5.3. Течение в цилиндрической трубе

Рассмотрим напорное установившееся равномерное стабилизированное движение несжимаемой жидкости в горизонтальной прямой трубе круглого сечения. На определенном расстоянии от входа в трубу происходит формирование поля скорости - участок гидродинамической стабилизации длиной . При дальнейшем продвижении потока вдоль трубы поле скорости остается неизменным, такое течение называется стабилизированным (более подробно см. 6.2.2) Напомним, что задача гидродинамики заключается в определении полей скорости, давления, потока импульса (тензора напряжений), а также коэффициентов импульсоотдачи или трения.

Решение данной задачи для течения в прямой трубе круглого сечения удобнее получить с использованием цилиндрических координат. Совместим ось X с осью трубы, а начало координат с концом участка гидродинамической стабилизации (рис.5.6). Связь прямоуголь­ной и цилиндрической системы координат осуществляется следующим образом:

, (5.44)

где  - угол, между осями r и y.

Рис. 5.6. Профиль потока импульса при установив­шемся стабилизированном течении в цилиндрической трубе

Запишем уравнения движения и неразрывности в цилиндрических координатах для рассматриваемого случая. Для этого упростим общий вид данных уравнений (см. приложение 2) с учетом принятых допущений. При стабилизированном осесимметричном течении составляющие скорости W_r и W_ = 0, следовательно, равны нулю и производные от них по любым переменным. Установившееся (стационарное) движение предполагает неизменность величин во времени, следовательно, . Предполагая, что длина горизонтальной трубызначительно превышает ее диаметрd, пренебрегаем изменением давления за счет гидростатического эффекта . Несжимаемость жидкости дает=сonst. С учетом вышесказанного уравнения движения и неразрывности приобретают вид

, (5.45)

. (5.46)

Решив уравнение движения, можно получить зависимость потока импульса (элемента тензора вязких напряжений ) от гидравлического сопротивления трубопровода (как уже отмечалось для горизонтального равномерного движения потерянное давлениер_n совпадает с перепадом давлений р). Проинтегрируем уравнение (5.45) по dr

. (5.47)

Учитывая, что для равномерного стабилизированного движения , получим

или . (5.48)

Поскольку пропорционален(1.46), (1.48), а величина данной производной вследствие осесимметричности равна нулю приr = 0, то и . Из этого граничного условия находим, что постоянная интегрированияС = 0. Знак «минус» в решении (5.48) объясняется отрицательным значением производной (давление падает в направлении движения). Поток импульса направлен от оси трубы к стенкам, линейно возрастая от0 до приr = R (рис. 5.7)

, (5.49) . (5.50)

Для равномерного стабилизированного движения можно представить

, (5.51) , (5.52)

где - длина участка стабилизированного течения, на котором происходит падение давленияр. Мы нашли зависимость потока импульса (r), связав её с потерей давления в трубопроводе (5.48). Для определения потери давления (гидравлического сопротивления), а также поля скорости W_x(r), коэффициентов импульсоотдачи  и трения c_f, _г необходимо учитывать режим течения среды, о котором можно судить по величине критерия Рейнольдса:

. (5.53)