечное число решений

3x1 +15x2 − 12x3 = 3,

τx1 − 2x2 − 4x3 = − 4,

−4x1 − 20x2 +16x3 = − 4.

16.Определите, при каких значениях параметра φ система уравнений имеет бесконечное число решений

9x1 +3x2 − 6x3 = 8,

7x1 + x2 +4x3 = φ,

−6x1 − 2x2 +4x3 = − 3.

17.Определите, при каких значениях параметра ζ система уравнений несовместна

7x1 − 3x2 +5x3 = 2,

8x1 +9x2 − 8x3 = ζ,

−2x1 +5x2 − 6x3 = 6.

18.Определите, при каких значениях параметра ρ система уравнений несовместнa

ρx1 +7x2 +5x3 = 37,

−5x1 +5x2 +7x3 = 8,

4x1 − x2 − 3x3 = 6.

19.Определите, при каких значениях параметра β система уравнений несовместна

4x1 − 3x2 +7x3 = β,

4x1 +3x2 − 6x3 = 5,

3x1 − x2 − x3 = 1.

20.Определите, при каких значениях параметра ζ система уравнений несовместна

8x1 − 6x2 +6x3 = 1,

12x1 − 9x2 +9x3 = 6,

20x1 +3x2 +15x3 = ζ.

21.Определите, при каких значениях параметра τ система уравнений совместна

3x1 − 6x2 +5x3 = 1,

19x1 − 4x2 +9x3 = τ,

−5x1 − 7x2 +3x3 = 3.

22.Определите, при каких значениях параметра γ система уравнений совместнa

−2x1 − 3x2 +7x3 = − 1,

5x1 − 4x2 − 4x3 = 8,

11x1 − 18x2 + γx3 = 25.

23.Определите, при каких значениях параметра ν система уравнений совместнa

3x1 − 2x2 − 5x3 = 4,

νx1 +20x2 +7x3 = − 22,

−5x1 − 7x2 +4x3 = 5.

24.Определите, при каких значениях параметра μ система уравнений имеет единственное решение

−x1 − 7x2 +5x3 = − 1,

4x1 + μx2 +7x3 = − 14,

−2x1 − 5x2 + x3 = 4.

25.Определите, при каких значениях параметра η система уравнений имеет единственное решение

5x1 − 2x2 − x3 = η,6x1 +5x2 + x3 = 1,

x1 +3x2 − 6x3 = 2.

26.Определите, при каких значениях параметра ε система уравнений имеет единственное решение

−6x1 + x2 +7x3 = ε,

15x1 − 18x2 +18x3 = 12,

20x1 − 24x2 +24x3 = 16.

27.Определите, при каких значениях параметра ζ система уравнений имеет единственное решение

21x1 − 15x2 − 6x3 = 5,

−7x1 − 13x2 + 5x3 = ζ,

28x1 − 20x2 − 8x3 = 4.

28.Определите, при каких значениях параметра ε система уравнений совместнa

5x1 − 14x2 + εx3 = 0,

−x1 − 6x2 +6x3 = 0,

−2x1 − x2 + x3 = 0.

29.Определите, при каких значениях параметра η система уравнений имеет единственное решение

6x1 +6x2 + x3 = 0,

4x1 +7x2 +3x3 = 0,

ηx1 +4x2 − 3x3 = 0.

30.Определите, при каких значениях параметра ε система уравнений имеет бесконечное число решений

7x1 + εx2 − 3x3 = 0,

5x1 − 6x2 +3x3 = 0,4x1 − 5x2 +6x3 = 0.

Общие и базисные решения систем линейных уравнений

31.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

−9x1 +3x2 − 18x3 = − 12,

18x1 − 6x2 +36x3 = 24.

32.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

−2x1 + 18x2 − 16x3 = − 8,

−5x1 +45x2 − 40x3 = − 20,

x1 − 9x2 +8x3 = 4.

33.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

−x1 − 29x2 +3x3 = 11,

2x1 − 6x2 +2x3 = 18.

34.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

x1 − x2 − 6x3 = − 3,

3x1 + x2 +14x3 = − 25,

−2x1 + x2 +4x3 = 10.

35.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

4x1 − 3x2 +3x3 +17x4 = − 33,

2x1 − 3x2 + x3 +7x4 = − 15,

4x1 +3x2 +5x3 +23x4 = − 39.

36.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

−15x1 +20x2 +2x3 − 3x4 +15x5 + x6 = − 5,

9x1 − 5x2 − x3 + x4 − 4x5 + x6 = 0,

Общие и базисные решения систем линейных уравнений (с указанием)

37.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

−2x1 − 24x2 +2x3 = 4,

2x1 +15x2 − x3 = 1,

3x1 +27x2 − 2x3 = − 1,

выбрав в качестве базисных переменных x1 и x3 .

38.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

4x1 +5x2 − 36x3 − 4x4 = 22,

x1 − x2 +8x4 = 10,

−4x1 + 3x2 + 4x3 − 28x4 = − 38,

выбрав в качестве базисных переменных x1 и x2 .

39. Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

выбрав в качестве базисных переменных x1, x3, и x4 .

Линейные пространства

Линейная зависимость и линейная независимость системы арифметических векторов

40.Является ли система арифметических векторов e1 = (4;7;11), e2 = (0;0;0),e3 = (5; − 2; − 8) линейно независимой? Ответ обоснуйте.

41.Является ли система арифметических векторов e1 = ( − 6;8;4), e2 = (3; − 4; − 2),e3 = (3; − 9;9) линейно зависимой? Ответ обоснуйте.

42.Является ли система арифметических векторов e1 = (1; − 1;1), e2 = (0;1;0),

e3 = (1;0;0), e4 = (0;0;1) линейно зависимой? Ответ обоснуйте.

43.Является ли система арифметических векторов e1 = (0; − 3;3), e2 = (3;2;4),e3 = ( − 2;0; − 4) линейно зависимой? Ответ обоснуйте.

44.Является ли система арифметических векторов e1 = ( − 1; − 3; − 3),

e2 = (1; − 2; − 1) линейно зависимой? Ответ обоснуйте.

45. Является ли система арифметических векторов e1 = (2;1;3), e2 = (6;3;9) линейно

зависимой? Ответ обоснуйте.

46.Является ли система арифметических векторов e1 = (0; − 2;2), e2 = (0; − 1;0),e3 = (1;1; − 2) линейно зависимой? Ответ обоснуйте.

47.Является ли система арифметических векторов e1 = ( − 2; − 6; − 7),

e2 = ( − 3;0; − 9), e3 = (0; − 10; − 5) линейно зависимой? Ответ обоснуйте.

48. Образует ли система арифметических векторов e1 = (6; − 2;1), e2 = (2; − 4; − 1)

базис пространства 3? Ответ обоснуйте.

49.Образует ли система арифметических векторов e1 = ( − 3;5; − 4), e2 = (2;6;2),e3 = ( − 1; − 4;6), e4 = (4; − 2; − 4) базис пространства 3? Ответ обоснуйте.

50.Образует ли система арифметических векторов e1 = ( − 4; − 8;0), e2 = (5;5; − 15),e3 = (0; − 3; − 9) базис пространства 3? Ответ обоснуйте.

51.Образует ли система арифметических векторов e1 = (8; − 2; − 10), e2 = (− 2;4;0),e3 = ( − 2;0;4) базис пространства 3? Ответ обоснуйте.

52.Образует ли система арифметических векторов e1 = (1;0; − 3), e2 = (0;0; − 3),e3 = (2;2; − 2) базис пространства 3? Ответ обоснуйте.

53.Являются ли арифметическиe векторы e1 = (− 6; − 9;5), e2 = (− 15; − 10;0),e3 = (0; − 2;2) компланарными? Ответ обоснуйте.

54.Являются ли арифметическиe векторы e1 = (0; − 15; − 10), e2 = ( − 8;15;12),

e3 = (10;5;0) компланарными? Ответ обоснуйте.

55. Дана линейно зависимая система арифметических векторов e1 = (8;4; − 2),

e2 = ( − 8;2;2), e3 = (4;1; − 1). Найдите какую-либо равную 0 линейную комбинацию этих арифметических векторов, в которой хотя бы один коэффициент не равен нулю.

56. Дана линейно зависимая система арифметических векторов e1 = (4; − 2;6),

e2 = (6;12; − 3), e3 = (9;6; − 6), e4 = (5; − 9;9). Найдите какую-либо равную 0

линейную комбинацию этих арифметических векторов, в которой хотя бы один коэффициент не равен нулю.

Ранг системы арифметических векторов

57.Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (5;4;1), e2 = (20;16;4),e3 = ( − 10; − 8; − 2).

58.Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (− 4;6;0), e2 = ( − 3;0; − 6),e3 = ( − 11;15; − 2), e4 = (2; − 9; − 8).

59.Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (− 10;0;5), e2 = (2;5;15),e3 = (0;2;6).

Операции над векторами

60. Найдите арифметический вектор v = 3a − 2b, если a = (5; − 2;3;5),

( ) b = 2;2; − 3;3 .

61. Найдите арифметический вектор x, удовлетворяющий уравнению

−5b +4c + x = 3a− b+2c+3x, если a = (− 3;4;2), b = (− 5; − 3;2), c = (1;3; − 5).

Скалярное произведение

62.Найдите длину вектора v = − 2e1 +3e2 − 3e3 − 4e4, где e1, e2, e3, e4 — ортонормированный базис.

63.Найдите длину вектора v = − e1 − e2 +4e3 − 3e4, где e1, e2, e3, e4 — ортогональный базис, причём e1 = 3, e2 = 3, e3 = 2, e4 = 3.

64.Найдите длину вектора v = 2e1 +3e2, где e1, e2 — некоторый базис, и известно, что

e1 = 1, e2 = 4, (e1,e2) = 3.

65.Выясните, какой из векторов v = (− 1;3;2;1;1) и w = (3;5; − 4; − 2; − 3) короче? В

ответе укажите длину более короткого вектора. (Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.)

66.Найдите длину вектора v = 2a+3b, если a = − e1 +4e2 +4e3, b = 2e1 − 2e2 − 2e3, где e1, e2, e3 — ортонормированный базис.

67.Вычислите скалярное произведение векторов v = e1 + e2 + e3 − e4 − 6e5 +4e6 и

w = − 4e1 +5e2 − 4e3 − 3e4 +5e5 − e6, где e1, e2, e3, e4, e5, e6 — ортонормированный базис.

68.Вычислите скалярное произведение векторов v = − 2e1 + e2 +2e3 − 4e4 иw = 5e1 − 2e2 +5e3 +3e4, где e1, e2, e3, e4 — ортогональный базис, причём e1 = 3,e2 = 2, e3 = 1, e4 = 1.

69.Вычислите скалярное произведение векторов v = 2e1 +2e2 +5e3 и

w = − e1 +2e2 + e3 . Тут e1, e2, e3 — базис, и известно, что e1 = 2, e2 = 3, e3 = 3, (e1,e2) = 0, (e1,e3) = − 5, (e2,e3) = 0.

70. Вычислите скалярное произведение векторов v и w, если известно, что v = 6,w = 6 и угол между векторами v и w равен π.

71.Найдите косинус угла между векторами v = 2e1 − 3e2 − 4e3 + e4 − 3e5 и

w = − e1 +2e2 +3e3 +2e4 + e5, где e1, e2, e3, e4, e5 — ортонормированный базис.

72.Выясните, угол между векторами v = (− 2;2;6;8;2) и w = (− 3;3;9;12;3) острый,

прямой, тупой или эти векторы коллинеарны? Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

75. Найдите вектор x, коллинеарный вектору a = ( − 2; − 4;5) и такой, что (x,b) = − 2,

где Координаты векторов даны в ортонормированном базисе. b = (− 3; − 1;1).

76. Найдите вектор x, если a = (5; − 3), b = (1; − 1) и известно, что (x,a) = − 3,

Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

(x,b) = 1.

77. Найдите единичный вектор x, ортогональный векторам a = (1; − 2; − 4),

Координаты векторов даны в ортонормированном базисе. b = (− 2; − 1;4).

78. Найдите ортогональное дополнение к векторам a = (2;3;2), b = ( − 4; − 1;4). Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

79. Найдите значение параметра λ, для которого вектора v и w + λv перпендикулярны, если v = (− 2;3; − 1;3) и w = (4;4;1;3). Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

80. Дана система векторов e1 = (3;6;1), e2 = (6;12; − 44), e3 = (− 3;9;93),

Ортогонализируйте её и постройте ортогональную систему векторов g1 = e1,

g2 = e2 + αe1, g3 = e3 + βe1 + γe2 . Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

Разложение вектора по базису

81.Разложите вектор v = (72; − 69) по базису e1 = (8; − 10), e2 = (8; − 3).

82.Разложите вектор v = ( − 9; − 10;20) по базису e1 = (− 6; − 1;8),

e2 = ( − 1; − 9;10), e3 = (1;6; − 7).

−3

вектор v = по этому базису. Координаты векторов даны в ортонормированном

−2

базисе.

−4

базисе.

86. Является ли базис e1 = (− 1; − 5; − 5), e2 = (− 10;1;1), e3 = (0;1; − 1)

ортогональным? Если да, то разложите вектор v = (− 2;4;5) по этому базису. Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

Матрицы

Однородные системы уравнений

87. Найдите фундаментальный набор решений (ФНР) и размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений

−4x1 − x2 +3x3 = 0

2x1 − 3x2 +2x3 = 0

3x1 − 4x2 +2x3 = 0

88.Найдите фундаментальный набор решений (ФНР) и размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений

−35x1 +30x2 +5x3 − 20x4 = 0

49x1 − 42x2 − 7x3 +28x4 = 0

−14x1 +12x2 +2x3 − 8x4 = 0

89.Найдите фундаментальный набор решений (ФНР) и размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений

15x1 +5x2 +15x3 +5x4 − 5x5 = 0

9x1 +3x2 +9x3 +3x4 − 3x5 = 0

6x1 +2x2 +6x3 +2x4 − 2x5 = 0

90.Найдите фундаментальный набор решений (ФНР) и размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений

x1 − 13x2 − 2x3 = 0

6x1 − 14x2 − 8x3 = 0

11x1 − 15x2 − 14x3 = 0

91.Найдите фундаментальный набор решений (ФНР) и размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений

5x1 − 8x2 − 12x3 − 6x4 = 0

4x1 +5x2 − 9x3 +6x4 = 0

8x1 − 9x2 − 19x3 − 6x4 = 0

92.Найдите фундаментальный набор решений (ФНР) и размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений

2x1 − 6x2 +8x3 +3x4 = 0

11x1 +2x2 − x3 +14x4 − 15x5 = 0

21x1 + 3x3 + 27x4 − 27x5 = 0

93.Найдите фундаментальный набор решений (ФНР) и размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений

2x2 − 2x3 − 5x4 = 0

x1 − 4x2 − 5x3 +2x4 = 0x2 − 4x3 − 3x4 = 0