Теорема Ляпунова.

Пусть X_k– независимые случайные величины, имеющие математические ожиданияM(X_k) =m_kи дисперсииD(X_k) =D_k. Обозначим. Если можно подобрать такое, что, то приравномерно поx.

Теорема Леви – Линдеберга.

Пусть X_k– независимыеодинаково распределенные случайные величины, имеющие математические ожиданияM(X_k) =mи дисперсииD(X_k) = . Обозначим. Тогда приравномерно поx.

Замечание. В теореме Леви – Линдеберга (ее чаще всего и называют центральной предельной теоремой) , условиевыполнено, оно превращается в(проверьте сами) из-за требования «одинаковости распределений», т.е. равенства вкладов случайных величин в случайную величину.

Если рассматривать схему Бернулли, то из теоремы Леви – Линдеберга следует интегральная теорема Муавра – Лапласа.

Интегральная теорема Муавра – Лапласа.

Пусть производится nнезависимых испытаний, в каждом из которых с вероятностьюpможет появиться событие А. Обозначим- число появлений события вk–ом испытании (). Обозначим - общее число появлений события вnиспытаниях (). Обозначим. Тогда приравномерно поx.

Отсюда следует практическое правило вычисления

, где

. Так както заменим на, на, Получим формулу для вероятности нахождения числа успехов в заданном интервале:

=-.

Заменим на, на.

Тогда .

Но .

Поэтому справедлива формула для вычисления отклонения частоты от вероятности

,

Если интервал симметричный, т.е. , то по нечетности функции Лапласа получим

.

Пример. Вероятность появления события p= 0,8. Сделаноn= 100 независимых испытаний. Найти вероятность того, что событие произойдет не менее 75 и не более 90 раз.

Пример. Бюффон бросил монету 4040 раз и получил герб 2048 раз. Найти вероятность отклонения частоты появления герба от вероятности.

Лекция 8 Элементы математической статистики

Пусть исследуется случайная величина с заранее неизвестной функцией распределения F(x).

Множество всех значений этой случайной величины называется генеральной совокупностью (Г С).

Единичное значение случайной величины называется выборкой объема 1.

Совокупность nзначений случайной величины образуютвыборку объема n.

Выборка имеет то же распределение, что и генеральная совокупность.

Выборочные значения называются вариантами.

Изучая выборку, делают заключение о вероятностных свойствах Г С.

Основные задачи статистики.

1. Оценка неизвестных параметров распределения:

• точечные оценки параметров распределения, например оценка математического ожидания, дисперсии, моментов распределения,

• интервальные оценки –доверительные интервалы – интервалы, в которых находятся параметры распределения сдоверительной вероятностью.

2. Проверка статистических гипотез– предположений о законе распределения ГС

или параметрах распределения.

3. Установление формы и степени связи между несколькими случайными переменными.

Эмпирические законы распределения.

Вариационным рядом называются варианты, расположенные в порядке их возрастания (не убывания, если варианты повторяются).

Будем обозначать x_k– различные варианты вариационного ряда (k= 1, 2, …),n_k– их частоты (число повторений варианты),- относительные частоты.

Существуют различные формы закона распределения: ряд распределения, полигон частот, полигон относительных частот, эмпирическая функция распределения, гистограмма (дискретный аналог плотности распределения).

Рассмотрим, например, вариационный ряд 0,0,0,0.0.1,1,3,5,5. Объем выборки n= 10.

Ряд распределения

xk	0	1	3	5
nk	5	2	1	2
	1/2	1/5	1/10	1/5

Полигон частот

Полигон относительных частот имеет тот же вид, но по оси ординат откладываются не частотыn_k, а относительные частоты(на рисунке черточками отмечены единицы по осям значений и частот).

X_k

_{1 2 3 4 5}

Эмпирическая функция распределения - аналог функции распределения для дискретных случайных величин, она тоже кусочно постоянна и имеет тот же график, только скачки функции в точках – вариантах происходят на относительные частоты вариант (в примере скачки от 0 на 0,5, затем на 0,2 до 0,7, затем на 0,1 до 0,8 и, наконец на 0,2 до единицы).

F_n(x) Эмпирическая функция распределения формально определяется как

1

, где- число

0,4 членов выборки, меньших x.

1 2 3 4 5 x

Для построения гистограммы приходится приписывать значение частоты варианты некоторому интервалу стандартной ширины (в нашем случае, например, 0,5), лежащему справа от варианты так, чтобы площадь ступени над интервалом равнялась относительной частоте варианты.

1 0,4 0,2 0 0,5 1 1,5 3 3,5 5 5,5