Глава I. Механика § 1. Кинематика

Механическое движение как простейшая форма движения материи. Пространство и время. Система отсчета. Понятие материальной точки. Кинематическое описание движения материальной точки. Закон движения. Уравнение траектории. Скорость и ускорение как производ­ные радиуса-вектора по времени. Элементы кинематики вращательного движения. Скорость и ускорение при криволинейном движении. Угловая скорость и угловое ускорение.

Основные формулы

• Средняя и мгновенная скорости материальной точки

,

где r– элементарное перемещение точки за промежуток времениt; - радиус- вектор точки;s- путь, пройденный точкой за промежуток времениt.

• Среднее и мгновенное ускорение материальной точки

.

• Полное ускорение при криволинейном движении

,

где - тангенциальная составляющая ускорения;-нормальная составляющая ускорения (r- радиус кривизны траектории в данной точке).

• Путь и скорость для равнопеременного движения

где - начальная скорость.

• Угловая скорость

.

• Угловое ускорение

.

• Угловая скорость для равномерного вращательного движения

,

где Т- период вращения; n– частота вращения; (n=N/t, гдеN– число оборотов, совершаемых телом за времяt)

• Угол поворота и угловая скорость для равнопеременного вращательного движения

; ,

где - начальная угловая скорость.

• Связь между линейными и угловыми величинами:

; ;;,

где R- расстояние от оси вращения.

Семестровые задания

1.1. Тело 1 движется равноускоренно, имея начальную скорость =5 м/с и ускорение а₁=0,2 м/с². Одновременно с телом 1 начинает двигаться равнозамедленно тело 2 с начальной скоростью =15 м/с и с ускорением а₂=0,3 м/с². Через какое время после начала движения оба тела будут иметь одинаковую скорость.

1.2. Зависимость пройденного телом пути от времени выражается уравнением x=At⁴ – Bt². Найти экстремальное значение скорости тела. А =2 м/с⁴; В=15 м/с².

1.3.Движение двух материальных точек выражаются уравнениями х₁=А₁+В₁t+C₁ t², где В₁ = 8 м/с, C₁ = 2 м/с²; х₂ = А₂ + В₂t + C₂ t², где В₂ = 2 м/с,

С₂=4 м/с². В какой момент времени скорости этих точек будут одинаковыми? Определить скорости иточек в этот момент.

1.4. Движение материальной точки выражается уравнением х = А – Вt + C t², где А = 6 м, В = 3 м/с; С = 2 м/с². Найти среднюю скорость за четвертую секунду ее движения, мгновенную скорость в момент времени t =3 с.

1.5. Движение материальной точки выражается уравнением х = А + Вt + C t², где А = 3 м, В = 2 м/с; С = 1 м/с². Найти средние значения скорости и ускорения в интервале времени от 1 с до 4 с.

1.6. С какой высоты Н падает камень, если последний метр своего пути он проходит за время t = 0,1 с? Сопротивлением воздуха пренебречь.

1.7. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью = 25 м/с. На какую наибольшую высоту оно поднимется. Чему равно время подъема? Сопротивлением воздуха пренебречь.

1.8. Два тела брошены из одной точки вертикально вверх с одинаковой скоростью = 19,6 м/с и с интервалом времениt = 1 с. На какой высоте встретятся эти тела? Сопротивлением воздуха пренебречь.

1.9. Шар, брошенный вертикально вверх, вернулся на землю через 3 с. На какую высоту он поднялся? Сопротивлением воздуха пренебречь.

1.10. Камень падает с высоты Н = 100 м с начальной скоростью = 20 м/с. Определить через сколько времени камень достигнет поверхности Земли. Сопротивлением воздуха пренебречь.

1.11. Тело, брошенное с башни в горизонтальном направлении со скоростью = 20 м/с, упало на Землю на расстоянии 40 м от основания башни. Найти высоту башни? Сопротивлением воздуха пренебречь.

1.12. Камень, брошенный горизонтально, упал на Землю через 1 с на расстоянии 20 м по горизонтали от места бросания. Найти начальную и конечную скорости камня. Сопротивлением воздуха пренебречь.

1.13. Камень брошен с высоты Н = 50 м со скоростью = 10 м/с под угломк горизонту. На какую высотуhподнимется камень? Какое время он будет в движении? Сопротивлением воздуха пренебречь.

1.14. Тело брошено под некоторым углом к горизонту. Время полета t = 2 с. На какую высоту поднимется тело? Сопротивлением воздуха пренебречь.

1.15. Определить угол, под которым тело брошено к горизонту, если максимальная высота подъема тела в 4 раза меньше его дальности полета. Сопротивлением воздуха пренебречь.

1.16. Точка движется по окружности радиусом R = 2 м соглас­но уравнению S=At³ (S - криволинейная коорди­ната, отсчитанная от некоторой начальной точки вдоль ок­ружности), где А = 2 м/с³. В какой момент времени t нор-мальное ускорение точки будет равно тангенциальному? Чему равно пол­ное ускорение в этот момент времени?

1.17. Колесо радиусом R = 10 см вращается так, что зависимость угловой ско-рости от времени задается уравнением = 2Аt + 5Вt⁴, где А = 2 рад/с² и В =

1 рад/с⁵. Определить полное ускорение точек обода колеса через 1 с после начала вращения.

1.18. Колесо радиусом R = 0,1 м вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени дается уравнением  = A+Bt+Ct³ , где В = 2 рад/с и C = 1 рад/с³. Для точек, лежащих на ободе колеса, найти через 2 секунды после начала движения следующие величи­ны: I) угловую скорость; 2) линейную скорость, 3) угло­вое ускорение, 4) тангенциальное ускорение; 5) нормаль­ное ускорение.

1.19. Колесо вращается так, что зависимость угла поворота ра­диуса колеса от времени дается уравнением  = А+Вt +Ct²+Dt³, где В = 1 рад/c, С = 1 рад/c² и

D = 1 рад/c³. Найти радиус колеса, если известно, что к концу второй се­кунды движения нормальное ускорение точек, лежащих на обо­де колеса, равно

₌ 3,46 • I0³ м/с².

1.20. Диск радиусом R = 0,1 м вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением  = =A+Bt+Ct²+Dt³ , где В = 1 рад/с, C = 1 рад/с², D = 1 рад/с³. Найти полное ускорение точек обода колеса к концу второй секунды после начала движения.