Сығылатын тұтқыр сұйықтық үшін жылу құйылу теңдеуі.
Тұтқыр
сығылатын сұйықтық қозғалысы жағдайда
(6.22) және (6.23) төрт теңдеулері бес
белгісіз шамаларды
анықтау үшін жеткіліксіз болатыны
айтылған. Сондықтан бесінше теңдеуді
–жылу құйылу теңдеуін, түрі мынадай
болатын
қосу керек.
Мұнда
-
тұрақты көлемдегі сыйымдылық, ал
-
термиялық жұмыс эквиваленті,
-
жылуөткізгіштік коэффициенті.
Температура
қысым
және тығыздықпен
Клайперон арақатысымен
байланыста (кемелденген газдар үшін).
Тұтқыр сұйықтық қозғалыс теңдеулерінің дәл шешімдері. Екі жазық параллель қабырғалар арасындағы бірөлшемді ағыс.
Тұтқыр сұйықтық қозғалыс теңдеулерін дәл интегралдауға болатын кейбір нақты тұтқыр сұйықтықтың қозғалыстарын зерттеуге келеміз. Сонда сығылмайтын сұйықтық жағдайын қарастырамыз.
Мысал
ретінде екі жазық параллель қабырғалар
арасындағы сығылмайтын сұйықтық ағысын
қарастырамыз. Осы жазықтықтардың
теңдеулері сәйкес
болсын; тағы да сыртқы күштері жоқ,
қозғалыс тұрақты және Ох өсіне параллель
болады деп аламыз, демек
.
Жасалған ұйғарымдардан негізгі қозғалыс теңдеулері қарапайым түрге келеді:
.
(7.5)
Осы
теңдеулердің соңғысы
тек
және
-
тен тәуелді екенін көрсетеді; ортанғы
теңдеулер
тек
-тен
тәуелді екенін көрсетеді; бірақта сонда
сол жағында оның тек бір
-тің
функциясы, ал оң жағында
және
-тің
функциясы тұратын, (7.5)-тің бірінші
теңдеуі тек мынадай жағдайда орындалуы
мүмкін, егер теңдеудің сол және оң
жақтары тұрақты шамалар болса. Сөйтіп
болу керек.
жылдамдықты анықтау үшін мына теңдеу
(7.6)
және
сұйықтықтың шектейтін қозғалмайтын
қабырғаларға жабысу талаптарынан
шығатын,
кезіндегі
(7.7)
шекаралық
шарттар бар . (7.6) және (7.7) теңдеулердің
тек
-тен
тәуелді дербес шешімін оңай табуға
болады; шынында, бұл жағдайда аламыз:
және осы теңдеуді интегралдау береді:
,
мұнда
және
-
екі кез келген тұрақтылар, оларды екі
(7.7) теңдеулерді қолданып анықтаймыз.
Осы соңғы теңдеулерден шығарымыз:
,
бұдан
және,
демек:
.
Қабырғалар
және екі
,
жазықтықтармен шектелген призмадағы
уақыт бірлігінде өтетін
сұйықтық мөлшерін есептейік.
болғандықтан
болады.
(7.8)
Осы
өрнекті жоғарыда айтылған призманын
көлденен кимасына
бөлсек, сұйықтықтың орта жылдамдығы
үшін
(7.9)
өрнекті аламыз.
Егер
Ох өсінен бір бірінен
қашықтықта жатқан
,
екі нүктені алсақ және осы нүктелердегі
қысымды сәйкес
,
арқылы белгілесек, онда
ескеріп, (7.9) – дан қысым түсуі үшін формула аламыз:
(7.10)
Сонымен қарастырып жатқан жағдайда ұзындық бірлігіне қысым түсуі тұтқырлық коэффициентке және өтіп жатқан сұйықтық мөлшеріне тура пропорционалды және қабырғалар арасындағы қашықтықтың кубына кері пропорционалды.
Енді басқа дербес жағдайды қарастырамыз.
Атап айтқанда, сұйықтық екі параллель
қабырғаларымен, оның біреуі
барлық уақытта қөзғалмай тұрады ал
екіншісі
осы уақытта өзінің жазықтығында Ох
өсіне параллель
жылдамдықпен қозғалады деп алайық.
Сондай жоғарыдағыдай ұйғарымдарда
табамыз
.
Жеңілдік
үшін
(7.11)
аламыз.
Сонда
жоғарыдағыдай ойлар жылдамдық
(7.12)
дифференциалдық теңдеуден анықталу керек екенін көрсетеді, бірақта енді шекаралық шарттар
кезінде
(7.13)
кезінде
болады, себебі астындағы қабырғаға өте жақын жатқан сұйықтық бөлшектері қабырғамен бірге қозғалмауы керек, ал жоғарғы қабырғаға өте жақын жатқан бөлшектері осы қабырғаның жылдамдығымен қозғалу керек.
(7.8)
теңдеуді интегралдау
береді, мұнда
және
-
кез келген тұрақтылар. Олар (7.13)
теңдеулерінен анықталады :
.
Сонымен, қарастырып жатқан жағдайда ағыс
(7.14)
формуласымен анықталады.
Қарапайым есептеулер ағып жатқан сұйықтық мөлшері және орта жылдамдық үшін
(7.15)
өрнектерді береді.
Нег.: 2. [406- 427], 3. [86 -98], [113 -118].
Қос. : 5. [386-396].
Бақылау сұрақтары:
Рейнольдс саны қалай анықталады?
Фруд саны қалай анықталады?
Қандай шарттарда екі сұйықтық ағысы ұқсас?
Тұтқыр сығылатын сұйықтық қозғалысын зерттегенде қандай шамаларды анықтау керек?
Тұтқыр сығылатын сұйықтық қозғалысын зерттегенде не үшін жылу құйылу теңдеуі керек?
Тұтқыр сұйықтық қозғалыс теңдеулерінің дәл шешімдері деп нені айтады?
Навье-Стокс теңдеулері қандай ұйғарымдардан қарапайым түріне келеді?
Қабырғалар және екі параллель жазықтықтармен шектелген
призмадағы өтетін сұйықтықтың мөлшері уақыт бірлігінде неге тең?
Осы призмада қысым түсуі неге тең?
№8 дәріс. Цилиндрлік құбырдағы ламинарлық ағыс теориясы (Пуазейль ағысы).
Құбырлардағы ағыстарды зерттеу үлкен практикалық маңызы бар. Құбырдағы ағыс туралы есептің дәл және қатан шешімі болады. Бірақта бұл тек ағыстың ламинарлық түріндегі жағдайда болады. Ағыстың турбулентті түрі үшін әлі қатан шешім жоқ. Бірақта жеткілікті көп ағыстар, практикада кездесетін – турбулентті ағыстар. Ламинарлық ағыстардың ең маңызды жағдайы жінішке түтікшедегі ( капиллярдағы) ағыстары болады.
Дөңгелек
қималы цилиндрлік құбыр берілсін. Қима
радиусы
тең болсын. Осы құбырдың өсін цилиндрлік
коорлинаталар жүйесінің Оz
өсі ретінде алайық. Сығылмайтын сұйықтық
осы құбыр бойымен ағылады және сыртқы
күштері жоқ деп есептейік. Ақырында
ағыс тұрақты және әр нүктедегі жылдамдық
құбыр өсіне параллель бағытталған деп
алайық, демек
.
Осы болжамдар орындалғанда қозғалыс теңдеулері келесі қарапайым түрге келеді:
,
(8.1)
Осы
теңдеулердің бірінші екеуі қысым
тек
-тен
тәуелді екенін көрсетеді. Соңғы теңдеуі
жылдамдық
тек
және
-нің функциясы екенін көрсетеді. Бірақта
(8.1) –дің үшінші теңдеуінің оң жағы
-тен
тәуелсіз болғандықтан, оның сол жағы
да
-тен
тәуелсіз болады, демек және
.
Егер Оz
өсіндегі, бір бірінен
қашықтықта тұрған екі
және
нүктелердегі қысымдарды сәйкес
және
арқылы белгілесек, онда аламыз:
.
(8.2)
Сөйтіп
функциясы
(8.3)
теңдеуді және қабырғадағы
кезінде
(8.4)
шекаралық шартты қанағаттандырады.
(8.3)
теңдеудің шешімін, тек
-ден тәуелді және (8.4) шартты қанағаттандыратын
оңай табуға болады. Шынында да
болса, онда (8.3) былай жазылуы мүмкін:
;
Осыны интегралдап, аламыз:
;
- ге бөліп және тағы да
бойынша интегралдап, табамыз:
.
(8.5)
Кез
келген
және
тұрақтыларды (8.4) шекаралық шарттан және
қосымша жылдамдық
барлық қарастырып жатқан аймақта
шенелген болатын шарттан анықтау керек.
Бірақта егер
,
онда (8.5) формуласы көрсететіндей ,
жылдамдық
кезінде ақырсыз болады, сондықтан
деп қою керек.
Енді (8.4) шарты береді:
,
бұдан
.
Сөйтіп, біздер (8.3) және (8.4) теңдеулердің шешімін таптық:
.
-ті оның (8.2) бойынша мәнімен ауыстырайық,
сонда ақырында табамыз:
.
(8.6)
Сөйтіп жылдамдықтың үлестірімі парабола заңына бағынады.