Вопросы и упражнения для самостоятельной работы

Для множеств из примера 1 определить характеристические свойства элементов следующих множеств:

а) ; б); в); г);

д) ; е).

Пусть . Найти:

а) ; б); в); г);

д) ; е).

Пусть, ,. Найти

а) ; б); в); г); д); е).

Даны два непересекающихся множества и. Что представляет собой,и?

Пусть и— подмножества множестватакие, что. Что представляет собойи?

Пусть . Доказать справедливость следующих утверждений:

а) ; б);

в) ; г); д);

е) ; ж);

з) .

Пусть ,. Найти, ,.

§1.2. Отображения и соответствия

Пусть даны множества и. Будем говорить, что заданосоответствиеизв, если для каждого элементамножествауказано подмножество(возможно пустое). Множество элементовиз, для которыхне пусто, называетсяобластью определениясоответствияи обозначается. Множество всех элементов видаиз, где, называютграфикомсоответствияи обозначают.

Если , то соответствие называетсясюръективным. Если каждое множествосодержит ровно один элемент (называемыйобразомэлемента), соответствие называетсяфункциональным(по-другому,отображением, функцией). Отображение называетсяинъективным, если образы различных элементов различны;биективным (иливзаимно-однозначным), если оно одновременно инъективно и сюръективно.

Пусть — пара соответствий изв.

Операции над соответствиями

1. Пересечение соответствий для всехопределяется по формуле:.

2. Объединение соответствий для всехопределяется по формуле:.

3. Разность соответствий для всехопределяется по формуле:.

Примеры

1. Установить, является ли следующее отображение инъективным, сюръективным, биективным:

а) — отображение из множества натуральных чисел в множество четных натуральных чисел, заданное формулой:;

б) — отображение из множества действительных чисел в множество целых чисел, ставящее в соответствие каждому числуего целую часть:;

в) — отображение из множества рациональных чисел, не содержащих 0, ставящее в соответствие каждому рациональному числу, представленному в виде несократимой дроби(— целое,— натуральное), его числитель и знаменатель;

г) — отображение, которое ставит в соответствие числуостаток от деления числана 5.

Решение.а) Данное отображение инъективно, так как если, то. Оно также сюръективно, так как у каждого четного числаесть прообраз. В соответствии с определением, отображениебиективно.

б) Это отображение сюръективно, поскольку у каждого целого есть прообразы (например, само); не инъективно, поскольку, например,, следовательно, не биективно.

в) Отображение fинъективно, так как представление рационального числа в виде несократимой дроби единственно. Отображениеfне сюръективно, так как, например, у парынет прообраза.

г) Запишем данное отображение в явном виде: ,,,. Мы видим, что это отображение биективно.

2.Пусть заданы следующие соответствияииз множествав множество:

:,,;

: ,,.

Охарактеризовать соответствия и найти ,,.

Решение.Соответствиене функционально, сюръективно. Соответствиефункционально, не сюръективно, инъективно.

Пересечение соответствий будет следующим:

,

, .

Объединение соответствий будет следующим:

,

, .

Разность соответствий будет следующей:

,

, .