5.4.1 Ламинарный безволновой режим движения

Для определения поля скорости запишем выражение для потока импульса (1.39) с учетом уравнения неразрывности (5.112) и подставим его в решение уравнения движения (5.116):

. (5.123)

Приравняем (5.123) и (5.116)

или . (5.124)

Проинтегрируем уравнение (5.124) с граничным условием прилипания жидкости к твердой поверхности (5.126):

, (5.125)

y = 0, W_x = 0  = 0, (5.126)

. (5.127)

Из решения (5.127) следует, что скорость течения пленки возрастает от нуля на твердой поверхности до максимальной на внешней границе пленки (y = ):

. (5.128)

Найдем среднюю по поперечному сечению скорость :

, (5.129)

. (5.130)

Отношение максимальной скорости к средней при ламинарном свободном течении пленки составляет, как следует из (5.130) и (5.128), . Используя выражения для средней скорости (5.130) и критерия Рейнольдса (5.118), (5.122), можно получить соотношение для определения толщины пленки:

. (5.131)

С уменьшением линейной плотности орошения, как это следует из (5.131), толщина пленки уменьшается. При достижении некоторой минимальной величины сплошная пленка разрушается и образуются несмоченные участки твердой поверхности.

Совместное решение (5.131), (5.119) и (5.71) позволяет найти коэффициент импульсоотдачи  и гидродинамический критерий Нуссельта:

, (5.132) , (5.133)

, (5.134) . (5.135)

Соотношения (5.131) (5.135) с приемлемой для инженерных расчетов точностью можно использовать и для ламинарного волнового режима, т.е. при 3 <Re_ < 300.

5.4.2 Турбулентный режим движения

Для определения поля скорости в турбулентной пленке воспользуемся моделью пристенной турбулентности Прандтля и ходом решения, изложенным в разделе 5.3.2, посвященном течению в трубе. В вязком подслое пренебрегают турбулентным механизмом переноса, поток импульса считается равным потоку импульса на стенке, что приводит к линейной зависимости скорости W_x от поперечной координаты y:

, ,. (5.136)

Динамическая скорость для пленочного свободного течения может быть найдена из (5.78) и (5.119):

. (5.137)

В турбулентной области течения пренебрегают молекулярным механизмом переноса импульса (=0), а скорость изменяется по логарифмическому закону:

, ,, (5.138)

. (5.139)

Относительная величина потока импульса для свободно движущейся пленки с учетом (5.118) и (5.119) будет иметь вид

. (5.140)

Предполагая приближенно логарифмический профиль скорости W_x во всей пленке (5.138), можно представить аналогично (5.88):

. (5.141)

Найдем среднюю по поперечному сечению пленки скорость , используя (5.141) и (5.129):

(5.142)

Запишем выражение для потока импульса с учетом уравнения неразрывности (5.114) и проинтегрируем его по толщине пленки:

, (5.143)

. (5.144)

Выразим черезиз (5.142),– черези_с из (5.140), а интеграл (5.144) разобьем на две части: вязкий подслой и турбулентная область:

. (5.145)

Подставив _т из (5.139), _1,г из (5.85) с учетом ,W_* из (5.102) Re_ из (5.118), получим

, (5.146)

, (5.147)

. (5.148)

Решение уравнения (5.148) позволяет определить коэффициент трения Фаннинга при турбулентном течении пленки. Следующая задача найти толщину пленки. Выразим среднюю скорость , используя (5.90) и (5.117), подставим в (5.118), а затем разрешим относительно:

, (5.149)

, (5.150)

. (5.151)

Зная и , можно по соотношению (5.149) найти , а по (5.142) и (5.137) –и их отношение:

. (5.152)

Как показывают расчеты, это отношение уменьшается с увеличением Re_, так при Re_ = 600, , а приRe_ = 6000, . Используя соотношение (5.101), можно найти коэффициент импульсоотдачи , а затем и гидродинамический критерий Нуссельта:

, (5.153)

. (5.154)

Таким образом, алгоритм расчета гидродинамических характеристик турбулентной пленки может состоять в следующем: по известным массовому G или объемному расходам и смоченному периметру П_с определяются: Re_ (5.120), (5.148),  (5.151), W_* (5.137), (5.116), _c (5.117),  (5.153), (5.154), (5.149), W_x,max (5.152), W_x(y) (5.136), (5.138) или (5.141).

Данный замкнутый алгоритм получен решением уравнений движения и неразрывности с использованием модели пристенной турбулентности Прандтля. Его единственным недостатком является необходимость численного решения уравнения (5.148), устранение которого возможно при замене логарифмического профиля скорости (5.138) степенным с показателем 1/7 и величины безразмерной толщины вязкого подслоя на 12,54:

, . (5.155)

Это позволяет получить выражения для всех величин в явном виде, проделав процедуру, аналогичную (5.142) (5.154):

, (5.156)

, (5.157)

, (5.158)

, (5.159)

, (5.160)

. (5.161)