5.7. Движение неньютоновских жидкостей

Закон Ньютона (1.46) при справедлив для жидкостей с небольшой молекулярной массой, вязкость которых является функцией температуры и давления, но не зависит от градиента скорости (скорости сдвига). У таких жидкостей, носящих название ньютоновских, зависимостьот(кривая течения) является линейной (рис. 5.22, линия 1).

Жидкости, обнаруживающие зависимость коэффициента вязкости от скорости сдвига (высокомолекулярные соединения, суспензии и др.), называются неньютоновскими, их кривая течения отличается от линии 1. Неньютоновские жидкости в зависимости от их свойств, разделяют на три группы: 1) реологически стационарные жидкости - скорость сдвига в данной точке зависит только от напряжения в этой точке; 2) реологически нестационарные жидкости - скорость сдвига зависит от продолжительности действия напряжения; 3) вязкоупругие жидкости - сочетание свойств твердого тела и жидкости, проявляющееся в виде упругого восстановления формы после снятия напряжения.

Рис. 5.22. Кривые течения для различных жидкостей: 1 - ньютоновских; 2 - бингамовских; 3 – псевдоплас­тичных; 4 - дилатантных

Жидкости первой группы подразделяются на три типа по характеру функциональной зависимости : бингамовские (рис. 5.22, линия 2), псевдопластичные (рис. 5.22, линия 3), дилатантные (рис. 5.22, линия 4).

Для бингамовских жидкостей справедлива следующая зависимость:

. (5.261)

Величина ₀ выражает предел напряжения (предел текучести), превышение которого приводит к вязкому течению; _п называется пластической вязкостью. Поведение бингамовских жидкостей объясняется их жесткой пространственной структурой. При последняя разрушается и жидкость приобретает свойство текучести (линия 2 на рис. 5.22.). Присвойство текучести не проявляется, и среда ведёт себя как твёрдое тело (густые суспензии).

Псевдопластичные жидкости не имеют предела текучести и отличаются падением кажущейся вязкости _k с ростом скорости сдвига: или , причем m < 1 (m можно рассматривать как меру отклонения от ньютоновской жидкости, для которой m=1). Величина k является постоянной, совпадающей с  для ньютоновских жидкостей (k =  при m = 1). К псевдопластичным жидкостям относятся суспензии, содержащие асимметричные частицы, и растворы полимеров. С возрастанием скорости сдвига асимметричные частицы или молекулы постепенно ориентируются своими большими осями вдоль направления потока, и при этом их кажущаяся вязкость падает (линия 3 на рис. 5.22.).

Дилатантные жидкости подобно псевдопластичным не имеют предела текучести (суспензии крахмала, клеи), но их кажущаяся вязкость растет с увеличением скорости сдвига (m>1 линия 4 на рис. 5.22.).

Ко второй группе реологически нестационарных относятся неньютоновские жидкости, у которых зависимость отизменяется от времени. Для этих жидкостей кажущаяся вязкость_k определяется не только скоростью сдвига, но и продолжительностью сдвига, т.е. предысторией жидкости. Такие жидкости делятся на два класса: тиксотропные и реопектические. У первых кажущаяся вязкость падает, а у вторых растет со временем при постоянной скорости сдвига. Такое поведение тиксотропных жидкостей объясняется постепенным разрушением структуры при деформации в условиях постоянной скорости сдвига (краски, кисломолочные продукты). Тиксотропия является обратимым свойством: после снятия напряжения структура жидкости постепенно восстанавливается. В отличие от тиксотропных реопектическим жидкостям свойственно постепенное структурообразование при сдвиге (некоторые коллоидные растворы).

К третьей группе относятся вязкоупругие, или максвеловские, жидкости, которые текут под воздействием напряжения, но после снятия напряжения частично восстанавливают свою форму подобно упругим твердым телам (некоторые смолы и пасты).

Рассмотрим в качестве примера ламинарное стационарное стабилизированное движение неньютоновских жидкостей первой группы (реологических стационарных) в цилиндрической трубе. Уравнения движения и неразрывности (5.45), (5.46), а также решение для (5.48) сохранят вид, полученный для течения ньютоновской жидкости в трубе. Для определения поля скорости необходимо в уравнение (5.48) подставлять конкретный вид связис.

Движение псевдопластических и дилатантных жидкостей. Как уже отмечалось, поток импульса за счет молекулярного механизма переноса для данного вида жидкостей может быть представлен

. (5.262)

Учитывая, что в рассматриваемом случае стабилизированного течения в трубе W_x является функцией только одной переменной r (см. 5.3), частную производную в (5.262) можно заменить полной. Тогда приравняв (5.262) и (5.48), получим

. (5.263)

Разделив переменные и проинтегрировав, найдем выражение для поля скорости W_x(r)

, (5.264)

. (5.265)

Или с учетом (5.51) для равномерного движения

. (5.266)

Максимальная скорость будет достигаться на оси трубы при :

. (5.267)

Решив совместно (5.266) и (5.267), получим

. (5.268)

В соответствии с (5.64) можно найти среднюю по сечению трубы S скорость потока:

(5.269)

Решив данное уравнение относительно гидравлического сопротивления, можно представить его в виде (5.69), где коэффициент _г будет иметь вид

. (5.270)

Нетрудно убедиться, что при m = 1 выражение (5.270) совпадет с _г для ньютоновских жидкостей. На рис. 5.23 представлены профили скорости W_x(r) при ламинарном движении в трубе ньютоновских (m = 1) 1, псевдопластичных (m < 1) 2 и дилатантных (m > 1) 3 жидкостей.

Рис. 5.23. Профили скорости различных жидкостей при ламинарном течении в цилиндрической трубе: 1 - ньютоновских; 2 - псевдопластичных; 3 – дилатантных

Движение бингамовской жидкости. Бингамовская жидкость не обладает текучестью при и характеризуется уравнением

, ;,. (5.271)

Из соотношения для (5.48) следует, что вблизи оси трубывплоть до некоторогоr = r₀, при котором . Для этой части потока, как видно из (5.271),, т.е., т.е. центральная часть потока будет двигаться как твердый стержень с постоянной скоростью(МИВ). Определимr₀ из соотношения (5.48), напомним, что dр/dx < 0, так как в направлении движения давление падает.

, . (5.272)

При , определимW_x ( r) в этой области, решив совестно (5.48) и (5.271):

, (5.273)

. (5.274)

Константу интегрирования С определим из условия прилипания жидкости к стенке трубы: W_x = 0, r = R.

, (5.275)

(5.276)

или с учетом (5.51)

. (5.277)

Соотношение (5.277) позволяет найти и скорость центральной стержнеобразной части потока при подстановкеr = r₀ из (5.272):

. (5.278)

В соответствии с (5.64) определим среднюю по сечению скорость потока:

(5.279)

Нетрудно видеть, что при выражение (5.279) совпадет с (5.66), справедливым для ньютоновских жидкостей. Решив (5.279) относительнор, можно представить его в виде (5.69), где _г будет определяться из уравнения

. (5.280)

При (5.280) преобразуется в известное соотношение для ньютоновских жидкостей. На рис. 5.24 представлен профиль скоростиW_x(r) для бингамовской жидкости.

Рис. 5.24. Профиль скорости для бингамовской жидкости при ламинарном течении в трубе