10520
.pdf
80
Рисунок 9. Удельное перемещение точек к определению матрицы податливости системы
на изгибные колебания.
Уравнение матрицы удельных перемещений имеет вид:
|
1 |
11 12 |
13 |
|
||
{ } = |
( 21 |
22 |
23) |
(2.14) |
||
|
||||||
|
|
31 |
32 |
33 |
|
|
|
|
|
||||
Определение эквивалентной жесткости
Для определения эквивалентной жесткости здания без учета податливости основания, была построена конечно-элементная модель рассматриваемого двенадцатиэтажного здания в ПВК «SCAD Office».
Результаты статического расчета от единичной нагрузки, приложенной в
81
направлении оси У, проходящей через центр жесткости, представлена на
рис.10.
Рис. 10. Горизонтальные перемещение точек здания, от приложенной единичной силы,
для определения эквивалентной жесткости здания без учета податливости основания.
Для определения эквивалентной жесткости здания с учетом податливости основания была построена конечно-элементная модель здания,
представленная на рис.1 (б).
В качестве опорных связей под пластинчатыми конечными элементами фундамента заданы характеристики упругого основания. Статический линейный расчет выполнен в ПВК SCAD Office. Результаты расчета по определению горизонтального перемещения верхней точки здания от единичной нагрузки представлены на рис.11.
82
Рис.11. Горизонтальные перемещение точек здания, от приложенной единичной
силы, для определения эквивалентной жесткости здания с учетом податливости основания
Согласно полученным перемещениям верхней точки здания от единичной нагрузки, проходящей через центр жесткости здания и приложенной по направлению оси X, найдем эквивалентную жесткость по формуле (2.13):
Модель здания без учета податливости основания –
|
|
|
∙ 3 |
|
1 кН ∙ 363 |
м |
|
|
|
|
= |
|
зд |
= |
|
|
= 777600000 кН ∙ м2 = 7,78 ∙ 108 кН ∙ м2 |
|
|
|
|
|
||||
экв |
|
3 ∙ |
1 |
|
3 ∙ 0,02 ∙ 10−3 |
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
Модель здания с учетом податливости основания равна – |
|||||||
|
|
|
∙ 3 |
|
1 кН ∙ 363 |
м |
|
|
|
|
= |
|
зд |
= |
|
|
= 194400000 кН ∙ м2 = 1,94 ∙ 108 кН ∙ м2 |
|
|
|
|
|
||||
экв |
|
3 ∙ |
1 |
|
3 ∙ 0,08 ∙ 10−3 |
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Определение собственной частоты изгибных колебаний |
|||||
|
Зная эквивалентную жесткость здания преобразуем матрицу |
|||||||
перемещений-частот W. |
|
|
||||||
|
Результаты |
расчета по |
определению первой собственной частоты |
|||||
поступательных форм колебания без учета податливости основания приложения В1 (таблицы В1.1-В1.6).
Результаты расчета по определению первой собственной частоты поступательных форм колебания с учета податливости основания приложения В3 (таблицы В3.1-В3.6).
83
Расчет частоты определяем методом подбора в ПВК Excel Office.
Значения главной диагонали матрицы W зависят от текущего значения частоты , которое можно изменять. Определитель матрицы восстанавливается автоматически. Расчет частоты представлен в приложении В1.
Несмотря на то, что при не значительном изменении частоты ω, значение определителя det(W) матрицы очень сильно меняется, все же удалось определить значение первой собственной частоты поступательных форм колебания здания.
Первая собственная частота поступательных форм колебания здания без учета упругого основания, равна ωП = 5,29654 с-1.
Согласно расчету, значение первой собственной частоты поступательных форм колебания с учетом податливости основания равно ωП = 2,64828 с-1.
В дальнейших расчетах допускается принимать значение собственной частоты изгибных форм колебаний ωП = 5,30 с-1 и ωП = 2,65 с-1 соответственно.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 4
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОРМ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
Рассмотрим процесс определения форм собственных колебаний на примере системы с двумя степенями свободы (рис.4.3). Жесткости всех стержней EJ=104 кНм2, масса М=2т. Для определения удельных перемещений строим эпюры моментов от единичных сил, определяющих степени свободы системы (рис.4.3).
84
Рис.4.3
Эпюры моментов от единичных сил
11 = |
1 |
|
|
1 |
4 2 |
2 |
4 + |
|
1 |
|
|
1 |
4 4 |
2 |
4 = |
32 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
12 = |
1 |
|
|
1 |
4 2 |
|
2 |
|
|
5 = |
13,33 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
22 = |
1 |
|
1 |
5 2 |
2 |
|
|
5 + |
1 |
|
|
1 |
|
2 2 |
2 |
|
5 = |
58,33 |
||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Уравнение частот принимает вид:
|
|
32 |
2 |
|
1 |
|
|
13.33 |
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
EJ |
2 |
|
|
|
EJ |
|
|
|
|
||||||||
detW |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||||
|
13.33 |
|
|
|
|
58,33 |
|
|
|
1 |
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
EJ |
|
|
EJ |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В результате раскрытия определителя получаем 1=8,85 сек-1, 2= 13,75 сек-1. Принимая коэффициент формы в направлении первой степени свободы при первой частоте 11 = 1, определяем коэффициент формы в направлении второй
|
|
|
|
11 |
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
степени свободы: 21 |
= − |
|
|
|
|
1 |
|
= 2,39. |
|
|
|
|
2 21 |
1 12 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
Проверка значения – по формуле = − |
|
= 2,39. |
||||||||||
|
|
1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
2 22− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||
Строим первую форму собственных колебаний (рис.4.4), откладывая в масштабе амплитудные значения колебаний – для направления первой степени свободы - 11 = 1, для направления второй степени свободы - 21 = 2,39. Представляем отклоненные положения рамы.
85
Рис.4.4 Первая форма собственных колебаний
Аналогично для частоты 2 находим 22 = −0.42. Строим вторую форму собственных колебаний (рис.4.5).
Рис.4.5.
Вторая форма собственных колебаний
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 5
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРВОЙ СОБСТВЕННОЙ ЧАСТОТЫ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ ЗДАНИЯ
При определении частот и форм крутильных колебаний, необходимо преобразовать систему уравнений (1), заменив обобщенные координаты и обобщенные силы на угловые. Тогда система (1) примет вид:
1 ( 1 11 − КР2 ) 1 + 2 12 2 + + 1 = 0
11 21 1 + ( 2 22 − КР2 ) 2 + + 2 = 0 (3)
… … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
1 { 1 1 1 + 2 2 2 + + ( − КР2 ) = 0
где – удельное угловое перемещение (рад) точки сосредоточения i-ой массы , от единичного крутящего момента, приложенного в точке
86
сосредоточения j-той массы (определяется с помощью пространственной расчетной модели, рис.3 цв. вклейки);
КР- частота собственных крутильных колебаний системы;
– физический момент инерции перекрытия относительно центра жесткости, определяемый как:
|
= |
∙ 2 |
(4) |
|
|
|
|
2 − квадрат эксцентриситета между центром масс и центром жесткости здания, в результате которого возникают кручение системы, определяемый согласно рис.4,б.
Результаты расчета крутильных колебаний системы приведены в таблице 2.
Таблица 1. Динамические характеристики и формы поступательных колебаний
здания
|
|
Круговая |
Период, |
Частота, |
Коэффициенты |
Форма |
|
|
частота, |
формы, |
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ1=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ2=0,88391 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ3=0,76849 |
|
основанием |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ6=0,43639 |
|
|
|
|
|
|
|
φ4=0,65441 |
|
|
|
|
|
|
φ5=0,54318 |
|
жесткимс |
|
5,25 |
1,158 |
0,836 |
|
|
|
φ8=0,24418 |
|
||||
|
|
φ7=0,33599 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Здание |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ9=0,18171 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ10=0,09583 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ11=0,04432 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ12=0,01140 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Зданиес |
упругим |
|
|
|
φ1=1 |
|
2,63 |
2,391 |
0,418 |
|
|
||
|
|
|
|
|
φ2=0,88396 |
|
|
|
|
|
|
|
|
87
φ3=0,76852
φ4=0,65444
φ5=0,54320
φ6=0,43641
φ7=0,33601
φ8=0,24419
φ9=0,18172
φ10=0,09583
φ11=0,04432
φ12=0,01265
На основании полученных первых поступательных и крутильных частот собственных колебаний многоэтажного каркасного здания значение общей круговая частота собственных изгибно-крутильных колебаний здания,
учитывающая совместно частоты поступательных и крутильных форм колебания здания, описываются системой уравнений [11]:
{ |
̈( ) + ( ) + ( ) = 0 |
(5) |
̈ |
||
|
( ) + ( ) + ( ) = 0 |
|
G - суммарная сдвиговая жесткость поперечных несущих конструкций; b –сила, которую нужно приложить к перекрытию в ее центр масс, чтобы
предотвратить поступательное смещение при единичных поворотах; y( ) – линейное перемещение перекрытия;
̈( ) – ускорение; θ( ) – угол поворота;
̈( )– угловое ускорение.
Таблица 2. Динамические характеристики и формы крутильных колебаний здания
|
|
|
|
88 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Круговая |
Период, |
Частота, |
Коэффициенты |
|
|
частота, , |
Форма |
|||
|
, с |
, Гц |
формы, |
||
|
рад/с |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ1=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ2=0,99248 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ3=0,90815 |
|
основанием |
|
|
|
|
|
|
|
|
φ4=0,83507 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ5=0,75437 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ6=0,66293 |
|
жесткимс |
1,683 |
3,732 |
0,268 |
|
|
φ7=0,56724 |
|
||||
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ8=0,46131 |
|
|
|
|
|
|
|
Здание |
|
|
|
φ9=0,35665 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ10=0,24605 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ11=0,13427 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ12=0,04911 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ1=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ2=0,99252 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ3=0,90877 |
|
основанием |
|
|
|
|
|
|
|
|
φ4=0,83523 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ5=0,75442 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ6=0,66299 |
|
упругимс |
1,410 |
4,455 |
0,224 |
|
|
φ7=0,56733 |
|
||||
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ8=0,46144 |
|
|
|
|
|
|
|
Здание |
|
|
|
φ9=0,35679 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ10=0,24613 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ11=0,13446 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ12=0,04928 |
|
|
|
|
|
|
|
При гармоническом законе колебаний здания: y( )=ysin(ω ), θ( )=θsin(ω )
[12], имеем:
{ |
( − 2) + = 0 |
(6) |
+ ( − 2) = 0 |
89
Решая векторное уравнение (6), запишем уравнение, которое
характеризует круговую частоту изгибно-крутильных форм колебания здания
совместно:
|
( 2 |
+ 2 |
) |
|
( 2 |
− 2 |
)2 |
|
2 |
|
= √ |
П |
КР |
|
± √ |
П |
КР |
|
+ |
|
(7) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
1,2 |
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где П2, КР2 – квадраты частот поступательных и крутильных колебаний;
В соответствии с формулой (7) для здания с жестким основанием ω1 = 5,25 рад/с, ω2 = 1,68 рад/с, для на упругом основании ω1 = 2,63 рад/с, ω2 = 1,41 рад/с.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ 6,7
АЭРОДИНАМИКА ЗДАНИЙ И СООРУЖЕНИЙ. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ВЕТРОВЫХ НАГРУЗКАХ. СРЕДНЯЯ И ПУЛЬСАЦИОННАЯ СОСТАВЛЯЮЩИЕ ВЕТРОВОЙ НАГРУЗКИ.
Для зданий и сооружений необходимо учитывать следующие
воздействия ветра:
-основной тип ветровой нагрузки (в дальнейшем - "основная ветровая нагрузка");
-пиковые значения ветровой нагрузки, действующие на конструктивные элементы ограждения и элементы их крепления (в дальнейшем - "пиковая ветровая нагрузка");
-резонансное вихревое возбуждение;
-аэродинамически неустойчивые колебания типа галопирования,
дивергенции и флаттера.
Основной тип ветровой нагрузки и пиковые воздействия связаны с непосредственным действием на здания и сооружения максимальных для места строительства ураганных ветров и должны учитываться при проектировании всех сооружений. Резонансное вихревое возбуждение и аэродинамически неустойчивые колебания рассматриваются в расчетах сплошностенчатых сооружений. В целом при проектировании необходимо