10325
.pdf[Введите текст]
Производной функции |
z f ( x, y) в точке |
M0 ( x0 , y0 ) |
в заданном |
|||||||||
направлении |
s |
называется предел |
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
s z |
lim |
f (x0 s cos , y0 |
s sin ) f (x0 , y0 ) |
f |
. |
(36.1) |
|||||
|
|
|
|
|||||||||
s 0 |
s |
s 0 |
|
s |
|
|
|
s |
|
|
||
В частности, частные производные |
z ; |
z |
это производные по |
|||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
|
положительному |
направлению координатных осей. Найдём, |
например, |
||||||||||
частную производную в точке M 0 (x0 , y0 ) |
положительном направлении |
|||||||||||
оси Ox . В этом случае угол |
0 |
, y 0 , а |
s x и формула (36.1) |
примет вид
lim |
x z |
lim |
f (x0 x, y0 ) f (x0 , y0 ) |
|
f |
|
x |
x |
x |
||||
x 0 |
x 0 |
|
Лекция 37. Производные сложных функций
260
[Введите текст]
37.1. Дифференцирование сложных функций. Будем предполагать,
что функция z f (x, y) имеет непрерывные частные производные в области D , а функции x(t) и y(t) имеют непрерывные производные в проме-
жутке t . Тогда функция |
z f (x(t), y(t)) |
– сложная функция одной |
||||||||
переменной t . Для производной |
dz |
|
этой функции справедлива следующая |
|||||||
dt |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
формула |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
dz |
|
f |
|
dx |
f |
dy |
. |
(37.1) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
dt |
x dt |
y dt |
|
Для доказательства рассмотрим приращение
z f (x, y) f (x0 , y0 ) f (x, y) f (x0 , y) f (x0 , y) f (x0 , y0 ) .
В первой из разностей изменяется только x , а во второй – только y , т.е.
каждая из этих разностей – это функция одной переменной. Применим к ним формулу Лагранжа (формулу конечных приращений)
|
|
z fx ( , y)(x x0 ) f y (x0 , )( y y0 ) , |
|
где |
лежит в интервале между x и x0 , а – между y |
и y0 . К разностям |
|
x x0 |
и |
y y0 опять применим формулу Лагранжа |
|
|
|
x x0 x(t) x(t0 ) x (t1 )(t t0 ) x (t1 ) t |
|
|
|
y y0 y(t) y(t0 ) y (t2 )(t t0 ) y (t2 ) t , |
|
где t1 ,t2 |
расположены между t и t0 . Таким образом, |
|
|
|
|
z fx ( , y)x (t1) f y (x0 , ) y (t2 ) . |
|
|
|
t |
|
Переходя в этом равенстве к пределу и замечая, что при |
t 0 имеем |
tt0 t1,t2 t0 x x0 , y y0 x0 , y0 ,
сучетом непрерывности всех, входящих в это равенство функций, получаем
dz |
fx (x0 , y0 )x (t0 ) f y (x0 , y0 ) y (t0 ) . |
||
|
|
|
|
|
|||
dt t |
|
||
|
0 |
|
В силу произвольности значения t0 приходим к формуле (37.1).
261
[Введите текст]
Заметим, что это естественное обобщение формулы производной сложной функции одной переменной. В случае большего числа переменных, например, если z f (u(t),v(t), w(t)) , то
dz f du f dv f dw . dt u dt v dt w dt
37.2. Вычисление производной по направлению. Теперь мы можем получить формулу для вычисления производной по направлению. В самом деле, согласно определению (37.1) производная по направлению совпадает
с производной от сложной |
функцией |
z f (x( s), y( s)) , |
где |
|||
x( s) x0 s cos , |
y( s) y0 s sin . Применяя формулу (37.1), |
полу- |
||||
чаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
f |
cos f sin . |
(37.2) |
|
|
|
|
||||
|
|
l |
x |
y |
|
|
Обратим только внимание на тот факт, что в определении производной по направлению мы приближаемся к данной точке с одной стороны, т.е. имеем односторонний предел. Например, частная производная по отрицательному направлению оси абсцисс отличается знаком от частной производной по переменной x .
Аналогичным образом вводится понятие производной по направлению для функции трёх переменных u F (x, y, z)
|
u |
F cos |
F cos |
F cos , |
|
l |
x |
y |
z |
где |
e cos i cos j cos k – единичный вектор заданного направления |
|||
l , а |
, , – углы между осями координат и этим вектором. |
Приведём без доказательства формулы для производной сложной функции z f (u,v) , u u(x, y), v v(x, y) . В итоге
z f (u(x, y),v(x, y)) (x, y)
будет функцией двух переменных и ее частные производные находятся по формулам
z |
|
f u |
|
f v |
, |
z |
|
f u |
|
f v . |
x |
|
u x |
|
v x |
|
y |
|
u y |
|
v y |
37.3. Дифференцирование неявных функций. Полученные нами правила дифференцирования сложных функций позволяют более просто,
262
[Введите текст]
называемый градиентом. Предполагаем, что этот вектор не нулевой. Тогда согласно (37.2) производная по направлению в данной точке равна скалярному произведению градиента в этой точке на единичный вектор заданного направления
|
z |
|
|
f |
cos |
f |
|
sin (gradz,e). |
||||
|
l |
x |
y |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Из равенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
z |
(gradz,e) |
|
gradz |
|
|
cos , |
||||
|
|
|
|
e |
||||||||
|
|
l |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где – угол между векторами, видно, что направление наибольшего возрастания функции должно совпадать с направлением градиента функции в данной точке, т.к. наибольшее значение правой части этого равенства достигается при 0 . Теперь становится понятным геометрический смысл градиента.
Градиент – это вектор, указывающий направление наибольшего возрастания функции в данной точке. Название происходит от латинского gradior
– идти вперёд. Термин и обозначение ввёл Максвелл, позаимство-
вав его из метеорологии. При первом появлении (1873г.) он намеревался дать название «скат» или «склон» скалярной функции f , используя слово
slope, чтобы указать направление наиболее быстрого убывания функции f
. Это свойство градиента применяется для численного поиска экстремумов функции многих переменных.
В трёхмерном случае градиент определяется как вектор, координаты которого есть частные производные скалярной функции u F (x, y, z)
gradF Fx i Fy j Fz k .
Выясним геометрический смысл модуля градиента функции двух переменных. Пусть e – единичный вектор направления наибольшего возрастания функции в данной точке. Тогда производная по этому направлению равна
z |
|
|
|
|
|
|
|
(gradz,e) |
gradz |
|
z 2 |
z 2 . |
|||
|
|||||||
e |
|
|
x |
y |
|||
|
|
|
|
|
отсюда следует, что модуль градиента – это «скорость» изменения функции в направлении наибольшего возрастания функции в данной точке. Как характеризует величина этой «скорости» поверхность z f (x, y) в окрестно-
сти данной точки? Рассмотрим сечение поверхности вертикальной плоскостью, проходящей через точку M (x0 , y0 ) и вектор e (см. рис. 37.1).
264
[Введите текст]
Рис. 37.1
Касательная |
BM1 к сечению поверхности в точке M1 (x0 , y0 , z0 ) составляет |
|||||||
с вектором |
e , а значит и с плоскостью |
xOy , |
угол , тангенс которого |
|||||
равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
tg |
|
gradz |
|
z |
2 z 2 . |
||
|
|
|||||||
|
|
e |
|
|
x |
y |
||
|
|
|
|
|
|
|
Эту величину называют крутизной подъёма поверхности в данной точке. Теперь убедимся в том, что в каждой точке градиент направлен по нормали к линии уровня f (x, y) C , проходящей через данную точку.
Пусть функция z f (x, y) имеет непрерывные частные производные, а её линия уровня, проходящая через точку M 0 (x0 , y0 ) , имеет касательную в этой
точке. Обозначим направление этой касательной единичным вектором e . Тогда производная по этому направлению в точке M 0 из интуитивных со-
ображений должна быть равна нулю. Убедимся в этом.
Угловой коэффициент k1 касательной к линии уровня f (x, y) C с учетом формулы (1.4) дифференцирования неявно заданной функции равен
|
|
|
|
|
k |
dy |
|
f |
f . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
dx |
|
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|||
С другой стороны, угловой коэффициент k2 |
прямой «в направлении гради- |
||||||||
ента» равен k |
2 |
|
f |
f |
. Так как k k |
|
1, то эти прямые взаимно перпен- |
||
|
|
y |
x |
|
1 |
2 |
|
|
дикулярны (см. рис. 37.2), т.е. производная в направлении касательной к линии уровня равна нулю
z (gradz,e) 0 .
e
265
[Введите текст]
z
x
y
Рис. 37.4
37.5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Пусть по-
верхность задана уравнением F (x, y, z) 0 . Будем предполагать, что в точке
поверхности |
M 0 (x0 , y0 ,z0 ) частные производные |
|
F |
, |
|
F |
|
F |
су- |
|
|
|
|
, |
|
||||
|
|
|
x 0 |
|
y 0 |
|
z 0 |
|
ществуют, непрерывны и хотя бы одна из них отлична от нуля. Рассмотрим на поверхности некоторую кривую L , проходящую через точку M 0 . Пусть
она задана параметрическими уравнениями
x x(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y y(t) , |
M 0 (x0 , y0 , z0 ) M 0 |
(x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )) . |
||
|
|
|
|
|
z z(t) |
|
|
|
|
Будем предполагать, |
что функции x(t), y(t), |
z(t) дифференцируемы при |
||
значении параметра |
t t0 , |
соответствующем точке |
M 0 . Поскольку кривая |
|
L принадлежит поверхности, то имеем тождество |
F (x(t), y(t), z(t)) 0 , ле- |
|||
вая часть которого дифференцируема в точке |
t t0 как сложная функция. |
Дифференцируя это тождество, получаем |
|
|
|
|
||||||
F dx |
|
F dy |
|
F dz |
0 . |
(37.4) |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
x dt |
y dt |
z dt |
||||||||
|
|
|
|
Рассмотрим два вектора
267