
- •Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования
- •Предисловие
- •Методические рекомендации по ее изучению
- •Тема 1. Матрицы и определители
- •Тема 3. Векторные пространства
- •Тема 4. Линейные операторы
- •Тема 5. Квадратичные формы
- •§ 3.5], Или [3, § 3.8, 3.14], или [4, § 3.11, 3.13, 3.20]).
- •Тема 6. Элементы аналитической геометрии
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самоподготовки
- •Методические указания по выполнению контрольных работ
- •Варианты контрольных работ вариант 1
- •Контрольная работа № 1
- •Контрольная работа №2
- •Вариант 2 (для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 2) Контрольная работа № 1
- •Контрольная работа №2
- •Вариант 3
- •Контрольная работа № 1
- •Контрольная работа №2
- •Вариант 4
- •Контрольная работа № 1
- •Контрольная работа №2
- •Вариант 5
- •Контрольная работа № 1
- •3. Определить, имеет ли однородная система
- •Контрольная работа №2
- •Вариант 6
- •Контрольная работа № 1
- •Контрольная работа №2
- •Вариант 7
- •Контрольная работа № 1
- •Контрольная работа №2
- •Вариант 8
- •Контрольная работа № 1
- •Контрольная работа №2
- •Вариант 9
- •Контрольная работа № 1
- •Контрольная работа №2
- •Вариант 10
- •Контрольная работа № 1
- •Контрольная работа №2
- •Примеры выполнения заданий контрольных работ
- •Литература Основная1
- •Дополнительная
- •Электронные ресурсы
- •Содержание
- •Линейная алгебра
Вариант 3
(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 3)
Контрольная работа № 1
Дана матрица
Найти
ранг матрицы
2. Методом обратной матрицы решить систему:
3. Определить, имеет ли однородная система
ненулевое решение. Найти общее решение системы.
4. Вычислить:
,
если
=
(–2;
0; 3);
=
(2;–2;
0);
=
(2;–2;
3).
5. Даны четыре вектора
=(1;3;5);
=(0;2;0);
=(5;7;9);
=(0;4;16)
в некотором базисе.
Показать, что векторы
,
,
образуют базис, и найти координаты
вектора
в этом базисе.
6. Найти
собственные значения и собственные
векторы линейного оператора
,
заданного матрицейА=
.
7. а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму)
f(x1, x2)=4x12+ x22–4x1x2
к каноническому виду (указать пример соответствующего преобразования координат).
б) По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность квадратичную форму
f(x1, x2, x3)= x12+ 2x22+ 7x32 +2x1x2+2x1x3 +4x2x3.
Контрольная работа №2
1. Точки
,
и
являются вершинами треугольникаABC.
Составить уравнение высоты треугольника,
опущенной из точки А
на сторону ВС.
Определить координаты точки Н
– основания высоты АН
треугольника АВС.
Сделать чертеж.
2.
Составить уравнение окружности,
проходящей через точки
,
и
.
3. Убедившись,
что точка
лежит
на гиперболе
,
составить уравнения прямых, проходящих
через эту точку и фокусы гиперболы.
4.
Определить, находятся ли точки
,
,
и
на одной плоскости. Если это так, написать
уравнение этой плоскости.
5.
Найти расстояние от точки пересечения
прямых
и
до
плоскости
.
Вариант 4
(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 4)
Контрольная работа № 1
Решить матричное уравнение
где
и
2. По формулам Крамера решить систему:
3. Решить систему линейных уравнений:
Найти какое-нибудь базисное решение.
4.
Найти вектор
,
коллинеарный вектору
=(–1;
–1;
5) и такой, что
,
где
=
(3;
–2; –-2).
5. Даны четыре вектора
=(2;3;7);
=(3;–2;4);
=(–1;1;–1);
=(1;1;3)
в
некотором базисе. Показать, что векторы
,
,
образуют базис, и найти координаты
вектора
в этом базисе.
Найти собственные значения и собственные векторы линейного
оператора
,
заданного матрицейА=
.
а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму
f(x1, x2)=3x12–x22+4x1x2
к каноническому виду (указать пример соответствующего преобразования координат).
б) По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность квадратичную форму
f(x1, x2, x3)=2x12+x22+4x32 +2x1x2–4x1x3 –2x2x3.
Контрольная работа №2
1.
Составить уравнение прямых, на которых
лежат диагонали параллелограмма, если
две его стороны лежат на прямых
и
,
а одна из вершин параллелограмма имеет
координаты
.
Сделать чертеж.
2. Составить
уравнение параболы, симметричной
относительно оси абсцисс, вершина
которой находится в начале координат,
проходящей через точку
.
3. Убедившись,
что точка
лежит
на эллипсе
,
составить уравнения прямых, проходящих
через эту точку и фокусы эллипса.
4.
Написать уравнение
плоскости, проходящей через точку
и линию пересечения плоскостей
и
.
5.
Верно ли, что прямая
параллельна плоскости
? Если да, то найти расстояние между
этими прямой и плоскостью.