10364

61

7.3. Перемещение от кинематических воздействий

Распространяя формулу определения перемещений от кинематических воздействий в статически определимых системах на системы статически неопределимые, получим первую запись формулы в виде следующего выражения:

iC rCi C ,

где: С – величина осадки;

rCi - реакция в смещающейся связи статически неопределимой (заданной) системы от единичного значения силового фактора Pi = 1 (или Mi = 1 – при определении углового перемещения), приложенного в изучаемой точке в направлении изучаемого перемещения.

Таким образом, при использовании выше приведенного выражения необходимо выполнить расчет статически неопределимой системы от единичного силового фактора, приложенного в изучаемой точке в направлении изучаемого перемещения.

Пример (см. рис. 7.6). Для заданной системы определить горизонтальное перемещение точки i при смещении опоры “а” вниз на величину C = 0,04 м.

iC 30,04 0,03 м. 4

заданной путем устранения всех избыточных связей и находящейся под действием того же кинематического воздействия и, кроме этого, лишних неизвестных.

вого фактора Pi = 1 (или Mi = 1) в любой статически определимой системе, полученной из заданной путем устранения всех избыточных связей (за исключением связи, получившей заданное смещение).

62

n

В этом выражении: M0 (x1, x2,..., xn ) M 0j xj MC .

j 1

Окончательно будем иметь следующее выражение для определения перемещений в статически неопределимых системах от кинематических воздействий:

Таким образом, при использовании этого вида формулы необходимо выполнить расчет статически неопределимой системы от кинематического воздействия.

Пример (см. рис. 7.7). Данные примера те же, что и в предыдущем случае. Каноническое уравнение метода сил:

Искомое горизонтальное перемещение точки i в заданной системе, вызванное кинематическим воздействием, будет равно:

Рис 7.7

Задания для самостоятельной работы.

Литература: [1, гл. 9]; [4, 4.12].

Вопросы для самопроверки:

1.Назовите три разновидности формул, позволяющие определять перемещения точек статически неопределимых систем по заданному направлению от внешней нагрузки?

2.Назовите две разновидности формул, позволяющие определять перемещения точек статически неопределимых систем от изменения температурного режима.

3.Назовите две разновидности формул, позволяющие определять перемещения точек статически неопределимых систем кинематических воздействий.

63

8. Расчет статически неопределимых плоских ферм

Строго говоря, практически все фермы, широко применяемые на практике, являются статически неопределимыми, т.к. никогда не имеют идеальных шарнирных соединений в узлах. Именно в этой связи во всех узлах ферм возникают изгибающие моменты аналогично моментам в рамных конструкциях. Однако, например, при расчете металлических ферм в соответствии с п. 13.8 СНиП II-23-81* “Стальные конструкции” при отношении высоты сечения к длине элемента фермы, не превышающем 1/10, расчет допускается выполнять по шарнирной схеме. В этом случае влияние изгибающего момента слишком мало и его учет не приводит к заметному изменению уровня напряжений в рассматриваемом элементе фермы. При превышении указанного выше отношения 1/10, СНиП требует учитывать дополнительные изгибающие моменты в элементах ферм, возникающие от жесткости узлов. При этом в соответствии с тем же пунктом 13.8 СНиП допускается осевые усилия определять по шарнирной модели, а учет жесткости узлов выполнять приближенным расчетом.

В настоящем разделе мы не будем рассматривать статическую неопределимость, вызванную жесткостью узлов. Нас будет интересовать только статическая неопределимость шарнирно стержневых расчетных схем.

С конструктивной точки зрения ферма с небольшим количеством лишних связей часто оказывается более простой, чем статически определимая. Например, для пролетных строений железнодорожных мостов неразрезная двух– или трехпролетная балочная ферма целесообразнее ряда разрезных статически определимых ферм, так как обладает более плавной упругой линией и поэтому не испытывает таких ударов, которые имеют место при переходе колес поезда с одной разрезной фермы на другую. Как показывает отечественный опыт проектирования, неразрезные статически неопределимые фермы и по расходу материала выгодно отличаются от разрезных статически определимых. К сказанному можно добавить, что статически неопределимые фермы в целом оказываются более надежными, так как выход из строя какого либо отдельного элемента не приводит к изменяемости всей системы, а следовательно и исключает возможные тяжелые последствия разрушения и аварии. Однако окончательное решение о выборе той или иной схемы фермы должно выполняться на основании технико-экономических сравнений вариантов.

Различают три вида статически неопределимых ферм: внешне статически неопределимые, т.е. неопределимые относительно опорных реакций, внутренне статически неопределимые, т.е. неопределимые относительно усилий в стержнях и статически неопределимые относительно и опорных реакций и относительно усилий в стержнях.

Первый вид ферм имеет “лишние” только внешние связи и степень их статической неопределимости равна Л С0 3, где С0 - общее число опорных стержней.

Ко вторым и третьим статически неопределимым относят фермы, имеющие,

соответственно, или только “лишние” стержни в составе решетки, т. е. “лишние” внутренние связи или “лишние” и внутренние и внешние связи одновременно. Общая степень статической неопределимости таких систем определяется выражением:

64

Л С С0 2 У , где: С – количество стержней самой фермы, У – количество узлов,

соединяющих стержни фермы друг с другом, при этом число “лишних” внешних связей определяется по той же формуле Л С0 3.

На рис. 8.1 показаны примеры расчетных схем внешне и внутренне статически неопределимых ферм.

Рис. 8.1.

Расчет статически неопределимых ферм выполняется по той же принципиальной схеме, что и статически неопределимых рам. Выбирают основную систему: отбрасывают лишние опорные связи, а лишние стержни решетки - перерезают. При выборе основной системы необходимо помнить, что полученная после устранения лишних связей, она должна оставаться геометрически неизменяемой. Действие устраненных связей заменяют действием лишних неизвестных – опорных реакций и усилий в стержнях (см. рис. 8.2).

Затем составляют канонические уравнения метода сил, выражающие собой отсутствие перемещений в основной системе по направлению каждого лишнего неизвестного от действия заданной нагрузки и всех лишних неизвестных:

11 x1 12 x2 ... 1n xn 01P 0;

21 x1 22 x2 ... 2т x3 02P 0;

65

В этих выражениях:

Ni0 , N0j - усилия в стержнях основной системы от xi=1 и xj=1, соответственно;

NP0 - усилия в стержнях основной системы от заданной нагрузки;

A – площадь поперечного сечения стержня фермы.

Усилия в стержнях основной системы от единичных значений неизвестных и от заданной нагрузки определяют любым известным методом (аналитическим или графическим).

Найденные значения удельных и грузовых перемещений подставляют в уравнения метода сил и решают последние относительно неизвестных xi. Окончательно, усилие в любом i-ом стержне заданной статически неопределимой фермы определяют методом наложения: NiP Ni01 x1 Ni02 x2 ... Nin0 xn NiP0 .

При расчете статически неопределимой фермы на заданное температурное воздействие, канонические уравнения примут вид:

ратуры стержня по сравнению с начальной.

Усилие в любом i-ом стержне заданной системы выразится формулой:

NiP Ni01 x1 Ni02 x2 ... Nin0 xn

Задания для самостоятельной работы.

Литература: [2, гл. 4];

Вопросы для самопроверки:

1.Как устанавливается степень статической неопределимости для ферм?

2.Перечислите виды статически неопределимых ферм.

3.Как вычисляются окончательные усилия в ферме?

9. Расчет статически неопределимых арок

9.1. Общие сведения об арочных конструкциях

Арочные покрытия, как правило, используют в зданиях гражданского назначения: павильонах, крытых рынках, спортивных залах и т.п. Иногда их применяют как несущие конструкции покрытий ангаров, гаражей, троллейбусных парков, где отсутствует тяжелое крановое оборудование.

66

Конструктивную форму арки можно представить как модификацию рамной конструкции, при которой ее продольная ось приближается к кривой давления, в результате чего резко снижается доля изгибающего момента в работе конструкции, что приводит к существенной экономии материала. Правда при этом усложняется геометрическая форма покрытия, образуются неиспользуемые габариты помещения. Арочные системы становятся существенно экономичнее рамных, начиная с пролетов 80 м

иболее.

Вбольшепролетных покрытиях чаще всего встречаются однопролетные арки. По статической схеме они могут быть трехшарнирными статически определимыми, двухшарнирными один раз статически неопределимыми и бесшарнирными – трижды статичеси неопределимыми.

Трехшарнирные арки, как статически определимые системы, нечуствительны к перемещениям (осадкам) опор и температурным изменениям. Однако наличие конькового шарнира усложняет конструкцию арки и требует выполнения дополнительных мероприятий, обеспечивающих герметичность кровли над шарниром, без стеснения взаимного поворота полуарок. Трехшарнирные арки по сравнению с другими типами наиболее деформативны и имеют повышенный расход материала.

Бесшарнирные арки максимально реагируют на перемещения опор и изменение температуры. Кроме этого они требуют устройства массивных фундаментов для восприятия опорных моментов. С другой стороны, бесшарнирные арки обладают наибольшей жесткостью и наилучшим распределением изгибающих моментов по длине, что обеспечивает снижение расхода материала на арку. Отсутствие конькового шарнира упрощает и делает более надежной конструкцию кровли.

Вдвухшарнирной арке достоинства и недостатки двух предыдущих систем сглажены. Она менее чувствительна к осадкам опор и изменениям температуры по сравнению с бесшарнирной аркой, более экономична по сравнению с трехшарнирной аркой, не имеет проблем, связанных с устройством конькового шарнира, а фундаменты не испытывают влияние опорных моментов. Именно поэтому, двухшарнирные арки получили в практике строительства наибольшее распространение. При слабых грунтах или установке арок на высоких стенах часто оказывается целесообразным устройство затяжек для восприятия распора. В этом случае фундаменты и стены будут воспринимать в основном только вертикальные нагрузки, что дает существенную экономию и улучшает архитектуру здания. Затяжки могут располагаться в уровне опорных шарниров. При отсутствии стен их располагают в специальных коробах ниже уровня пола. При наличии стен затяжки могут одновременно использоваться для поддержания технологического оборудования и различных устройств (вентиляция, освещение, подвесной потолок и т.д.).

Очертание оси арок зависит от многих факторов: функционального назначения здания, его габаритов, действующих нагрузок, технологических условий изготовления и монтажа и т.п. По возможности, оси арок стремятся приближать к кривой давления (рациональная ось), зависящей от вида нагрузки. Однако, такое решение не является однозначным, так как в процессе эксплуатации арка испытывает различные виды нагрузок

(постоянная, временные ветровая и снеговая и т.д.). Для пологих арок ( f /l 1/10) при

преимущественном значении равномерно распределенной нагрузки наиболее выгодным

67

оказывается очертание арки по квадратной параболе. Для упрощения изготовления и монтажа параболу часто заменяют дугой окружности, что не оказывает существенного влияния на работу арки. Для высоких арок ( f /l 1/10) с большим собственным весом покрытия наилучшей кривой является цепная линия (форму цепной линии принимает гибкая тяжелая нерастяжимая нить, подвешенная в двух точках; ее уравнение y a ch(x/a)). Однако, при таком очертании существенное значение имеет ветровая нагрузка, которая может действовать в любых направлениях. В этом случае очертание арки целесообразно принимать по оптимально осредненной кривой. При этом в качестве критерия оптимальности можно принять, например, или расход материала, или стоимость всего покрытия.

9.2. Расчет двухшарнирных арок

Двухшарнирные арки один раз статически неопределимы. По конструктивным особенностям они могут быть без затяжки или с затяжкой (см. рис. 9.1).

Рис. 9.1

9.2.1. Двухшарнирные арки без затяжки

При расчете двухшарнирных арок применяют основную систему по методу сил, получаемую заменой в заданной арке одной из шарнирно неподвижных опор - подвижной (см. рис. 9.2). Отличие основной системы от заданной устраняют путем приложения горизонтальной силы x1 – лишнего неизвестного. Каноническое уравнение принимает вид:

69

MP MP0 x1 y ;

QP QP0 cos x1 sin ;

NP [QP0 sin x1 cos ] .

Все вычисления целесообразно проводить в табличной форме аналогично, как это делалось при расчете статически определимых трехшарнирных арок.

9.2.2.Двухшарнирные арки с затяжкой

Варке с затяжкой распор воспринимается затяжкой и следовательно на опоры передаются лишь вертикальные составляющие реакций. С точки зрения воздействия на опоры, арку с затяжкой можно отнести к балочным системам. Однако по работе самой системы она несомненно является распорной, а по способу расчета – один раз статически неопределима.

Основную систему расчета выбирают путем перерезания затяжки в середине ее

длины (см. рис. 9.3). Отличие основной системы от заданной устраним, приложив в месте разреза затяжки две равные и противоположные силы x1. Каноническое уравнение метода сил примет вид 11* x1 01P 0.

Рис 9.3 В этом выражении

вызываемое силами x1=1 взаимное горизонтальное перемещение концов затяжки в месте произведенного разреза; 01P - взаимное перемещение в том же месте, вызванное внешней нагрузкой. Последний член формулы для определения 11* выражает влияние продольной деформации затяжки. Его можно обозначить, например, з . Тогда каноническое

перемещение концов затяжки, вызванное влиянием изгибающих моментов, поперечных и продольных усилий в арке.

Анализируя выражение для лишнего неизвестного, можно заметить следующее.

Если мы будем постепенно уменьшать величину Eз Aз или только величину площади Aз

Eз Aз

x1 – уменьшаться. Чем тоньше, чем податливее затяжка, тем меньше то усилие, которое оно воспринимает. Когда площадь затяжки сделается бесконечно малой, дробь обратится в бесконечность и усилие x1 сделается бесконечно малым. Арка, концы которой связаны