5.2.4. QuickHull

Основная идея алгоритма заключается в разбиении исходного множества на два подмножестваи, выпуклые оболочки которых содержат ломанные, сцепление которых дает часть выпуклой оболочки множества. На первом шаге для разбиения²⁷выбираются точка, с наименьшей ординатой из всех точек, имеющих наименьшую абсциссу, и точка, с наименьшей ординатой из всех точек, имеющих наибольшую абсциссу. Тогда- множество точек из, расположенных выше или на прямой, асоответственно множество точек из, лежащих ниже или на разделяющей прямой. Далее ведется поиск некоторой точкиизтак, чтобы значение площадибыло максимальным среди всех треугольников, лежащих в. В случае совпадения нескольких максимальных площадей выбирается треугольник с наименьшим значением угла. Нетрудно заметить что при таком выборе точка С принадлежит.

Точка разбиваетна три множества:

• - множество точек, лежащих слева от

• - множество точек, лежащих справа от

• - точки, принадлежащие

Поскольку точки из не принадлежат, они отбрасываются. Точкагарантированно принадлежит выпуклой оболочке. В самом деле, если провести черезпрямую, параллельную прямой, то выше этой прямой не лежит ни одной точки из множества. Посколькуявляется самой левой точкой из, лежащей на прямой, она не может быть равна выпуклой комбинации других точек из, а следовательно является крайней точкой. Далее рекурсивно строятся части выпуклых оболочек множестви, затем выпуклые цепи сцепляются в точке. Первое разбиение прямойнемного отличается от разбиений, которые алгоритм строит на последующих шагах. В [5] указано, как можно выйти из этой ситуации. Можно, выбрав произвольно малое число, рядом с точкойс координатами () добавить точкус координатами, провести через эти точки вертикальную прямую, а далее строить разбиение (выбрать точку) относительно этой прямой. После выбора точки, точкуследует удалить.

В этом методе не удается сбалансировано делить на подмножества, поэтому в худшем случае, как и вQuicksort, оценка достигает. Метод плохо работает, когда все точки изявляются крайними, и на каждом шаге отсекается ровно одна точка. Пример такого расположения точек исходного множества приведен на рисунке ниже

В этом примере на каждом шаге алгоритма в выпуклую оболочку будет включаться ровно по одной точке начиная с точки, находящейся к оси абсцисс под углом , далее под углами,, …

Однако если при разбиении на каждом уровне рекурсии отсекается не константная часть элементов, то можно, как и в случае алгоритма Quicksort, оценить время работы алгоритма функцией[5].

5.2.5. Алгоритм Чена

В 1995 году Т.Ченем был предложен алгоритм построения выпуклой оболочки, имеющий временную сложность , где черезобозначено число вершин выпуклой оболочки. В основе алгоритма, как и у Джарвиса, лежит идея заворачивания, но Чень в своем алгоритме вводит некоторый числовой параметр, по которому проводится оптимизация.

Сначала множество исходных точек разбивается на некоторое число подмножеств. Далее для каждого из выделенных подмножеств строится выпуклая оболочка (можно использовать метод Грэхема). При построении выпуклой оболочки дляиспользуется информация об уже построенных к этому времени выпуклых оболочках. Введем понятие правой опорной точки выпуклого многоугольника. Правой опорной точкой выпуклого многоугольникаотносительно точки, называется такая точка, что любая другая точка многоугольникалежит по левую сторону от ориентированного отрезка. Ниже проиллюстрированы примеры опорных точек в случае, когда точкане лежит на многоугольнике, и в случае, когдапринадлежит границе многоугольника:

Выпуклая оболочка для строится добавлением следующего ребра к построенному к этому времени участку выпуклой оболочки, но в отличие от алгоритма Джарвиса выбор кандидата делается из правых опорных точек многоугольниковотносительно некоторой текущей точки.

В процессе заворачивания алгоритм последовательно добавляет точки в выпуклую оболочку: с этой целью определяется множество правых опорных точек многоугольников относительно последней включенной вершины, и выбор следующей вершиныведется только среди этих опорных точек по следующему правилу: любая точка, должна лежать на ориентированном отрезкеили левее этого отрезка.

На рисунке ниже показано как на некотором шаге алгоритма среди правых опорных точек ипостроенных относительно точкинаходится следующая точка выпуклой оболочки

На следующем рисунке показано как изменяется множество правых опорных точек относительно нового положения точки

При этом необходимо отметить два обстоятельства:

1. Выпуклые оболочки для множеств , строятся ровно один раз. Внутренние точки множествв построении выпуклой оболочки всего множестваучастия не принимают.

2. Правые опорные точки для каждого из множеств строятся алгоритмом заново по мере построения выпуклой оболочки для всего множества.

Выберем параметр . Рассмотрим шаги алгоритма:

Шаг 1.Произвольно разбить исходное множествонаподмножеств, каждое из которых содержит не болеевершин.

Шаг 2.Для каждогопостроить выпуклую оболочку. Для этого можно использовать метод Грэхема.

Шаг 3.Выбрать точку, которая будет крайней точкой выпуклой оболочки. Например, за эту точку можно взять самую левую точку из точек с минимальной- координатой. Положить.

Шаг 4.для всех,, найти правую опорную точкувыпуклого многогранникаотносительно, среди этих точек определить точку, так, чтобы все точкилежали слева от ориентированного отрезка. Если таких точек несколько, выбирается точка, наиболее удаленная от точки. Найденная точкаявляется следующей точкой выпуклой оболочки. Положитьи повторить шаг 4 до тех пор, пока заворачивание не приведет к исходной точке.

Временная сложность алгоритма зависит от значения параметра .

Очевидно, шаг 1 требует времени. Выпуклая оболочка для каждого из множествможет быть построена за время. Всего второй шаг требуетвремени. Начальная точка(шаг 3) может быть найдена зашагов.

Отдельно рассмотрим шаг 4. Нахождение одной правой опорной точки для с использованием двоичного поиска занимаетвремени, в пересчете на все множества, это составитвремени. Поиск точкииз множества вершинзанимаетшагов. Поэтому однократное выполнение шага 4 в целом займетвремени. Поскольку шаг 4 выполняетсяраз, то всего потребуетсявремени. Всего имеем,времени. Выбирая, получим требуемую оценку. Однако внимательный читатель может заметить, что к началу решения задачи нам не известно значение. Выход заключается в подборе значения, при этом важно, чтобы подбор занимал константное время.

Рассмотрим следующий псевдокод

;

// Вызвать процедуру построения выпуклой оболочки для множества ,

// состоящего из вершин методом Чена с параметром ;

процедура построила выпуклую оболочку

напечатать выйти из цикла;

Необходимо отметить, что при недостаточных значениях алгоритм послеитераций не вернется к точке. В этом случае необходимо увеличить значениеи повторно вызвать процедуру построения выпуклой оболочки с новым значением параметра. Заметим также, что приалгоритм завершает свою работу на шаге 2 построением выпуклой оболочки.

Алгоритм завершит работу при выполнении условия или. При фиксированномвремя работы алгоритма составляет. Поэтому время работы алгоритма оценивается сверху числом

.

Таким образом, нетривиальная комбинация подходов Грэхема и Джарвиса позволила получить алгоритм, который в среднем имеет трудоемкость , а в худшем случае работаетвремени.

1Хотя существуют специфические задачи, когда последовательность запросов направлена на определение некоторого сложного объекта (например, ведется поиск цепи в графе, а каждый запрос определяет некоторое звено в цепи). В этом случае информация, полученная на предыдущих шагах, может быть использована для оптимизации поиска в последующем.

2Задачи поиска формулируются и для мультимножеств, которые содержат одинаковые элементы. Алгоритмы поиска и сложность поиска в этом случае не значительно отличаются от случая, когда все элементы множества различны, и поэтому отдельно не рассматриваются.

3Хотя конечной целью поиска является информация, которая содержится в объектах, ассоциированных со значением ключа, по которому ведется поиск. Эта информация наряду с ключами может содержаться в самих объектах, или храниться отдельно. В этом случае ключ играет роль адреса доступа к нужной информации.

4В общем случае, на элементах множества можно задать приоритеты, и провести сортировку согласно установленным приоритетам.

5Множество приоритетов

6Определение дано для случая с уникальными ключами

7Бесплатным, как известно, бывает … Необходимо понимать, что упрощая процедуру поиска, мы усложняем текущий объект и расходуем дополнительную память

8Случай правого брата аналогичен

9Процесс корректировки меток может быть прерван досрочно, если метки некоторой промежуточной вершины не изменились

10Эта операция подробно рассмотрена в примере 3 введения

11Случайявляется двойственным и рассматривается аналогично

12Число 5 не принципиально – можно взять и другую нечетную константу, начиная с 3.

13Необходимо вспомнить, что.

14Напомним, чтоявляется множеством запросов

15Сложностьобычно - константа

16Очевидно, является нижней оценкой, так как аргументом функции выступает строка длины

17см. Шенноновские нижние оценки при реализации булевых функций в некоторых классах управляющих систем

18При условии, что подмножество содержит более одной перестановки

19С точностью до перестановок одинаковых элементов

20Обычно операции, связанные с обменом, занимают больше времени, чем операции сравнения ключей. Но поскольку эта разница сильно зависит от модели вычислителя, мы для внутренней сортировки не будем различать сложность выполнения этих операций.

21В случае, когда одна из последовательностей имеет длину 1, говорят о включении соответствующего элемента в

22Название алгоритма происходит из-за подобия процессу движения пузырьков в резервуаре с водой, когда каждый пузырек находит свой собственный уровень.

23Например, использование степеней двойки дает неэффективную реализацию, поскольку до последнего прохода элементы с четными индексами не сравниваются с элементами нечетными индексами.

24Если последовательности заданы списками, то можно обойтись без дополнительного списка, изменяя ссылки элементов исходной последовательности.

25См. раздел порядковые статистики

26Интересно, что сложность алгоритма зависит не только от размерностивходных данных, но и от размерностивыходных данных, поскольку перед решением задачи мы не знаем сколько вершин войдет в выпуклую оболочку.

27Здесь, говоря о разбиении можно закрыть глаза на то, чтоисодержат общую часть в виде прямой, проходящей через точкии.

121