10621
.pdf-90 -
2.4.Расчет на прочность
Теория и практика расчета на прочность, появившись в позапрошлом веке, продолжают развиваться и совершенствоваться вместе с механикой деформируемого тела.
С учетом гипотез, рассмотренных в параграфе 1.4, отметим только два метода расчета на прочность:
–расчет по допускаемым напряжениям;
–расчет по предельным состояниям.
Первый из них давно известен, но продолжает оставаться актуальным. Его суть заключается в сравнении напряжений в конструкции от заданной нагрузки с их предельными значениями, получаемыми с учетом диаграммы нагружения. Для ЦРС соответствующее условие прочности имеет вид:
σmax=N/F ≤ [σ], |
(2.7) |
где σmax – максимальное по модулю напряжение, N – продольная сила в опасном поперечном сечении, F – площадь этого сечения, [σ] – допускаемое напряжение материала бруса.
Последнее определяется следующим образом: для пластичных материалов: [σ] = σт /кт ; для хрупких материалов: [σ] = σпч /кпч , где кт, кпч - коэффициенты запаса прочности по отношению к пределу текучести и пределу прочности соответственно.
Эти коэффициенты создают запас прочности, который должен компенсировать возможное отрицательное влияние таких факторов, как:
–неточность выбора расчетной схемы;
–ошибки в определении величины действующей нагрузки и несоответствие условиям эксплуатации;
–неточность изготовления элементов конструкции;
–несоответствие физических характеристик материала конструкции паспортным данным и другие факторы.
Напомним, что расчет на прочность является необходимым этапом реше-
ния основной задачи СМ − проектирования конструкции. Такой проектный расчет заключается в подборе сечения по формуле, вытекающей из (2.7):
F ³ N / [σ].
Помимо него может возникнуть необходимость проверочного расчета прочности эксплуатируемой конструкции, который выполняется непосредственно по формуле (2.7), или расчета несущей способности по следующей из нее формуле:
N £ [σ]F.
- 91 -
Основным недостатком метода допускаемых напряжений является то, что с помощью одного коэффициента запаса прочности одновременно учитывается несколько различных по своей природе факторов. Это приводит к трудностям при проектировании конструкций, которые одновременно должны быть надежными и экономичными.
Метод расчета по предельным состояниям, известный также как метод частных коэффициентов и введенный в практику проектирования строительных объектов во второй половине прошлого столетия, предусматривает, как и следует из его второго названия, введение отдельных коэффициентов надежности по нагрузке, материалу, назначению, а также коэффициентов условий работы и др.
ПРИМЕЧАНИЕ. К числу конструкций, находящихся в условиях ЦРС или элементы которых испытывают этот вид НДС, относятся стойки, колонны, опоры, фермы и др. Если такие стержни обладают достаточной гибкостью, то при сжатии они могут разрушиться из-за потери устойчивости при напряжении, значительно меньшем допускаемого напряжения [σ].
- 92 -
ГЛАВА 3. ПРЯМОЙ ИЗГИБ
3.1. Внутренние усилия в балке
Рассмотрим брус в системе координат Oxyz, где начало отсчета выбрано
на его левом конце, а ось Оz совпадает с осью бруса, проходящей через центры тяжести его поперечных сечений. Загрузим брус моментами и силами, лежащими в плоскости его симметрии Oyz, причем все силы Pi будем считать перпендикулярными к его оси Oz (рис.3.1а). Изгиб при указанных предпосылках называется прямым.
В дальнейшем под балкой будем понимать брус в условиях прямого изги-
ба.
Рассмотрим поперечный изгиб такой балки. Для внутренних усилий в ее сечении (рис.3.1б) можно дать простое и удобное на практике определение, которое в отличие от приведенного в параграфе 1.6, не связано с системой координат.
Поперечная сила Qу=Q в сечении балки равна сумме проекций на нормаль к ее оси всех сил, взятых по одну сторону от сечения, которое делит балку на две части.
Изгибающий момент Мх=М в сечении балки равен сумме моментов всех сил, взятых по одну сторону от сечения и вычисленных относительно точки, где сечение пересекает ось балки.
- 93 -
Правило знаков – в соответствии с рис.3.1в, где показаны положительные значения Q и M для частей балки, расположенных по обе стороны от проверенного сечения.
ПРИМЕЧАНИЯ:
1.Отметим, что Q > 0 соответствует вращению отсеченной части балки по ходу часовой стрелки.
2.Очевидно, что вычисление Q и M в сечении заданной двухопорной балки на расстоянии z от ее левого конца (рис.3.1б) не отличается от определения опорных реакций в консольной балке соответствующей длины. При этом последняя балка защемлена на правом конце и загружена всеми силами, взятыми слева от рассматриваемого сечения заданной балки. Аналогичное замечание справедливо для части балки справа от сечения (рис.3.1в).
3.В сечении, проведенном на расстоянии z от левого конца балки, Q = Q(z) и М =
=М(z), причем абсциссы z и |
~ |
связаны зависимостью: |
~ |
= l − z . |
z |
z |
3.2. Теорема Журавского
Рассмотрим участок балки длиной dz, заключенный между сечениями с абсциссами z и z + dz и загруженный распределенной нагрузкой с интенсивностью q(z). Слева на него действуют внутренние усилия Q(z)=Q и М(z)=M, спра-
ва – Q(z+dz)=Q+dQ и М(z+dz)=M+dM (рис.3.2).
Составим уравнения равновесия выделенного элемента, считая, что в его пределах распределенная нагрузка постоянна: q(z) = q.
Первое из уравнений:
∑Yi = 0 ; Q + q × dz - (Q + dQ ) = 0
приводит к соотношению:
q = dQ/dz |
(3.1) |
Из второго уравнения равновесия:
∑ Мс = 0 ; -М -Q×dz-q×dz×dz/ 2 +(M +dM) = 0,
пренебрегая бесконечно малыми второго порядка, получим еще одну зависимость:
Q = dМ/dz |
(3.2) |
Таким образом, функции q(z), Q(z) и |
M (z) связаны соотношениями |
(3.1) и (3.2), которые и составляют суть теоремы и называются дифференциаль-
ными зависимостями Журавского.
ПРИМЕЧАНИЕ. Для |
~ |
= l − z |
~ |
и |
z |
эти зависимости примут вид: q = −dQ / dz |
|||
Q = −dM / dz соответственно. |
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
-94 -
3.3.Построение эпюр Q и M
Под эпюрой в СМ понимают график изучаемой величины, ординаты которого откладывают в направлении нормали к оси эпюры.
Последняя может совпадать с осью стержня, быть параллельной ей, либо представлять собой иную линию, полученную пересечением связанных с конструкцией поверхностей и плоскостей. При этом у арки или криволинейного стержня ось эпюры также может быть криволинейной – в отличие от оси Ох при построении обычных графиков функций.
Эпюры Q и М позволяют наглядно представить наиболее напряженные участки балки. Рассмотрим, например, эти эпюры для простой двухопорной балки (рис.3.3). Нетрудно догадаться, что опасным будет сечение в середине балки, где М(z) принимает максимальное значение.
При построении эпюр Q и М целесообразно придерживаться определенной последовательности.
Порядок построения эпюр Q и М
1.Определяем опорные реакции.
2.Делим балку на участки, границами которых являются: - начало и конец балки,
- точки приложения сосредоточенных сил Рi и моментов Mi, - границы участков распределенной нагрузки.
-95 -
3.В пределах каждого участка балки проводим сечение на расстоянии zi
от левого, или zi – |
от правого конца. Вычисляем Q и М как функции zi или zi , |
~ |
~ |
рассматривая условия равновесия соответствующей части балки слева или справа от сечения.
4.Строим эпюру Q, откладывая положительные значения вверх от оси эпюры, т.е. в направлении оси Оу и – эпюру М, откладывая положительные значения вниз от оси эпюры, т.е. на нижних волокнах балки.
5.Контроль правильности решения.
Остановимся подробнее на этом последнем и самом важном этапе реше-
ния.
Проверка правильности построения эпюр
Из формул (3.1) и (3.2) следует:
1.На незагруженных участках балки (q = 0) эпюра Q – постоянна, а М – линейна.
2.На участках, загруженных равномерно распределенной нагрузкой (q =
=const), – а мы будем рассматривать только такую, – эпюра Q представляет собой прямую линию, а М – параболу, обращенную выпуклостью в сторону действия нагрузки (правило «парусности эпюры»).
3.В точках приложения сосредоточенных сил Рi эпюра Q имеет скачок на величину приложенной силы, а эпюра М – точку излома в сторону действия си-
лы.
В точках приложения сосредоточенных моментов Мi эпюра М имеет скачок на величину приложенного момента. (На эпюре Q это никак не отражается).
В частности, на концах балки значения Q и М будут равны соответственно – сосредоточенным силам и моментам, приложенным там (активным или реактивным).
4.На участке, где эпюра М нисходящая (возрастает), – Q > 0, если эпю-
ра М – восходящая, – Q < 0.
5.Изгибающий момент может достигать максимального по модулю зна-
чения:
- на границах участков; - в точках, где Q = 0;
- в точках приложения сосредоточенных сил, где эпюра Q имеет скачок со сменой знака.
ПРИМЕЧАНИЯ:
1. Для вычисления Q и М в каком-либо сечении балки удобнее рассматривать равновесие той части балки, к которой приложено меньше сил. Например, при построении эпюр, приведенных на рис.3.3, на первом участке ( 0 ≤ z < l / 2) из условия равновесия левой части (рис.3.1б, в) получим:
∑Y =0; RA + Q(z) = 0; Q(z) = P / 2 ;
∑ Мс = 0; - RA×z + M(z) = 0; M(z) = Pz/2.
- 96 -
Тот же результат можно получить, рассматривая на этом участке |
~ |
≤ l) равно- |
(l / 2 < z |
весие части балки, которая расположена справа от сечения:
∑Y =0; |
|
~ |
− P + RB |
~ |
|
|
|
|
|
Q(z ) |
= 0; Q(z ) = P / 2 ; |
|
|
|
|
||||
∑Мс = |
0; |
|
~ |
~ |
~ |
~ |
~ |
~ |
= Pz / 2 . |
RB z |
− P(z |
− l / 2) − M (z ) = 0; |
M (z ) = Pl / 2 |
− Pz / 2 |
= P(l − z ) / 2 |
2. На границе участков функции Q(z) и М(z) могут иметь точки разрыва. Например, в рассмотренном примере (рис.3.3), значения Q(z) слева и справа от сечения z = l/2 соответст-
венно равны: Q(l / 2)− = P / 2 и Q(l / 2)+ = −P / 2 . Вопрос о том, чему равняется эта функция
непосредственно в точке z = l/2, не имеет практического значения. Поэтому в качестве характерных точек, где вычисляются необходимые для построения эпюр значения функции, на каждом участке можно брать его границы, добавляя к ним – в случае распределенной нагрузки – точку в середине участка или точку, где Q = 0.
3.При построении эпюр в консольных балках можно не определять опорные реакции, если рассматривать равновесие части балки, не содержащей опору.
4.При рассмотренном правиле построения эпюры М она будет расположена на рас-
тянутых волокнах балки.
3.4.Примеры построения эпюр
Переходя к рассмотрению примеров, отметим, что, помимо изложенного выше метода построения эпюр, существуют и другие методы, однако разница между ними невелика и все они базируются на приведенном в параграфе 3.1 определении Q и М. Поэтому при решении этих задач надо помнить о следующем:
-значения Q и М в любом сечении балки можно вычислить просто в соответствии с этим определением;
-верное решение в общем случае можно получить только при условии правильного определения опорных реакций, для которых рекомендуется указывать их истинное направление;
-заключительным и самым важным этапом решения задачи является контроль правильности построения эпюр, рассмотренный в параграфе 3.3. Во многих случаях решение задач можно упростить, если воспользовать-
ся рассмотренным в параграфе 1.4 принципом суперпозиции, в соответствии с которым эпюры Q и М от заданной нагрузки можно найти как суммы соответствующих эпюр от каждой нагрузки в отдельности. При реализации этого метода полезно знать решения для простых двухопорных и консольных балок, загруженных сосредоточенными силами, моментами и распределенной нагрузкой − подобных рассмотренным на рис. 3.3.
Пример 3.1. Построить эпюры Q и М (рис.3.4а).
Решение. Балка состоит только из одного участка, границы которого совпадают с ее естественными границами.
Опорные реакции можно не определять, если рассматривать равновесие части балки, расположенной справа от сечения, проведенного на расстоянии ~z от ее свободного правого конца (рис.3.4б):
- 97 -
|
|
~ |
~ |
= 0 ; |
~ ~ |
|
|
∑Yi = 0 ; Q( z ) - q × z |
Q(z ) = qz ; |
|
|||||
∑ Мс = |
0 |
|
~ |
~ ~ |
~ |
~2 |
/ 2 . |
; M(z) -q×z ×z 2 |
=0; M (z ) |
= −qz |
(а)
(б)
Строим эпюры Q и М по зависимостям (а) и (б), контролируя правильность решения задачи:
– на загруженном участке балки |
~ |
парабо- |
|
M (z ) – |
|||
~ |
линейная функция; |
|
|
ла, Q(z ) – |
|
|
– зависимости Журавского принимают вид:
~ |
~ |
~ |
= −q ; |
dM / dz |
= −qz |
= −Q ; dQ / dz |
–нисходящая (слева − направо!) эпюра М соответствует положительным значениям Q;
–на левом конце балки эпюры Q и М имеют скачки на величину соответственно опорной ре-
акции RA= ql и реактивного момента МA = ql2/2, где знаки последних соответствуют правилу ТМ
(рис.3.4).
Отметим, что
МАТМ = ql2/2, МАСМ = – ql2/2. |
∙ |
Как видим, опорные реакции можно найти не только из уравнений равновесия балки, но и с помощью построенных эпюр.
Пример 3.2. Построить эпюры Q и М
(рис.3.5а).
Решение. В соответствии с планом, приведенным в параграфе 3.3:
1) Находим опорные реакции из условий
равновесия балки (рис.3.5б):
∑МА = 0; - q × 2 ×1 - M + RB × 4 = 0; RB = 1,5 кН; ∑МВ = 0; –R A × 4 + q × 2 ×3 - M = 0 ; RA = 2,5 кН.
Проверка:
∑Y = RA – q × 2 + RB = 2, 5– 2 × 2 +1, 5 = 0.
2) Делим балку на участки: |
|
|
|
||
– |
первый участок: 0 ≤ z1 |
< 2 ; |
~ |
|
|
– |
второй участок: 2 £ z2 |
£ 4 |
£ 2 ). |
||
(или 0 £ z2 |
-98 -
3)Определяем Q и М, рассматривая равновесие части балки слева от сечения – на первом и справа от сечения – на втором участке (ри с.3.5в).
|
|
|
|
|
|
- 99 - |
|
|
|
|
3.1) Первый участок |
|
Q ( z1 ) = 2,5 − 2 z1 ; |
|
|||
|
∑Y = 0 ; RA – qz1 − Q(z1 ) = 0; |
(а) |
||||||
|
∑ Мс |
= 0 ; –R Az1+ qz12 / 2 + M (z1 ) = 0 ; |
M (z1 ) = 2,5z1 − z12 . |
(б) |
||||
|
Для построения Q вычисляем ее значения на границе участка: |
|
||||||
|
Q(0) = 2,5; Q(2) = −1,5 . |
|
|
|
|
|
(в) |
|
|
Поскольку функция Q(z) |
меняет |
знак, находим корень |
уравнения |
||||
Q(z |
) = 0 : z* = 1,25 . |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Для построения эпюры M ( z1 ) , представляющей собой параболу, вычис- |
|||||||
ляем ее значения в трех точках: |
M (2) = М(2)− = 1 . |
|
||||||
|
M (0) = 0 ; M (1,25) = 1,56 ; |
(г) |
||||||
|
|
3.2) Второй участок |
~ |
|
|
|
||
|
|
~ |
|
|
|
|
(д) |
|
|
∑Y = 0 ; Q(z2 ) + RB=0; |
|
Q(z2 ) = − RB= −1,5 |
|||||
|
∑ Мс |
~ |
~ |
= 0; |
~ |
~ |
(е) |
|
|
= 0 ; − M (z2 ) + RB z2 |
M (z2 ) = 1,5z2 ; |
||||||
|
M (0) = 0 ; M (2) = 3 . |
|
|
|
|
|
(ж) |
4)Строим эпюры Q и М по вычисленным значениям (в), (г) и (ж).
5)Проверяем правильность построения эпюр:
– зависимости Журавского на первом участке – из (а) и (б):
dM (z1 ) / dz1 = 2,5 − 2z = Q(z1 ) ;
– то же на втором участке – из (д) и (е):
~ ~ |
~ |
dM (z2 ) / dz2 |
= 1,5 = Q(z2 ) ; |
–нисходящему участку эпюры М ( 0 ≤ z1 < z1* ) соответствует Q > 0 ;
–эпюра Q на концах балки имеет скачки на величину RA и RB соответственно, у эпюры М − скачок в точке приложения сосредоточенного момента.
Отметим, что максимальное значение изгибающего момента: Мmax = = max(1,56; 3) = 3кНм достигается на границе участка. ∙
Пример 3.3. Построить эпюры Q и М методом суперпозиции (рис.3.6а). Решение. Суть этого метода – в том, чтобы вместо одной сложной задачи
решить три (в данном примере), но простых.
На трех участках из четырех эпюра М от заданной нагрузки будет линейной, поэтому ограничимся построением только этой эпюры. Будем искать ее в виде суммы: , где слагаемые представляют собой эпюры мо-
ментов от загружения заданной балки соответственно – q, p и М, и для их по-
строения можно воспользоваться полученными ранее решениями.
Эпюра Mq на первом участке заданной балки: 0 ≤ z < 2 симметрична эпюре, приведенной на рис. 3.4, причем Mq(2) = – ql 2/2 = – 2кНм. На последнем участке ( 6 ≤ z ≤ 8 ) по определению Мq = 0 , а на незагруженном участке между
опорами А и В она изменяется по линейному закону.
Аналогично, не определяя опорных реакций, можно построить эпюру Mp на основе эпюры, приведенной на рис.3.3. Эпюра M M строится аналогично М q .