10620

-90 -

2.4.Расчет на прочность

Теория и практика расчета на прочность, появившись в позапрошлом веке, продолжают развиваться и совершенствоваться вместе с механикой деформируемого тела.

С учетом гипотез, рассмотренных в параграфе 1.4, отметим только два метода расчета на прочность:

–расчет по допускаемым напряжениям;

–расчет по предельным состояниям.

Первый из них давно известен, но продолжает оставаться актуальным. Его суть заключается в сравнении напряжений в конструкции от заданной нагрузки с их предельными значениями, получаемыми с учетом диаграммы нагружения. Для ЦРС соответствующее условие прочности имеет вид:

где σmax – максимальное по модулю напряжение, N – продольная сила в опасном поперечном сечении, F – площадь этого сечения, [σ] – допускаемое напряжение материала бруса.

Последнее определяется следующим образом: для пластичных материалов: [σ] = σт /кт ; для хрупких материалов: [σ] = σпч /кпч , где кт, кпч - коэффициенты запаса прочности по отношению к пределу текучести и пределу прочности соответственно.

Эти коэффициенты создают запас прочности, который должен компенсировать возможное отрицательное влияние таких факторов, как:

–неточность выбора расчетной схемы;

–ошибки в определении величины действующей нагрузки и несоответствие условиям эксплуатации;

–неточность изготовления элементов конструкции;

–несоответствие физических характеристик материала конструкции паспортным данным и другие факторы.

Напомним, что расчет на прочность является необходимым этапом реше-

ния основной задачи СМ − проектирования конструкции. Такой проектный расчет заключается в подборе сечения по формуле, вытекающей из (2.7):

F ³ N / [σ].

Помимо него может возникнуть необходимость проверочного расчета прочности эксплуатируемой конструкции, который выполняется непосредственно по формуле (2.7), или расчета несущей способности по следующей из нее формуле:

N £ [σ]F.

- 91 -

Основным недостатком метода допускаемых напряжений является то, что с помощью одного коэффициента запаса прочности одновременно учитывается несколько различных по своей природе факторов. Это приводит к трудностям при проектировании конструкций, которые одновременно должны быть надежными и экономичными.

Метод расчета по предельным состояниям, известный также как метод частных коэффициентов и введенный в практику проектирования строительных объектов во второй половине прошлого столетия, предусматривает, как и следует из его второго названия, введение отдельных коэффициентов надежности по нагрузке, материалу, назначению, а также коэффициентов условий работы и др.

ПРИМЕЧАНИЕ. К числу конструкций, находящихся в условиях ЦРС или элементы которых испытывают этот вид НДС, относятся стойки, колонны, опоры, фермы и др. Если такие стержни обладают достаточной гибкостью, то при сжатии они могут разрушиться из-за потери устойчивости при напряжении, значительно меньшем допускаемого напряжения [σ].

- 92 -

ГЛАВА 3. ПРЯМОЙ ИЗГИБ

3.1. Внутренние усилия в балке

Рассмотрим брус в системе координат Oxyz, где начало отсчета выбрано

на его левом конце, а ось Оz совпадает с осью бруса, проходящей через центры тяжести его поперечных сечений. Загрузим брус моментами и силами, лежащими в плоскости его симметрии Oyz, причем все силы Pi будем считать перпендикулярными к его оси Oz (рис.3.1а). Изгиб при указанных предпосылках называется прямым.

В дальнейшем под балкой будем понимать брус в условиях прямого изги-

ба.

Рассмотрим поперечный изгиб такой балки. Для внутренних усилий в ее сечении (рис.3.1б) можно дать простое и удобное на практике определение, которое в отличие от приведенного в параграфе 1.6, не связано с системой координат.

Поперечная сила Qу=Q в сечении балки равна сумме проекций на нормаль к ее оси всех сил, взятых по одну сторону от сечения, которое делит балку на две части.

Изгибающий момент Мх=М в сечении балки равен сумме моментов всех сил, взятых по одну сторону от сечения и вычисленных относительно точки, где сечение пересекает ось балки.

- 93 -

Правило знаков – в соответствии с рис.3.1в, где показаны положительные значения Q и M для частей балки, расположенных по обе стороны от проверенного сечения.

ПРИМЕЧАНИЯ:

1.Отметим, что Q > 0 соответствует вращению отсеченной части балки по ходу часовой стрелки.

2.Очевидно, что вычисление Q и M в сечении заданной двухопорной балки на расстоянии z от ее левого конца (рис.3.1б) не отличается от определения опорных реакций в консольной балке соответствующей длины. При этом последняя балка защемлена на правом конце и загружена всеми силами, взятыми слева от рассматриваемого сечения заданной балки. Аналогичное замечание справедливо для части балки справа от сечения (рис.3.1в).

3.В сечении, проведенном на расстоянии z от левого конца балки, Q = Q(z) и М =

3.2. Теорема Журавского

Рассмотрим участок балки длиной dz, заключенный между сечениями с абсциссами z и z + dz и загруженный распределенной нагрузкой с интенсивностью q(z). Слева на него действуют внутренние усилия Q(z)=Q и М(z)=M, спра-

ва – Q(z+dz)=Q+dQ и М(z+dz)=M+dM (рис.3.2).

Составим уравнения равновесия выделенного элемента, считая, что в его пределах распределенная нагрузка постоянна: q(z) = q.

Первое из уравнений:

∑Yi = 0 ; Q + q × dz - (Q + dQ ) = 0

приводит к соотношению:

Из второго уравнения равновесия:

∑ Мс = 0 ; -М -Q×dz-q×dz×dz/ 2 +(M +dM) = 0,

пренебрегая бесконечно малыми второго порядка, получим еще одну зависимость:

(3.1) и (3.2), которые и составляют суть теоремы и называются дифференциаль-

ными зависимостями Журавского.

-94 -

3.3.Построение эпюр Q и M

Под эпюрой в СМ понимают график изучаемой величины, ординаты которого откладывают в направлении нормали к оси эпюры.

Последняя может совпадать с осью стержня, быть параллельной ей, либо представлять собой иную линию, полученную пересечением связанных с конструкцией поверхностей и плоскостей. При этом у арки или криволинейного стержня ось эпюры также может быть криволинейной – в отличие от оси Ох при построении обычных графиков функций.

Эпюры Q и М позволяют наглядно представить наиболее напряженные участки балки. Рассмотрим, например, эти эпюры для простой двухопорной балки (рис.3.3). Нетрудно догадаться, что опасным будет сечение в середине балки, где М(z) принимает максимальное значение.

При построении эпюр Q и М целесообразно придерживаться определенной последовательности.

Порядок построения эпюр Q и М

1.Определяем опорные реакции.

2.Делим балку на участки, границами которых являются: - начало и конец балки,

- точки приложения сосредоточенных сил Рi и моментов Mi, - границы участков распределенной нагрузки.

-95 -

3.В пределах каждого участка балки проводим сечение на расстоянии zi

рассматривая условия равновесия соответствующей части балки слева или справа от сечения.

4.Строим эпюру Q, откладывая положительные значения вверх от оси эпюры, т.е. в направлении оси Оу и – эпюру М, откладывая положительные значения вниз от оси эпюры, т.е. на нижних волокнах балки.

5.Контроль правильности решения.

Остановимся подробнее на этом последнем и самом важном этапе реше-

ния.

Проверка правильности построения эпюр

Из формул (3.1) и (3.2) следует:

1.На незагруженных участках балки (q = 0) эпюра Q – постоянна, а М – линейна.

2.На участках, загруженных равномерно распределенной нагрузкой (q =

=const), – а мы будем рассматривать только такую, – эпюра Q представляет собой прямую линию, а М – параболу, обращенную выпуклостью в сторону действия нагрузки (правило «парусности эпюры»).

3.В точках приложения сосредоточенных сил Рi эпюра Q имеет скачок на величину приложенной силы, а эпюра М – точку излома в сторону действия си-

лы.

В точках приложения сосредоточенных моментов Мi эпюра М имеет скачок на величину приложенного момента. (На эпюре Q это никак не отражается).

В частности, на концах балки значения Q и М будут равны соответственно – сосредоточенным силам и моментам, приложенным там (активным или реактивным).

4.На участке, где эпюра М нисходящая (возрастает), – Q > 0, если эпю-

ра М – восходящая, – Q < 0.

5.Изгибающий момент может достигать максимального по модулю зна-

чения:

- на границах участков; - в точках, где Q = 0;

- в точках приложения сосредоточенных сил, где эпюра Q имеет скачок со сменой знака.

ПРИМЕЧАНИЯ:

1. Для вычисления Q и М в каком-либо сечении балки удобнее рассматривать равновесие той части балки, к которой приложено меньше сил. Например, при построении эпюр, приведенных на рис.3.3, на первом участке ( 0 ≤ z < l / 2) из условия равновесия левой части (рис.3.1б, в) получим:

∑Y =0; RA + Q(z) = 0; Q(z) = P / 2 ;

∑ Мс = 0; - RA×z + M(z) = 0; M(z) = Pz/2.

- 96 -

весие части балки, которая расположена справа от сечения:

2. На границе участков функции Q(z) и М(z) могут иметь точки разрыва. Например, в рассмотренном примере (рис.3.3), значения Q(z) слева и справа от сечения z = l/2 соответст-

венно равны: Q(l / 2)− = P / 2 и Q(l / 2)+ = −P / 2 . Вопрос о том, чему равняется эта функция

непосредственно в точке z = l/2, не имеет практического значения. Поэтому в качестве характерных точек, где вычисляются необходимые для построения эпюр значения функции, на каждом участке можно брать его границы, добавляя к ним – в случае распределенной нагрузки – точку в середине участка или точку, где Q = 0.

3.При построении эпюр в консольных балках можно не определять опорные реакции, если рассматривать равновесие части балки, не содержащей опору.

4.При рассмотренном правиле построения эпюры М она будет расположена на рас-

тянутых волокнах балки.

3.4.Примеры построения эпюр

Переходя к рассмотрению примеров, отметим, что, помимо изложенного выше метода построения эпюр, существуют и другие методы, однако разница между ними невелика и все они базируются на приведенном в параграфе 3.1 определении Q и М. Поэтому при решении этих задач надо помнить о следующем:

-значения Q и М в любом сечении балки можно вычислить просто в соответствии с этим определением;

-верное решение в общем случае можно получить только при условии правильного определения опорных реакций, для которых рекомендуется указывать их истинное направление;

-заключительным и самым важным этапом решения задачи является контроль правильности построения эпюр, рассмотренный в параграфе 3.3. Во многих случаях решение задач можно упростить, если воспользовать-

ся рассмотренным в параграфе 1.4 принципом суперпозиции, в соответствии с которым эпюры Q и М от заданной нагрузки можно найти как суммы соответствующих эпюр от каждой нагрузки в отдельности. При реализации этого метода полезно знать решения для простых двухопорных и консольных балок, загруженных сосредоточенными силами, моментами и распределенной нагрузкой − подобных рассмотренным на рис. 3.3.

Пример 3.1. Построить эпюры Q и М (рис.3.4а).

Решение. Балка состоит только из одного участка, границы которого совпадают с ее естественными границами.

Опорные реакции можно не определять, если рассматривать равновесие части балки, расположенной справа от сечения, проведенного на расстоянии ~z от ее свободного правого конца (рис.3.4б):

-98 -

3)Определяем Q и М, рассматривая равновесие части балки слева от сечения – на первом и справа от сечения – на втором участке (ри с.3.5в).

4)Строим эпюры Q и М по вычисленным значениям (в), (г) и (ж).

5)Проверяем правильность построения эпюр:

– зависимости Журавского на первом участке – из (а) и (б):

dM (z1 ) / dz1 = 2,5 − 2z = Q(z1 ) ;

– то же на втором участке – из (д) и (е):

–нисходящему участку эпюры М ( 0 ≤ z1 < z1* ) соответствует Q > 0 ;

–эпюра Q на концах балки имеет скачки на величину RA и RB соответственно, у эпюры М − скачок в точке приложения сосредоточенного момента.

Отметим, что максимальное значение изгибающего момента: Мmax = = max(1,56; 3) = 3кНм достигается на границе участка. ∙

Пример 3.3. Построить эпюры Q и М методом суперпозиции (рис.3.6а). Решение. Суть этого метода – в том, чтобы вместо одной сложной задачи

решить три (в данном примере), но простых.

На трех участках из четырех эпюра М от заданной нагрузки будет линейной, поэтому ограничимся построением только этой эпюры. Будем искать ее в виде суммы: , где слагаемые представляют собой эпюры мо-

ментов от загружения заданной балки соответственно – q, p и М, и для их по-

строения можно воспользоваться полученными ранее решениями.

Эпюра Mq на первом участке заданной балки: 0 ≤ z < 2 симметрична эпюре, приведенной на рис. 3.4, причем Mq(2) = – ql 2/2 = – 2кНм. На последнем участке ( 6 ≤ z ≤ 8 ) по определению Мq = 0 , а на незагруженном участке между

опорами А и В она изменяется по линейному закону.

Аналогично, не определяя опорных реакций, можно построить эпюру Mp на основе эпюры, приведенной на рис.3.3. Эпюра M M строится аналогично М q .