7. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли (с выводом). Примеры.

Если вер-ь наступления соб-я А в каждом испытании не меняется в зависимости от исходов других, то в такия испытания наз-ся независимыми относительно соб-я А

Т.Если вер-ть р наступления соб-я А в каждом исп-ии постоянна, то вер-ть P_m,n того,что соб-е А наступит m раз в независимых испытаниях,равна

где q=1-p

Д-во.

Если + и- помен.местами,товер-ть не измен.,т.е.все элементарные исходы входящие в событие X=m имеют одну и туже вер-ть

Ко-во таких элем.исходов C^m_n (из n элементов выбираются которые с +,порядок выборки не важен)т.е.

8. Локальная теорема Муавра—Лапласа, условия ее применимости. Свойства функции f(X). Пример.

Т. Если вер-ть р наступления соб-я А в каждом испы-и постоянна и отлична от 0 и 1, то P_m,n того,что соб-е А наступит m раз в n независ.исыт-ях при достаточно большом числе n,приблиз.=:

ф-я Гаусса

Где

Чем больше n тем точнее вычесл.по ф-л.

причем. 1)число испытаний достаточно велико 2)npq20, где q=1-р

Свойства функции Гаусса: 1)Четность f(-x)=f(x); 2)Не отрицательность f(x)>0; 3)

lim f(x)=lim f(x)=0 {при х}; Практическое правило: если х5,то будем полагать, что f(x)0. {Далее следует график y=f(x) в виде «горки»}

9. Асимптотическая формула Пуассона и условия ее применимости.

Пример.

Теорема. Пусть проведено n повторных независимых испытаний, в каждом из

которых события А наступает с вер-тью р, причем 1)число испытаний достаточно

велико (n100) 2)Величина =np10, тогда вер-ть Pm,n того, что в этих испытаниях

событие А наступит m раз вычисл. по след. приближ. ф-ле:

10. Интегральная теорема Муавра—Лапласа и условия ее применимости. Функция Лапласа ф(х) и ее свойства. Пример.

Т.: Пусть проведено n повторных независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие А наступает с вер-тью р, причём. 1)число испытаний достаточно велико. 2)Значение npq20. ; Тогда вер-ть того, что число m наступлений событий А в этих испытаниях окажется заключено в границах от m1 до m2 вычисляется по след. приближ. ф-ле.

Св-ва функции Лапласа.1)Нечётность Ф(-х)=-Ф(х); 2)Монотонно возрастающая Ф(х); 3)limФ(х)=1 {где х+}; limФ(x)=-1 {где х-}. На практике: если х5, полагаем что Ф(х)1 График у=Ф(х) в пределах от –1 до 1.

11. Следствия из интегральной теоремы Муавра—Лапласа (с выводом). Примеры.

Пусть выполнили условие применимости интегральной теоремы М.Лапласа, тогда: 1)Вер0ть того, что число m наступлений события А в n испытаниях отличается от величины np не более, чем на эпсило (E) (по абсолютной величине) вычисл. По след. ф-ле:

2)Вер-ть того что частость (доля) m/n наступлений событий А в n испытаниях отличается от вер-ти р не более чем на  (по абсолютной величине) вычисл. По след. ф-ле:

12. Понятие случайной величины и ее описание. Дискретная случайная величина и ее закон (ряд) распределения. Независимые случайные величины. Примеры.

Опр.: Случайной величиной называется переменная, кот. В рез-те испытания принимает то или иное числовое значение. Пр1)число попаданий в мишень дис-кретная случ. величина;Пр2) рост человеканепрерывная случ. величина.; Опр. Случайная величина назыв. дискретной, если число её возможных значений конечно или счётно (множество счетное, если его можно перенумеровать натур. числами).Опред. Законом распределения с.в.наз-ся всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями с.в.и соответствующими вер-тями. Для дискретной с.в.закон распр.может быть дан задан в виде табл., в виде формулы, графчески.

Xi	X1	X2	…	Xk
Pi	P1	P2	…	Pk

Следствие: Из определения закона распределения следует что события (Х=х),…,

(Х=хк) –образуют полн. Систему. => Р(Х=х1)+…+Р(Х=хк)=1 р1+р2+…+рк=1

основное св-во закона распределения.

Две с.в.наз-ся независимыми, Если закон распределения одной из них не меняется от того, какие значения приняла другая величина.

13. Математические операции над дискретными случайными величинами и примеры Построения законов распределения для kХ, Х2 , Х+Y, XY по заданным распределениям независимых случайных величин Х и Y.

Произведением kX с.в.X на постоянную величину k,наз-ся с.в.,которая принимает значения kx_i с теми же вер-тями p_i(i=1,2…n)

m-степенью с.в.X,т.е.X^m, наз-ся с.в., которая принимает значения x^m_i с теми же вер-тями p_i.

Суммой (разностью или произведением) с.в.X иY наз-ся с.в.,которая принимает все возможные значения вида x_i+y_j (x_i-y_j или x_i*y_j), где i=1,2..n j=1..m с вероятностями p_ij того что с.в.X примет значение x_j, а Y - значение y_i

pij=P[(X=xi)(Y=yj)]

если с.в.независимы, то по теореме умножения вер-тей для независимых событий

pij=P(X=xi)·P(Y=yj)=pi·pj