5.3.1. Ламинарный режим движения

Ламинарный режим течения в трубах соблюдается при Re_d  2300. В отсутствие турбулентных пульсаций элемент тензора вязких напряжений выражает поток импульса за счет лишь молекулярного механизма переноса (1.46)

. (5.54)

В рассматриваемом случае частная производная может быть заменена обыкновенной, т.к. скорость W_x от других переменных не зависит (- стационарность,(5.46),- осесимметрич-ность). Подставим (5.54) в (5.48), разделим переменные и проинтегрируем, предполагая, что, dр/dx = const:

, (5.55)

, (5.56)

. (5.57)

Константу интегрирования С определим из граничного условия равенства нулю скорости жидкости W_x на стенке трубы r = R, W_x = 0

, , (5.58)

(5.59)

или для равномерного движения с учетом (5.51)

. (5.60)

В соответствии с (5.60) максимальная скорость достигается на оси потока при r =0

, (5.61) . (5.62)

Таким образом, зависимость W_x(r ) имеет параболический характер (рис. 5.7). Следует однако напомнить, что полученное решение справедливо лишь в области стабилизированного течения. Решения, полученные в приближении пограничного слоя, определяют длину участка гидродинамической стабилизации при ламинарном режиме течения:

. (5.63)

Таким образом, для Re = 210³ длина участка гидродинамической стабилизации может достигать 100 диаметров.

Определим среднюю по поперечному сечению трубы скорость потока как

. (5.64)

Тогда для ламинарного режима

(5.65) т.е. средняя по сечению скорость соответствует половине максимальной (рис. 5.7). Используя (5.61), можно связать среднюю скорость с разностью давлений р:

. (5.66)

Учитывая выражение для объемного расхода , можно получить уравнение, которое носит название Гагена-Пуазейля:

. (5.67)

По этому уравнению можно найти объёмный расход жидкости, зная перепад давлений на стабилизированном участке трубы длиной и, наоборот, потерю давления по известному расходу.

Рис. 5.7. Профиль скорости при ламинарном стабилизированном течении в цилиндрической трубе

Решив уравнение (5.66) относительно р, можно найти потерю давления трубопровода по известной скорости:

(5.68)

или

, (5.69)

где - коэффициент гидравлического трения при ламинарном движении в трубе. Или в критериальном виде

. (5.70)

Перенос импульса от оси потока к стенкам трубы можно рассматривать как процесс импульсоотдачи (5.7). В качестве движущей силы процесса будем рассматривать разность средней и граничной скорости, последняя из которых равна нулю из условия прилипания на стенке:

. (5.71)

Коэффициент импульсоотдачи ’ и гидродинамический критерий Нуссельта Nu’_г легко найти из совместного решения (5.71), (5.68) и (5.52):

, (5.72)

. (5.73)

Таким образом, задача гидродинамики по определению полей скорости, давления, потока импульса, а также коэффициентов импульсоотдачи и трения в цилиндрической трубе решена аналитически исходя из исчерпывающего описания процессов переноса, т.е. уравнений Навье-Стокса и неразрывности.

Следует отметить, что соотношение (5.69) может давать неправильное представление о квадратичной зависимости p от скорости. В то время как, например, для ламинарного течения в трубе эта зависимость линейная т.к.. Коэффициент же импульсоотдачи в отличие от _г в этом случае от скорости не зависит; Nu_г,d является константой, в то время как критерий . Таким образом, использование и Nu_г позволяет получить более простые и наглядные соотношения.