1.2 Системы счисления. Операции над двоичными кодами. Перевод из одной системы счислении в другую. (1 час).

Система счисления — сово­купность правил наименования и изображения чисел с помощью набора символов, называемых цифрами. Системы счисления де­лятся на позиционные и непозиционные. Пример непозиционной системы счисления — римская: несколько чисел приняты за основ­ные (например, I, V, X), а остальные получаются из основных путем сложения (как VI, VII) или вычитания (как IV, IX). К позици­онным системам счисления относятся двоичная, десятичная, вось­меричная, шестнадцатеричная. Здесь любое число записывается последовательностью цифр соответствующего алфавита, причем значение каждой цифры зависит от места (позиции), которое она занимает в этой последовательности. Например, в записи 555, сде­ланной в десятичной системе счисления, использована одна цифра 5, но в зависимости от занимаемого ею места она имеет разное ко­личественное значение — 5 единиц, 5 десятков или 5 сотен. Поэто­му справедливы равенства (подстрочные индексы применим для указания, в какой системе счисления записано число):

555,5₁₀ =5-10² +5-10¹ +5-10⁰ +5-10^-1;

11,01₂ =1*2¹+1*2⁰+1*2^-1+1*2^-2

Сложение в двоичной системе счисления. После этих пред­варительных рассуждений запишем правило выполнения в двоичной системе счисления арифметического сложения одно­разрядных чисел:

0+0=0; 1+0=1; 0+1=1; 1+1=10.

Следовательно, используя известное запоминание в уме при переносе переполнения в старший разряд, получаем: 11101010011,111 +1111100101,011+101100111001,010

Вычитание в двоичной системе счисления. Исходя из того, что вычитание есть действие, обратное сложению, запишем правило арифметического вычитания одноразрядных чисел в двоичной системе счисления:

0-0=0; 1-0=1; 1-1=0; 10-1=1.

Используя это правило, можно проверить правильность произ­веденного выше сложения вычитанием из полученной суммы одного из слагаемых. При этом, чтобы вычесть в каком-либо разря­де единицу из нуля, необходимо «занимать» недостающее коли­чество в соседних старших разрядах (так же, как в десятичной системе счисления поступают при вычитании большего числа из меньшего).

Умножение в двоичной системе счисления. Правила умноже­ния одноразрядных двоичных чисел наиболее очевидны:

0.0=0; 1-0=0; 0-1=0; 1-1=1.

В таком случае, записывая столбиком процесс умножения двух много разрядных двоичных чисел, получим следующий результат:

1011,01

^х 101,11

101101

101101

101101

101101

1000000,1011

Заметим, что при решении этого примера понадобилось в каж­дом разряде найти сумму четырех одноразрядных двоичных чисел. При этом мы учли, что в двоичной системе счисления

1 +1 +1 =10+1 = 11;

1+141+1=11+1 =100.

Деление в двоичной системе счисления осуществляется так же, как и в десятичной, с использованием умножения и вычитания:

Перевод числа из десятичной системы счисления в двоичную

Пусть требуется найти представление числа 12₁₀ в двоичной системе счисления Поступаем следующим образом: делим, начиная с 12, каждое получающееся частное на основание системы, в которую перево­дим число, то есть на 2. Получаем

Затем, начиная с последне­го частного (в нашем случае оно всегда будет равно 1), записывае­мого в старший разряд формируемого двоичного представления, фиксируем все остатки. В итоге получаем ответ: 12₁₀ == 11002.

Перевод числа из двоичной системы счисления в десятичную. Это перевод — как бы обратный к изложенному выше. Его наибо­лее просто осуществить, основываясь на позиционности двоичной системы счисления. Уже отмечалась правомерность записи двоич­ного числа в виде суммы степеней основания системы счисления, то есть степеней двойки. Сделав такую запись, надо подсчитать де­сятичное значение полученной суммы:

1000001001,1012 = (1 • 2⁹ + 0 • 2⁸ + 0 • 2⁷ + 0 • 2⁶ + 0 • 2⁵ + +0•2⁴+1•2³+0•2²+0•2¹+1•2⁰+1•2-¹4-0•2-²+1.2-^з)₁₀ = (512 + 8 + 1 + 1.2+ 1/8)₁₀= (521 + 5/8)₁₀= (521,625)₁₀.

(Заметим, что, несмотря на длину исходной двоичной записи, степени числа 2 легко подсчитываются без калькулятора, которого может не оказаться под рукой. Действительно, известно, что 2⁵ = == 32; 2⁸ = 256; 2¹⁰ = 1024. Часто достаточно просто разделить или умножить на двойку уже известное.

Основная литература: [1] – 1-638 c, [2] 1- 432 c.

Дополнительная литература: [18] – c, [19] - c

Контрольные вопросы:

1. Что такое информация?

2. Приведите примеры, подтверждающие наличие и общность инфор­мационных процессов в живой природе, обществе, технике.

3. Что позволяет говорить об информационной деятельности человека?

4. В какой форме можно передать информацию от человека к человеку, от чего зависит выбор этой формы?

5. Какие средства для передачи информации возможны?

6. Приведите примеры формальных языков.

7. Как определяется процесс кодирования информации и почему в нем существует необходимость?

8. Расскажите о способах измерения информации.

9. Какие единицы измерения количества информации вы знаете?

10. Почему 1 Кбайт = 1024 байта, а не 1000?

11. Почему двоичное представление информации входит в число основ­ных принципов работы современных ЭВМ?

12. Докажите, что двоичное представление информации принципиально для работы компьютера.

13. Как вы понимаете термин «дискретная информация»?

14. Что такое система счисления?

15. Какие существуют системы счисления

16. Сложить два любых двоичных числа.

17. Объяснить правило вычитания двоичных чисел

18. Объяснить правило умножения двоичных чисел

19. Объяснить правило деления двоичных чисел