Тема 10. Оценка существенности параметров линейной регрессии. Оценка качества регрессии f-критерий Фишера, t-статистика. Проверка значимости параметров регрессии. Понятие нелинейной регрессии.

Так как в большинстве случаев уравнение регрессии приходится строить на выборочных данных, то возникает вопрос об адекватности построения уравнения данных генеральной совокупности. Для этого проводится проверка статистической значимости коэффициента детерминации на основе F-критерия Фишера:

где - число наблюдений, а- число факторов в уравнении регрессии.

В математической статистике доказывается, что если гипотеза := 0 выполняется, то величина F имеет F-распределение систепенями свободы, т.е.

, ).

Гипотеза := 0 о незначимости коэффициента детерминацииотвергается, если . При значениях > 0,7 считается, что вариация результативного признака обусловлена, в основном, влиянием включенных в регрессионную модель факторов. Возможна ситуация, когда часть вычисленных коэффициентов регрессии не дает необходимой степени значимости, т.е. значения данных коэффициентов меньше их стандартной ошибки. В этом случае такие коэффициенты должны быть исключены из уравнения регрессии. Поэтому проверка адекватности построенного уравнения регрессии наряду с проверкой значимости коэффициента детерминации включает в себя также и проверку значимости каждого коэффициента регрессии. Значимость коэффициентов регрессии проверяется с помощьюt-критерия Стьюдента:

,

где - стандартное значение ошибки для коэффициента регрессии.

В математической статистике доказывается, что если гипотеза := 0 выполняется, то величина t имеет распределение Стьюдента сстепенями свободы,т.е.

.

Гипотеза := 0 о незначимости коэффициента регрессии отвергается, если

Кроме того, зная значение , можно найти границы доверительных интервалов для коэффициентов регрессии

Нелинейная регрессия.

Если, например, между экономическими явлениями существуют нели­нейные соотношения, то они выражаются с помощью соответ­ствующих нелинейных функций: например, равносторонней ги-

перболы , параболы второй степении др. Здесь- остаточная компонента от регрессии.

Различают два класса нелинейных регрессий:

• регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но нелинейные по оцениваемым па­раметрам;

• регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Примером нелинейной регрессии по включаемым в нее объясняющим переменным могут служить следующие функции: полиномы разных степеней, равносторонняя гипербола. К нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам от­носятся функции, например, степенная -, показательная, экспоненциальная -.

Нелинейная регрессия по включенным переменным не таит каких-либо сложностей в оценке ее параметров. Она определяет­ся, как и в линейной регрессии, методом наименьших квадратов (МНК), ибо эти функции линейны по параметрам. Так, в парабо­ле второй степени

,

заменяя переменные , получим двухфакторное урав­нение линейной регрессии:

,

для оценки параметров которого, ис­пользуется МНК.

Соответственно для полинома третьего порядка получим трехфакторную модель линейной регрессии и т.д. Следовательно, полином любого порядка сводится к линей­ной регрессии с ее методами оценивания параметров и проверки гипотез. Как показывает опыт большинства исследователей, сре­ди нелинейной полиномиальной регрессии чаще всего использу­ется парабола второй степени; в отдельных случаях - полином третьего порядка. Ограничения в использовании полиномов бо­лее высоких степеней связаны с требованием однородности ис­следуемой совокупности: чем выше порядок полинома, тем боль­ше изгибов имеет кривая и соответственно менее однородна со­вокупность по результативному признаку. Иначе обстоит дело с регрессией, нелинейной по оценивае­мым параметрам. Данный класс нелинейных моделей подразде­ляется на два типа: нелинейные модели внутренне линейные и нелинейные модели внутренне нелинейные. Если нелинейная мо­дель внутренне линейна, то она с помощью соответствующих пре­образований может быть приведена к линейному виду. Если же нелинейная модель внутренне нелинейна, то она не может быть све­дена к линейной функции. Например, в эконометрических ис­следованиях при изучении эластичности спроса от цен широко используется степенная функция:

,

где у - спрашиваемое количество; х- цена; - случайная ошибка.

Данная модель нелинейна относительно оцениваемых пара­метров, ибо включает параметры и неаддитивно. Однако ее можно считать внутренне линейной, ибо логарифмирование дан­ного уравнения по основанию е приводит его к линейному виду:

.

Соответственно оценки параметров и могут быть найдены МНК. В рассматриваемой степенной функции предполагается, что случайная ошибка мультипликативно связана с объясняющей пе­ременной.

Литература:

1осн. [273-285], 2 осн. [42-57],3 осн. [41-80], 2доп. [70-77], 3 доп. [260-267], 4 доп. [135-142], 6 [206-214].

Контрольные вопросы

1. Каков смысл применения F-критерия Фишера при регрессионном анализе?

2. Какие факторы учитываются при применении F-критерия Фишера при регрессионном анализе ?

3. Как проводится оценка значимости коэффициентов регрессии?

4. Каков смысл применения t-критерия Стьюдента при оценке значимости коэффициентов регрессии?

5. Каковы основные классы нелинейных регрессий?