12.8. Массоперенос в многокомпонентных системах
Основной особенностью массопереноса в многокомпонентных смесях является зависимость потока каждого компонента i от градиентов концентраций всех компонентов (2.22), что приводит к появлению матрицы коэффициентов многокомпонентной диффузии Dij, а также матриц коэффициентов массоотдачи ij и массопередачи Kij. Вывод соотношений для последних возможен лишь в матричной форме. Действия с матрицами рассматриваются в приложении П.1.5.
12.8.1. Уравнения массоотдачи
По аналогии с выводом уравнений импульсо- и теплоотдачи, а также массоотдачи в бинарных смесях, проведенном в разделе 4.1, получим уравнение массоотдачи для многокомпонентных систем. Все уравнения будут записываться в матричной форме. В соответствии с (1.31) поток вещества компонента i в направлении, перпендикулярном границе раздела фаз за счет молекулярного и турбулентного механизмов переноса, может быть представлен в виде
,
(12.229)
,
(12.230)
или
,
(12.231)
где
[гDij]
квадратная матрица размерностью
(n
1)(n
1);
[
],
[ci]
матрицы-столбцы размерности (n
1)
1.
Проекцию
потока каждого компонента на ось y
на расстоянии y
от межфазной поверхности
можно представить в виде произведения
потока через межфазную поверхность и
его относительного изменения
:
или
(12.232)
где
[
]
диагональная матрица.
Подставим (12.232) в (12.231), разделим переменные и проинтегрируем по толщине диффузионного пограничного слоя:
,
(12.233)
,
(12.234)
,
(12.235)
,
(12.236)
,
(12.237)
где
обратная матрица.
Для частного случая пленочной модели массоотдачи (раздел 12.4) достаточно просто определяется явный вид элементов матрицы коэффициентов массоотдачи:
,
,
,
(12.238)
где
единичная матрица (см. П.1.5)
12.8.2. Уравнения массопередачи
Аналогично тому, как в разделе 12.2.2 получено в локальной форме уравнение массопередачи для бинарных смесей, получим соответствующие уравнения для многокомпонентных систем. Для простоты допустим неизменность коэффициентов распределения mi, а также опустим верхний «д» и нижний «y» индексы в записи потоков:
,
(12.239)
,
(12.240)
.
(12.241)
Выразим xгi из (12.241), подставим в (12.240), разрешим уравнения (12.239), (12.240) относительно разности концентраций и сложим, а затем решим относительно потока:
,
(12.242)
,
(12.243)
,
(12.244)
,
(12.245)
,
(12.246)
,
(12.247)
.
(12.248)
В
том случае если коэффициенты распределения
mi
зависят от состава фаз и эта зависимость
для участка аппарата может считаться
линейной, то по аналогии с (12.84)–(12.86) в
уравнении массопередачи (12.248) диагональная
матрица коэффициентов распределения
[mii]
заменится на квадратную [
],
элементы которой находятся как
.
Если элементы матрицы коэффициентов массопередачи можно считать неизменными, то справедливо уравнение массопередачи в интегральной форме:
,
(12.249)
.
(12.250)
Даже
при постоянных расходах фаз и значениях
mi
величины yi,cp
каждого компонента определяются матрицей
коэффициентов массопередачи и движущими
силами по всем компонентам в верхнем и
нижнем сечениях аппарата yi,cp
= f(
,
,
,
).
Для отыскания yi,cp
необходимо использовать стандартную
процедуру диагонализации матрицы
коэффициентов массопередачи [50, 92].
В частном случае, когда концентрации распределяемых компонентов в инертных малы для каждой из фаз, что зачастую наблюдается при абсорбции или экстракции, можно считать смеси бесконечно разбавленными. Для них недиагональные элементы матрицы коэффициентов массопередачи стремятся к нулю и поток каждого распределяемого компонента будет пропорционален лишь собственной средней движущей силе, которая для модели идеального вытеснения при постоянных значениях коэффициентов распределения может быть найдена из выражения
. (12.251)
Как и в случае бинарных смесей можно использовать модифицированные уравнения массопередачи:
,
(12.252)
,
(12.253)
,
(12.254)
,
(12.255)
,
(12.256)
.
(12.257)
Кроме того, можно ввести матрицу чисел единиц переноса
,
(12.258)
,
(12.259)
.
(12.260)
По аналогии с бинарными системами общие высоты и числа единиц переноса выражаются через соответствующие фазовые (частные) величины.