Глава 5. Гидромеханика

Объектами изучения гидромеханики являются жидкости и газы, рассматривающиеся как сплошные среды, обладающие свойством неограниченной деформируемости текучести. Зачастую, для краткости говорят лишь о жидкости, подразумевая, что газ, с точки зрения гидромеханики обладает точно такими же свойствами, за исключением сжимаемости, которой можно пренебречь при скоростях значительно меньше скорости звука.

Гидромеханику можно подразделить на гидростатику и гидродинамику. Гидростатика рассматривает равновесие среды, находящейся в состоянии покоя, относительно стенок аппарата, а гидродинамика - движение среды с учетом приложенных к ней сил. С другой стороны гидростатику можно рассматривать как частный случай гидродинамики покоящейся среды. И если основным уравнением гидродинамики является уравнение движения (2.55), то гидростатика описывается его частным случаем уравнением равновесия Эйлера (2.60). Наука, изучающая применение законов гидромеханики в инженерной практике, называется гидравликой. Данная глава не претендует на полное и детальное изложение гидромеханики. Рассматриваться будут лишь разделы, наиболее важные для понимания и описания процессов и аппаратов химической технологии.

Основная задача гидродинамики состоит в определении полей скорости, давления, потока импульса (тензора напряжений), а также коэффициентов импульсоотдачи и коэффициентов трения на основе совместного решения уравнений движения (2.55) и неразрывности (2.16). Вначале будут рассмотрены простейшие случаи, позволяющие получить строгое решение вышеуказанных дифференциальных уравнений. Для более сложных случаев будет использован метод физического моделирования. В основном рассматриваются ньютоновские жидкости, движению неньютоновских жидкостей посвящен разд. 5.7.

5.1. Гидростатика

Как уже отмечалось, гидростатику можно рассматривать в качестве частного случая гидродинамики покоящейся среды. В этом случае задача упрощается требуется отыскать лишь поле давления, т.к. для покоящейся среды скорость, поток импульса (тензор напряжений) и коэффициенты импульсоотдачи равны нулю.

В гидростатике в состояние покоя вкладываются два понятия: абсолютный покой, когда жидкость находится в состоянии покоя относительно земли, и относительный покой, когда жидкость находится в покое относительно движущегося сосуда.

5.5.1. Абсолютный покой

Уравнение равновесия Эйлера. Запишем проекции уравнения равновесия Эйлера (2.60) на оси декартовой системы координат:

(5.1)

где а_х, а_y, а_z проекции ускорения массовых сил на оси координат.

Уравнения (5.1) представляют собой общие условия равновесия жидкого тела, находящегося в состоянии покоя.

Умножая уравнения (5.1) соответственно на dx, dy, dz и складывая их, получим

_. (5.2)

Так как левая часть уравнения представляет собой полный дифференциал гидростатического давления, имеем

. (5.3)

Поверхность равного давления. Поверхностью равного давления в жидкости называется поверхность, все точки которой испытывают одинаковое давление.

Уравнение такой поверхности получается из уравнения (5.3), полагая p = const, или dp = 0. При этом из (5.3)

. (5.4)

Основное уравнение гидростатики. Рассмотрим случай, когда из массовых сил действует только сила тяжести. Принимая положительное направление оси z вертикально вверх, имеем

; ;. (5.5)

Тогда, согласно уравнению (5.1) или (5.3),

. (5.6)

Интегрируя последнее уравнение, имеем

. (5.7)

где С постоянная интегрирования.

Полученное уравнение можно, поделив на , привести к виду

. (5.8)

Для двух любых точек одного и того же объема одной и той же жидкости уравнение (5.8) получает вид

. (5.9)

Уравнение (5.9) называется основным уравнением гидростатики и выражает гидростатический закон распределения давления.

Уравнение поверхности равного давления в интегральной форме можно получить из (5.9), полагая p = const. Тогда имеем: z = const.

Следовательно, поверхности равных давлений в покоящейся однородной жидкости в случае действия из массовых сил одной силы тяжести представляют собой горизонтальные плоскости. Горизонтальной плоскостью в этом случае является и свободная поверхность жидкости, то есть поверхность контакта жидкости с газом.

Закон Паскаля. Возьмем внутри однородной жидкости две произвольные точки с отметками z₁ и z₂ относительно некоторой произвольно выбранной горизонтальной плоскости отсчета, давления в которых соответственно равны p₁ и p₂. Пусть в точке z₁ давление p₁ увеличилось на величину p. Тогда, чтобы сохранить равновесие, характеризуемое уравнением (5.9), необходимо и в правой части к давлению р прибавить ту же величину p:

.

Отсюда следует закон Паскаля, что всякое изменение давления в какой - либо одной точке покоящейся жидкости, не нарушающее ее равновесия, передается в остальные точки без изменения.

Определение давления в точке. Пусть z координата точки внутри покоящейся жидкости, в которой необходимо определить давление p; z₀ координата другой точки того же объема, давление в которой известно и равно р₀ .

По основному уравнению гидростатики (5.9)

откуда

или , (5.10)

где (z₀z) глубина погружения одной точки над другой, а если точка z₀ взята на свободной поверхности, то есть поверхности контакта жидкости с газом, то z₀z = h есть глубина погружения точки.

Давление (5.10) иногда называют абсолютным или полным гидростатическим давлением. В случае, если абсолютное давление больше атмосферного, часто используется понятие избыточного давления

p_изб = p_абс р_атм. (5.11)

Если же абсолютное давление ниже атмосферного, то вводится понятие вакуума

р_вак = р_атм р_абс. (5.12)

Сила давления на дно и стенки сосуда. Пусть H высота слоя жидкости в сосуде, р₀ внешнее давление. Полное давление в точке В: р_B = = р₀ + gH. Сила давления на дно сосуда Р_д = р_ВS_д = (р₀ + gH)S_д, где S_д площадь плоского горизонтального дна сосуда.

Примем, что сосуд имеет постоянное поперечное сечение в форме квадрата со стороной . Ранее показано, что давление в зависимости от глубины погружения рассматриваемой точки изменяется по линейному закону (5.10). Следовательно, среднее по высотер_ср давление на стенку будет

. (5.13)

Среднее давление от столба жидкости будет равно . Сила давления на прямоугольную стенку (от полного давления):

. (5.14)

Сила давления на стенку только от столба жидкости:

, (5.15)

где S_с площадь поверхности стенки, соприкасающейся с жидкостью.

Рис. 5.1. Эпюра гидростатического давления

На рис. 5.1 площадь K-M-C-N представляет собой эпюру полного давления на стенку, а площадь K-O-N эпюру давления столба жидкости.