СМ, ФН4, РК4 / Интегралы и диф. уравнения / Программа_ИДУ_бак

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана»

(МГТУ им. Н.Э. Баумана)

УТВЕРЖДАЮ Первый проректор — проректор по учебной работе МГТУ им. Н.Э. Баумана

_____________ Б.В. Падалкин «___» _____________ 201 г.

Регистрационный номер

Программа учебной дисциплины

Интегралы и дифференциальные уравнения

Программа учебной дисциплины составлена в соответствии с основной образовательной программой подготовки ВПО МГТУ им. Н.Э. Баумана (бакалавра). Рекомендуется для студентов, обучающихся по специальности (направлению):

Шифр направления/специальности

2301000062 (АК5), 2010000062 (БМТ1), 2010000062 (БМТ2), 1611000162 (ИУ1), 1611000262 (ИУ1), 2204000162 (ИУ1), 2204000262 (ИУ1), 1611000062 (ИУ2), 1611000162 (ИУ2), 1611000262 (ИУ2), 1611000362 (ИУ2), 1611000362 (ИУ2), 2304000062 (ИУ4), 2110000162 (ИУ4), 2110000262 (ИУ4), 2110000362 (ИУ4),

2301000062 (ИУ5), 2301000062 (ИУ6), 2310000062 (ИУ7), 1519000062 (МТ1), 1507000062 (МТ3), 1510000062 (МТ3), 1519000062 (МТ3), 2217000162 (МТ4), 2217000262 (МТ4), 2217000362 (МТ4), 1507000062 (МТ5),

1507000062 (МТ6), 1507000062 (МТ7), 1501000162 (МТ8), 1501000262 (МТ8), 0725000162 (МТ9), 0725000262 (МТ9), 0725000362 (МТ9), 1510000062 (МТ10), 1522000062 (МТ11), 2101000062 (МТ11), 1507000062 (МТ12), 1507000062 (МТ13), 1901000062 (РК4), 1516000162 (РК5), 1516000262 (РК5), 2204000062 (РК9), 2207000162 (РК9), 2207000262 (РК9), 2201000062 (РК10), 2204000062 (РК10), 2210000162 (РК10), 2210000062 (РК10), 2004000062 (РЛ2), 2005000062 (РЛ2), 2001000162 (РЛ3), 2001000262 (РЛ3), 2004000062 (РЛ3), 2004000162 (РЛ3), 2004000262 (РЛ3), 2004000362 (РЛ3),

1522000062 (РЛ6), 2001000062 (РЛ6), 2110000062 (РЛ6), 1604000062 (СМ1), 1617000062 (СМ3),

2204000062 (СМ5), 2210000162 (СМ7), 2210000262 (СМ7), 2210000362 (СМ7), 1901000162 (СМ9), 1901000262 (СМ9), 1901000162 (СМ10), 1901000262 (СМ10), 1901000362 (СМ10), 2210000062 (СМ11), 1604000062 (СМ13), 1501000062 (СМ13), 2232000162 (ФН4), 2232000262 (ФН4), 2232000362 (ФН4), 2232000462 (ФН4), 1607000162 (Э1), 1607000262 (Э1), 1411000062 (Э2), 1411000162 (Э3), 1411000262 (Э3), 1607000062 (Э3), 1412000162 (Э4), 1412000262 (Э4), 1510000062 (Э5), 1407000062 (Э6), 1406000162 (Э8),

1406000062 (Э8), 2807000162 (Э9), 2807000262 (Э9), 1411000062 (Э10)

Москва, 2012

1.Общая характеристика дисциплины

1.1.Цель преподавания дисциплины состоит в содействии формированию следующих компетенций:

а) общекультурные (ОК)

─владеет целостной системой научных знаний об окружающем мире;

─способен использовать базовые положения математики при решении социальных и профессиональных задач;

─способен использовать профессионально - ориентированную риторику, владеет методами создания понятных математических текстов;

─способен к работе в коллективе, в том числе и над междисциплинарными проектами;

─способен на научной основе организовать свой труд, оценить с большой степенью самостоятельности результаты своей деятельности, владеет навыками самостоятельной работы;

─способен получать и обрабатывать информацию из различных источников, готов интерпретировать, структурировать и оформлять её в доступном для других виде (ОК-13);

─имеет навыки работы с компьютером как средством управления, готов работать с программными средствами общего назначения;

─способен участвовать в работе над инновационными проектами, используя базовые методы исследовательской деятельности;

─способен самостоятельно применять методы и средства познания, обучения и самоконтроля для приобретения новых знаний и умений, развития социальных и профессиональных компетенции;

─владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу, систематизации выбору путей их достижения, умеет логически верно аргументировано и ясно строить свою речь;

б) профессиональные (ПК):

Проектно-конструкторская деятельность.

В области проектно-конструкторской деятельности способность и готовность:

─проводить техническое проектирование с использованием математического аппарата;

─участвовать в составлении технических заданий;

Научно-исследовательская деятельность.

Вобласти научно-исследовательской деятельности способность и готовность:

─принимать участие в научно-исследовательских работах в качестве исполнителя, выполняя техническую работу с применением компьютерных технологий;

─обрабатывать результаты научно-исследовательской работы, оформлять материалы для получения патентов и авторских свидетельств, готовить к публикации научные статьи и оформлять технические отчеты;

Экспериментальная деятельность.

Вобласти экспериментальной деятельности способность и готовность:

─ участвовать в разработке технического задания и программы проведения экспериментальных работ

1.2. Задачами преподавания дисциплины являются изучение интегрального исчисления функций одной переменной, его приложений, теории дифференциальных уравнений первого и высших порядков, линейных дифференциальных уравнений и их

систем, а также приложения теории к решению различных задач из физики и техники, формирование способности применять стандартные методы и модели к решению типовых задач интегрального исчисления и дифференциальных уравнений, сопоставлять различные методы решения задачи, обосновывать выбор аналитического и численного метода решения задачи; овладение принципами математических рассуждений и математических доказательств, методами математического моделирования и анализа

1.3. Изучение дисциплины предполагает предварительное освоение следующих дисциплин учебного плана:

1.Математический анализ.

2.Аналитическая геометрия.

2.Приобретаемые компетенции

2.Проектируемые (планируемые) результаты освоения содержания дисциплины

После освоения дисциплины студент должен приобрести следующие знания, умения и навыки, соответствующие компетенциям, определяемыми основной образовательной программой

(ООП).

2.1.Студент должен знать

Основные определения курса

Свойства первообразной и неопределенного интеграла

Свойства определенных и несобственных интегралов

Геометрические и физические приложения определенных и несобственных интегралов.

Основные понятия, относящиеся к дифференциальным уравнениям первого и высших порядков.

Понятие линейной зависимости функций, определителя Вронского и его свойства

Основные понятия, относящиеся к системам дифференциальных уравнений

Свойства решений и структуру общего решения систем линейных дифференциальных уравнений с произвольными коэффициентами.

2.2.Студент должен уметь

Вычислять определенные и несобственные интегралы

Исследовать сходимость несобственных интегралов

Вычислять с помощью определенных и несобственных интегралов площади плоских фигур и поверхностей вращения, объемы тел, длины дуг кривых

Решать дифференциальные уравнения высших порядков

Решать линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью в виде квазимногочлена методом неопределенных коэффициентов и с произвольной правой частью методом вариации постоянных

Решать системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

2.3.Студент должен иметь навыки

Нахождения неопределенных интегралов

Решения дифференциальных уравнений первого порядка и сводящиеся к ним

Решения линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Модуль 1. Интегральное исчисление функций одной переменной

1.Неопределенные интегралы. Первообразная, её свойства. Неопределенный интеграл, его свойства, связь с дифференциалом. Таблица основных неопределенных интегралов. Интегрирование подстановкой и заменой переменного. Интегрирование по частям. Рациональные дроби. Разложение правильной рациональной дроби на сумму. Интегрирование простейших дробей. Интегрирование правильных и неправильных рациональных дробей.

2.Определенные интегралы. Задачи, приводящие к неопределенному интегралу. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Теорема об интегрируемости кусочнонепрерывных функций. Геометрическая интерпретация определенного интеграла. Основные свойства определенного интеграла. Теоремы об оценке и о среднем значении. Определенный интеграл с переменным верхним пределом и теорема о его производной. Формула НьютонаЛейбница. Вычисление определенных интегралов подстановкой и по частям.

3.Несобственные интегралы. Несобственные интегралы по бесконечному промежутку (1-го рода). Несобственные интегралы от неограниченных функций на отрезке (2-го рода). Признаки сходимости несобственных интегралов. Абсолютная и условная сходимости. Несобственные интегралы с несколькими особенностями.

4. Приложения определенных интегралов. Вычисление площадей плоских фигур,

ограниченных кривыми, заданными в декартовых координатах, параметрически и в полярных координатах. Вычисление объемов тел по площадям поперечных сечений и объемов тел вращения. Вычисление длины дуги кривой и площади поверхности вращения

Модуль 2. Дифференциальные уравнения.

5. Дифференциальные уравнения первого и высших порядков. ДУ первого порядка,

его решения. Частные и общие решения. Интегральные кривые. Задача Коши для ДУ 1-го порядка. Теорема Коши о существовании и единственности решения ДУ Геометрический смысл ДУ 1-го порядка. Метод изоклин. Дифференциальные уравнения n-го порядка, частные и общие решения. Задача Коши и ее геометрическая интерпретация ( n 2 ). Теорема Коши о существовании и единственности решения ДУ (без док-ва). Краевая задача. Понижение порядка некоторых типов ДУ n-го порядка

6.Линейные дифференциальные уравнения. Линейные дифференциальные уравнения

(ЛДУ) n-го порядка, однородные и неоднородные. Теорема о существовании и единственности решения. Дифференциальный оператор L[y], его свойства. Линейное пространство решений однородного ЛДУ (ОЛДУ). Линейно зависимые и независимые системы функций на отрезке. Определитель Вронского (вронскиан). Теорема о вронскиане системы линейно зависимых функций. Теорема о вронскиане системы линейно зависимых решений ОЛДУ. Теорема о структуре общего решения ОЛДУ. Размерность пространства решений ОЛДУ. Фундаментальная система решений ОЛДУ. Формула ОстроградскогоЛиувилля и ее следствия. Однородные ЛДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение ОЛДУ. Построение общего решения по корням характеристического уравнения. Неоднородные линейные ДУ (НЛДУ). Структура общего решения НЛДУ. Теорема о наложении частных решений. Метод Лагранжа вариации постоянных.

7.Системы дифференциальных уравнений. Нормальные системы ДУ. Задача и теорема Коши. Частные и общее решения. Системы линейных ДУ первого порядка. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений. Однородные системы ЛДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение системы. Построение общего решения по корням характеристического уравнения (вывод только для случая действительных и различных корней). Теорема о структуре общего решения неоднородной системы ЛДУ. Метод вариации постоянных.

4.2.Практические занятия (семинары, упражнения, занятия в компьютерном классе, деловые игры и т.п.)

Модуль 1. Интегральное исчисление функций одной переменной

1.Неопределенные интегралы (14 часов)

2.Определенные интегралы (2 часа)

3.Несобственные интегралы (2 часа)

4.Приложения определенных интегралов (6 часов)

Модуль 2. Дифференциальные уравнения.

5.Дифференциальные уравнения первого и высших порядков (6 часов)

6.Линейные дифференциальные уравнения (6 часов)

7.Системы дифференциальных уравнений (4 часа)

4.3. Лабораторные работы (с использованием измерительной техники и экспериментального или производственного оборудования)

4.4.1 Домашние задания Модуль 1. Интегральное исчисление функций одной переменной

Домашнее задание № 1 состоит из задач по темам: геометрические приложения определенного интеграла, несобственные интегралы. Сроки выполнения «Домашнего задания № 1»: выдача– 5 неделя, прием – 10 неделя.

Трудоемкость «Домашнего задания № 1» – 12 часов

Модуль 2. Дифференциальные уравнения Домашнее задание № 2 состоит из задач по темам: Дифференциальные уравнения высшего

порядка, линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, метод изоклин.

Сроки выполнения «Домашнего задания № 2»: выдача– 12 неделя, прием – 15 неделя. Трудоемкость «Домашнего задания № 2» – 12 часов

4.4.2. Выполнение текущих (еженедельных) домашних заданий.

Текущие (еженедельные) домашние задания представляют собой набор задач к каждому семинару. Номера задач и задачники указаны в календарном плане дисциплины

4.4.3 Рефераты (эссе и т.п.)

Нет

4.4.4. Подготовка к контрольным мероприятиям и их проведение Модуль 1. Интегральное исчисление функций одной переменной.

Контрольная работа № 1 по теме «Техника интегрирования». Срок проведения – 6 неделя Трудоемкость контрольной работы №1 – 4 часа

Рубежный контроль № 1 по теме «Определенный интеграл и его приложения». Срок проведения – 10 неделя Трудоемкость рубежного контроля №1 – 6 часов

Модуль 2. Дифференциальные уравнения Контрольная работа № 2 по теме «Дифференциальные уравнения первого порядка». Срок проведения 13 неделя.

Трудоемкость контрольной работы №2 – 4 часа Рубежный контроль № 2 по теме «Дифференциальные уравнения высших порядков». Срок проведения 16 неделя.

Трудоемкость рубежного контроля №2 – 6 часов

5. Рейтинговая система контроля освоения дисциплины

Шкала перевода рейтинговых оценок по всем видам занятий и самостоятельной работы в экзаменационную оценку:

6.Методическое обеспечение дисциплины

6.1.Основная литература

1.Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006.-506 с. (Сер. Математика в техническом университете. Вып. VI).

2.Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006.- 336 с. (Сер. Математика в техническом университете. Вып. VIII).

3.Морозова В.Д.. Введение в анализ: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005.– 408 с. (Сер. Математика в техническом университете. Вып. I).

4.Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М., Наука,

1981.

5.Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. - М.: Наука, 1981.

6.Сборник задач по математике для втузов. Под ред. А.В.Ефимова и Б.П. Демидовича. Т.1,

2-М. 2010.

7.Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. под ред. Б.П. Демидовича. – М., Астрель, 2003.

6.2. Дополнительная литература

1.Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.1, 2-М., Высшая школа, 1981.

2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч.1, 2-М.: Физматлит, 2005. -

616 с.

6.3.Методические пособия, изданные в МГТУ (МП)

1.Иванова Е.Е., Морозова В.Д., Шарохина И.В. Дифференциальные уравнения: методические указания к выполнению домашнего задания (Под ред. В.Д.Морозовой). -М.: Изд-во МГТУ,

1987.-32с.

2.Белова Т.И., Грешилов А.А., Пелевина А.Ф. Дифференциальные уравнения первого порядка. Метод. указания по курсу "Высшая математика” -М.: Изд-во МГТУ, 1989.-32с.

3.Богомолов В.Г., Кандаурова И.Е., Шишкина С.И. Дифференциальные уравнения первого порядка. -М.: Изд-во МГТУ, 2001.-37 с

4.Пелевина И.Н. Раров, Н.Н.,Филиновский А.В. Дифференциальные уравнения высших порядков. Методические .указания к выполнению домашнего задания. -М.: Изд-во МГТУ им.Н.Э.Баумана,2001.-38с.

5.Добрица Б.Т., Дубограй И.В., Дьякова Л.Н., Цветкова Т.А. Дифференциальные уравнения. М.: Изд-во МГТУ, 1986.

6.Иванова Е.Е., Морозова В.Д., Петрухина О.С., Шарохина И.В. Системы линейных дифференциальных уравнений, учебное пособие. М., МВТУ, 1987.

7.Добрица Б.Т., Янов И.О. Системы дифференциальных уравнений: Метод. указания к выполнению типового расчета. -М.: Изд-во МГТУ, 2002.-42 с.

8.Казанджан Г.П., Савин А.С., Филиновский А.В. Системы дифференциальных уравнений и элементы теории устойчивости: Методические .указания к выполнению домашнего задания.

-М.:Изд-во, 2002.-28 с

9.Копаев А.В., Маркелов Г.Е., Тесалина А.А. Определенный интеграл. Методические

.указания к выполнению домашнего задания. – М.: Изд-во МГТУ, 2002.-69 с.

10.Минеева О.М., Неклюдов А.В., Скуднева О.В. Несобственные интегралы. Методические

.указания к выполнению домашнего задания. - М.: Изд-во МГТУ, 2003.-41 с.

11.Добрица Б.Т. Роткова О.В. Шахов Е.М. Неопределенный интеграл. М., МГТУ, 1988.

12.Галкин С.В. Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения. – М.: Изд-во МГТУ,

2007. – 160 с.

6.4.Электронные ресурсы

Интегралы и дифференциальные уравнения ФН1, ФН2, ФН11, ФН12

«____» __________ 201_ г.