2 часть / Масс-спектроскопия / Labwork(atom)4-1-2-3

www.phys.nsu.ru

В. В. Поступаев

Лабораторная работа 4.3. Определение удельного заряда электрона методом магнитной фокусировки

Цель работы: изучение характера движения заряженных частиц в однородном магнитном поле и определение удельного заряда электрона методом магнитной фокусировки.

Введение

Удельный заряд электрона e/m представляет интерес для исследователей во всём мире уже более 100 лет. Именно работы 1897 г. известного английского физика Томсона1 по измерению удельного заряда q/m катодно-лучевых частиц – «корпускул», как он их назвал, по отклонению катодных лучей в электрическом и магнитном полях, считаются открытием электрона (термин «корпускула» не прижился, а ныне существующее название «электрон» ввёл английский физик Дж. Стоней). Хотя следует отметить, что в действительности «открытие» электрона растянулось более чем на полстолетия и не завершилось в 1897 г.; в нем принимало участие множество ученых и изобретателей2. История работ, приведших к открытию электрона, является наглядным примером того, что для достижения результата важна квалифицированная работа физика-экспериментатора. Действие магнитного поля на катодные лучи было обнаружено многими исследователями, однако в отношении действия электрического поля были расхождения. Томсон показал, что имевшиеся расхождения были обусловлены разной степенью откачки остаточного газа, ионизация которого приводила к нейтрализации влияния внешнего электрического поля. Трубка Томсона с впаянными пластинами конденсатора стала прообразом современных электронно-лучевых трубок (рис.1). Со

1Томсон Джозеф Джон (18.XII.1856–30.VIII.1940) – английский физик, член Лондонского королевского общества с 1884 г. (президент в 1916–1920). В разное время профессор Кембриджского ун-та, директор Кавендишской лаборатории, затем директор Тринити-колледжа. Иностранный член АН СССР с 1925 г., награждён несколькими научными медалями. В 1897 г. измерил e/m и массу электрона (прямое открытие электрона, Нобелевская премия по физике 1906 г.). Гипотеза о внутриатомных электронах (1897). Обнаружение электронов в фототоке и термоэлектронной эмиссии (1899). Разработал теорию движения электрона в электрическом и магнитном полях. Объяснил происхождение сплошного спектра рентгеновских лучей.

В1903 г. предложил модель атома Томсона с вкраплёнными в атом электронами. Ввёл представление о связи различных конфигураций электронов и химическими свойствами атомов (попытка объяснения периодичности свойств химических элементов, 1904 г.).В 1907 г. предложил принцип работы масс-спектрометра. Изучал отклонения ионных пучков в электрическом и магнитном полях («параболы Томсона», 1911).

В1912 г., обнаружив разделение ионов неона с массами 20 и 22, получил первые экспериментальные данные о существовании изотопов. Вывел выражение для сечения рассеяния света свободными электронами (формула Томсона). Один из основоположников электронной теории металлов (1900).

2Интересно, что по формальному хронологическому признаку первооткрывателем электрона следовало бы считать немецкого физика Эмиля Вихерта (1861–1928), который обнародовал свои работы 7.I.1897 г., т. е. за 3 месяца до первого заявления Томсона о корпускулах. Вихерт получил почти правильное значение массы – 1/2000 от массы атома водорода. В момент публикации этих работ Томсон, в отличие от Вихерта, считал, что новая частица обладает большим зарядом, но «нормальной» атомной массой, поскольку полагал, что частиц меньше атома не бывает. Однако работа Вихерта осталась малоизвестной, автор далее занимался другими задачами, и первооткрывателем обычно считается Томсон. Вихерт – иностранный членкорреспондент Петербургской АН с 1912 г., в 1897 г. установил существование ядра Земли.

50

www.phys.nsu.ru

Рис. 1. Катодная трубка Дж. Дж. Томсона для измерения отношения заряда к массе электрона

времени открытия электрона были предложены различные методы измерения удельного заряда электрона. Внимание к этой величине объясняется тем, что электрон является самой «востребованной» частицей, особенно в области атомной физики. Поэтому величина e/m относится к фундаментальным физическим константам, определяющим общее мировоззрение. В настоящее время удельный заряд электрона является одной из наиболее точно измеренных физических констант.

Движение заряженных частиц в электромагнитном поле

На движущуюся заряженную частицу действуют сила Кулона3 (со стороны электрического поля) и сила Лоренца4 (со стороны магнитного поля). Уравнение движения данной частицы в электромагнитном поле имеет вид5

электрическое и магнитное поля. Рассмотрим простейший случай – движение заряженной частицы (электрона с зарядом e) в однородном магнитном поле. Считаем, что электрическое поле отсутст-

вует ( Er = 0) и что вектор начальной скорости частицы произвольным образом ориентирован относительно вектораBr .

3Кулон Шарль Огюстен (14.VI.1736–23.VIII.1806) – французский физик и военный инженер, член Парижской АН (1803), с 1761 г. на военной службе. Сформулировал в 1781 г. законы трения, качения и скольжения. Установил законы упругого кручения и построил в 1784 г. крутильные весы. В 1785 г. экспериментально установил основной закон электростатики – закон Кулона, в 1788 г. распространил его на взаимодействие точечных магнитных полюсов. Выдвинул гипотезу о том, что намагниченность связана с поляризацией молекул. Сконструировал магнетометр (1785).

4Лоренц Хендрик Антон (18.VII.1853–4.II.1928) – нидерландский физик-теоретик, профессор Лейденского университета. Создал в 1880-1909 гг. классическую электронную теорию, базирующуюся на движении дискретных электрических зарядов (уравнения Лоренца–Максвелла). Вывел формулу, связывающую диэлектрическую проницаемость с плотностью диэлектрика (формула Лоренца–Лоренца), выражение для силы, действующей на заряд в магнитном поле (сила Лоренца), объяснил зависимость электропроводности вещества от теплопроводности. Предсказал расщепление спектральных линий в магнитном поле и разделил

сэкспериментально открывшим это явление П. Зееманом Нобелевскую премию по физике в 1902 г. Независимо выдвинул гипотезу о релятивистском сокращении размеров тел (сокращение Лоренца–Фитцджераль- да), ввёл в 1895 г. понятие о локальном времени. Разработал электродинамику движущихся сред. В 1904 г. вывел релятивистские преобразования Лоренца, тогда же получил зависимость массы электрона от скорости. Иностранный член АН СССР с 1925 г.

5Заметим, что иногда в этой и следующих далее формулах вместо B используется H. По-видимому, это обстоятельство связано с тем фактом, что движение частиц в электромагнитном поле можно осуществлять и наблюдать только в тех случаях, когда длина свободного пробега частицы много больше характерных размеров системы, т. е. в вакууме для нерелятивистских частиц. Выражения для силы Лоренца в системе СГС в этом случае будут одинаковыми, но физически правильной является запись, используемая здесь.

51

www.phys.nsu.ru

Разложим вектор начальной скорости на две составляющие – параллельную магнитному полю v|| = v cosα и перпендикулярную к нему v = v sinα (рис. 2).

В процессе движения величина v остается постоянной, поскольку сила Лоренца не имеет со-

ставляющей вдоль магнитного поля. Сила Лоренца лежит в плоскости, перпендикулярной к магнитному полю, и равна по модулю (при записи в системе СГС)

Эта сила перпендикулярна к v , а потому только искривляет траекторию частицы, не меняя величины скорости по модулю (т. е. полная кинетическая энергия частицы не изменяется). Поскольку в случае однородного магнитного поля сила постоянна по величине, то проекцией траектории частицы на плоскость, перпендикулярной к магнитному полю, будет окружность. Силу Лоренца можно в таком случае рассматривать как центростремительную силу:

Отсюда нетрудно найти радиус кривизны траектории или, точнее говоря, радиус окружности R,

а также период обращения T и круговую частоту ω:

Окружность, по которой движется частица под действием поперечного магнитного поля, при-

нято называть ларморовской окружностью, а величину R – ларморовским радиусом6. Частоту ω называют циклотронной, или ларморовской частотой, иногда для этой величины используются специальные обозначения ωH либо ωB. Отметим здесь важную особенность формул (4)-(6): циклотронная частота не зависит от энергии нерелятивистской частицы, а ларморовский радиус растёт линейно с импульсом, посчитанным по поперечной компоненте вектора скорости.

Сложение равномерного движения вдоль силовой линии поля с равномерным вращением в перпендикулярной плоскости приводит в результате к движению частицы по винтовой линии. Шаг винтовой линии λ равен расстоянию, на которое перемещается частица в направлении поля за время одного оборота по окружности:

6 Лармор, Джозеф (11.VII.1857–19.V.1942) – английский физик-теоретик и математик, член Лондонского королевского общества с 1892 г. (в 1912–1914 гг. его вице-президент). Профессор Королевского университета Белфаста, затем Кембриджского университета. Независимо от Х. Лоренца получил релятивистские преобразования координат и времени (ныне называемые преобразованиями Лоренца) и формулу сложения скоростей. Работы по электродинамике движущихся тел, термодинамике, магнетизму. Изучал движение частиц в магнитных полях.

52

www.phys.nsu.ru

λ

Рис. 2. Движение частицы в однородном магнитном поле

Поскольку частота вращения частицы ω не зависит от величины поперечной скорости частицы, однородное магнитное поле обладает фокусирующим действием как по отношению к пучкам заряженных частиц, лежащим в плоскости, перпендикулярной к направлению поля (см. лаб. работу 4.1), так и по отношению к пучкам, образующим малый угол с направлением поля.

Особенности движения электрона в магнитном поле позволяют определить отношение e/m.

Определение e/m для электрона методом магнитной фокусировки

В данной работе используется электронно-лучевая трубка осциллографа, помещенная внутри соленоида, создающего магнитное поле, направленное вдоль оси трубки. Электроны, эмитируемые раскалённым катодом трубки, ускоряются вдоль её оси приложенным напряжением U до энергии

Заметим, что, поскольку в области ускорения и формирования электронного пучка магнитное поле параллельно электрическому (т. е. v ≈ 0 ), то при начальном ускорении электронов до энергии,

соответствующей приложенному напряжению, магнитное поле не оказывает никакого влияния на движение частиц.

При отсутствии магнитного поля электронный пучок разворачивается на экране осциллографа в линию под действием электрического поля внутри пластин горизонтального отклонения, на которые подано переменное напряжение пилообразной формы. Проходя отклоняющие пластины в различные моменты времени, электроны приобретают поперечную скорость v , величина которой

53

www.phys.nsu.ru

Рис. 3. Траектории электронов в трубке осциллографа при наличии и отсутствии магнитного поля

изменяется от нулевой до некоторой скорости v max. При этом на экране осциллографа появляется линия, длина которой определяется выражением

b0 = 2v max L , (10)

v||

где L – расстояние от отклоняющих пластин до экрана.

Для простоты рассмотрения можно считать, что имеется точечный источник пучка электронов, у всех электронов есть одинаковая продольная скорость (вдоль магнитного поля) vII и есть не-

большой разброс горизонтальной (поперечной) составляющей v в пределах от 0 до v max. Электроны, испускаемые источником с разными поперечными скоростями, через период T из

соотношения (5) совершат один оборот по ларморовской спирали и соберутся в точку. Поскольку продольная скорость у них одинакова, это произойдет на расстоянии vIIT (далее снова на nvIIT). Зная это расстояние, можно определить удельный заряд электрона.

Проследим, как будет трансформироваться линия на экране при появлении магнитного поля, направление которого совпадает с осью трубки осциллографа (рис. 3). По мере увеличения маг-

нитного поля уменьшается радиус R (формула (4)) и шаг спирали λ (формула (7)), по которой электроны движутся в магнитном поле до экрана. При одном и том же магнитном поле электроны с разными скоростями v max будут двигаться по винтовым линиям, оси которых вертикально смещены от начала линии на экране на радиус окружности R, пропорциональный поперечной скоро-

сти v : R v . При этом частота вращения ω одинакова для всех электронов, так как не зависит от их скорости (формула (6)).

На рис. 4 точками приведены проекции траекторий электронов, имеющих v = v max для некото-

рых значений магнитного поля. Угол поворота ϕ, набираемый электронами за время движения до экрана,

54

www.phys.nsu.ru

Рис. 4. Изображение светящейся полосы на экране осциллографа для некоторых значений магнитного поля в соленоиде (при В = Вфок происходит первая фокусировка электронов в точку). Светлыми кружками изобра-

жены проекции траекторий электронов на экран, имеющих v = v max, темными – наблюдаемые светящиеся точки на экране осциллографа

Угол поворота одинаков для всех электронов с различными скоростями v . Следовательно, ли-

ния, высвечиваемая на экране осциллографа, сохранится, повернувшись на угол ψ = ϕ / 2 (рис. 4).

Используя выражения (9) и (11), нетрудно связать угол поворота линии ψ с величиной магнитного

Отсюда легко определить отношение е/m, добившись изменением магнитного поля B хорошо измеряемого угла поворота ψ = π/4, π/2 или π, когда происходит фокусировка электронов в точку. Таким образом, измеряя угол поворота линии на экране осциллографа для заданной величины магнитного поля, можно определить удельный заряд электрона по наклону зависимости ψ(B).

Кроме этого, из уравнений (4), (10), (11) следует, что длина линии на экране осциллографа b(ϕ)

Это уравнение спирали, называемой кохлеоидой. Очевидно, что при ψ = πk или при ϕ = 2πk, где k – целое число, происходит фокусировка электронов в точку. Первая фокусировка электронов

55

www.phys.nsu.ru

происходит при величине магнитного поля, для которого электрон за время движения до экрана успеет описать полный круг в перпендикулярной к магнитному полю плоскости. Эта величина определяется следующим равенством:

фок eL

Необходимо обсудить еще один момент, касающийся пролета электронов между отклоняющими пластинами, где движение происходит, вообще говоря, в скрещенных полях. Рассмотренная выше картина будет справедлива, если угол α = v / v , получаемый в отклоняющих пластинах, не зависит от величины магнитного поля. Условием пренебрежимости влияния магнитного поля на движение в отклоняющих пластинах является малость фазы ϕ, набираемой при прохождении пластин, длина которых для трубки 8ЛО4И равна l = 3 см. Поскольку величина фазы, равная 2π,

набирается на длине, равной шагу спирали λ, то отмеченное выше условие можно записать в виде

ϕ = 2πl / λ <<1

Расстояние до экрана L = 23 см, т. е. в точке первой фокусировки λ = 23 см, и условие (16) принимает вид l << 4 см, что, очевидно, не выполняется.

Кроме того, необходимо отметить, что все выше приведенные формулы написаны в системе СГС. В системе СИ, использующей практические единицы (такие, как ампер, вольт), выражения несколько изменятся. В частности, в системе СГС векторы H и B имеют одинаковую размерность и для вакуума совпадают (B = H), а в системе СИ они не только не совпадают, но и имеют разную размерность (B = μ0H, где μ0 = 4π 10–7 ≈ 1,256 10–6 Гн/м). Поэтому при вычислениях нужно соблюдать известную осторожность и чётко представлять, какая система единиц используется. Например, используемая для определения удельного заряда формула (13) в системе СИ будет

Подробнее о различиях в электрических единицах СГС и СИ см. [4, 6].

Порядок выполнения работы

Экспериментальная установка

Для изучения движения частиц в магнитном поле соленоида используется простая установка, Основным элементом установки является электронно-лучевая трубка (ЭЛТ) марки 8ЛО4И с электростатической отклоняющей системой, которая помещена внутрь соленоида. Эта электроннолучевая трубка использует источники питания и генератор горизонтальной развёртки от осциллографа С1-49, собственная электронно-лучевая трубка которого отключена.

56

www.phys.nsu.ru

Соленоид создаёт постоянное магнитное поле, направленное вдоль оси ЭЛТ. Для питания соленоида используется стандартный источник питания с регулируемым выходным напряжением, что позволяет изменять ток в соленоиде от нуля до требуемой величины. Величина тока в цепи соленоида измеряется при помощи стрелочного миллиамперметра.

При включении питания осциллографа С1-49 на экране ЭЛТ должна появиться прямая линия, формируемая генератором развёртки осциллографа. После прогрева осциллографа и ЭЛТ, в течение которого может происходить дрейф положения линии развёртки по экрану, нужно совместить линию развёртки с осью транспортира. Далее, при включении магнитного поля в соленоиде и постепенном его увеличении, эта линия начинает наклоняться по отношению к горизонту и уменьшается в длине (рис. 5). Для измерения длины линии развёртки и угла наклона по отношению к горизонту применяются линейка и транспортир, соответственно. Рекомендуется перед началом измерений переключателем частоты развёртки осциллографа подобрать такую частоту, при которой длина и форма линии развёртки оптимальна.

Устройство и принцип работы электронно-лучевой трубки более подробно рассмотрены в прил. 1. Фотография установки приведена на рис. 6.

Магнитное поле соленоида

Соленоид, используемый при выполнении лабораторной работы 4.3, имеет конечную длину, что необходимо учитывать при обработке экспериментальных результатов. Магнитное поле B0 бесконечно длинного соленоида задаётся известным выражением (обратите внимание, что используется смешанная система единиц):

где n – плотность намотки соленоида, I – протекающий ток.

Поле на оси соленоида конечного размера определяется выражением

Рис. 5. Фотография экрана ЭЛТ. Слева: без магнитного поля, справа: магнитное поле включено

57

www.phys.nsu.ru

Рис. 6. Фотография установки, использующейся в лабораторной работе

где h1, h2 – расстояние от точки на оси с координатой z до одного и другого края соленоида; a и b – внутренний и внешний радиусы соленоида соответственно (рис. 7); B0 – поле бесконечного соленоида.

Формулу (11) можно переписать в дифференциальной форме для случая магнитного поля, изменяющегося по продольной координате z:

Полный угол поворота будет тогда определяться интегралом выражения (20) по длине траектории частицы от z1 до z2:

где Beff – среднее значение поля Br вдоль электронной траектории:

Для значений, используемых в работе (h = 34 см, b = 6,5 см, а = 5 см, n = 150 витков/см), среднее значение магнитного поля по всей длине соленоида равно Beff ≈ 0,84B0. Для расчёта движения электрона внутри ЭЛТ нужно рассчитывать среднее поле по траектории его движения, поэтому

58

www.phys.nsu.ru

Рис. 7. «Толстый» соленоид конечного размера и распределение магнитного поля вдоль оси соленоида (h = 34 см, b = 6,5 см, а = 5 см, n = 150 витков/см). По горизонтальной оси: координата, нормированная на длину соленоида, центр соленоида принят за начало отсчёта (т.е. соленоид занимает область от –0,5 до +0,5 в этой шкале). По вертикальной оси: отношение магнитного поля к полю бесконечно длинного соленоида

для длины дрейфовой траектории 23 см среднее поле имеет величину Beff ≈ 0,89B0 (именно это значение нужно использовать при обработке результатов измерений). Следует отметить, что формула для расчёта B(z) в реальном соленоиде, приведённая выше, справедлива только в параксиальной области, т. е. при условии r << a, где r – расстояние электрона от оси.

Рис. 8. Схема установки: 1 – источник питания соленоида; 2 – амперметр; 3 – соленоид; 4 – электроннолучевая трубка; 5 – корпус осциллографа С1-49

59