10324
.pdf[Введите текст]
Из определения неопределенного интеграла непосредственно следуют формулы, подчёркивающие, что операции интегрирования и дифференцирования взаимно обратные (с точностью до постоянной)
f (x)dx f x , |
d f x dx f x dx , |
|
df (x) f (x) C . |
f (x)dx f (x) C , |
Это аналогично тому, как операции возведения в целую степень и извлечение корня, проведённые последовательно друг за другом, оставляют без изменения число, к которому они применялись
|
|
|
|
|
|
|
( n a )n a, |
n an a, |
a 0. |
Отметим два свойства, непосредственно вытекающие из соответствующих правил дифференцирования: постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.
k f (x) dx k f (x)dx k const ,
и неопределённый интеграл суммы или разности конечного числа функций равен соответствующей сумме (разности) интегралов этих функций, т.е.
( f (x) g(x))dx f (x)dx g(x)dx .
Для нахождения производной функции, полученной из основных элементарных функций с помощью алгебраических операций или суперпозиции, применялись таблица производных основных элементарных функций и правила дифференцирования. Формально, таблица интегралов элементарных функций может быть получена, если переписать справа налево таблицу производных. Однако для практического применения целесообразнее привести таблицу интегралов в следующем виде:
x |
|
dx |
x 1 |
|
dx |
= ln |
|
x |
|
C |
|||
|
|
C ( 1) , |
|
|
|
|
|||||||
|
|
x |
|||||||||||
|
|
|
ax |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
axdx |
|
C (a 0, a 1) , |
exdx ex C |
|
|||||||||
ln a |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
sin x dx cos x C |
cos x dx sin x C |
||||||||||||
|
|
|
|
|
210 |
|
|
|
|
|
|
|
[Введите текст]
cosdx2 x sindx2 x tg x ctg x C ,
где при вычислении интеграла суммы нескольких функций сумма произвольных постоянных, которая при этом получается, заменена одной постоянной.
Следует отметить, что некоторые интегралы не могут быть выражены через элементарные функции. В частности, это касается интегралов следующих функций:
sin x |
, |
cos x |
, |
1 |
, e x2 . |
|
x |
x |
ln x |
||||
|
|
|
29.2. Интегрирование методами подстановки и замены перемен-
ной. Еще одно важное свойство неопределенного интеграла, основанное на инвариантности формы первого дифференциала, позволяет находить интегралы функций, не входящих в таблицу.
Пусть
f (x) dx F (x) C
иформально подставим в эту формулу функцию x (t) , производная которой непрерывна. Тогда получим так называемую формулу подстановки
|
f ( (t))d (t) F( (t)) C . |
(29.1) |
|
f ( (t)) (t)dt |
|||
Покажем, что формула (29.1), действительно, верна. Для этого найдём |
|||
производную по переменной t |
правой части этого выражения |
|
|
|
|
|
|
Fx ( (t)) (t) f ( (t)) (t) . |
|
Таким образом, правая часть в (29.1) является первообразной подынтегрального выражения слева.
Применение этой формулы позволяет находить интегралы сложных функций, используя таблицу основных интегралов. Например, найдем
cos(3x 2)dx .
Зная, что
cosudu sin u C
иделая в этой формуле подстановку u 3x 2, получим
cos(3x 2)d (3x 2) sin(3x 2) C ,
212
[Введите текст]
откуда найдем
cos(3x 2)dx 13 sin(3x 2) C .
Этот прием, основанный на подстановке некоторой функции в готовую формулу табличного интеграла, называют методом подстановки.
Рассмотрим теперь приём интегрирования с помощью замены переменной. Предположим, что нужно найти интеграл f (x)dx . Заменяем пе-
ременную интегрирования некоторой дифференцируемой функцией x (t) , имеющей обратную функцию t (x) . Предположим также, что
(t) непрерывна. Тогда справедлива формула замены переменной в не-
определенном интеграле
|
(29.2) |
f (x)dx f ( (t)) (t)dt , t (x) . |
|
Действительно, пусть F (x) первообразная f (x) . |
Тогда по формуле |
подстановки правая часть этого выражения равна |
|
f ( (t)) (t)dt F( (t)) C F(x) C
при x (t) , что подтверждает справедливость формулы (29.2).
Прием замены переменной состоит в том, чтобы после её проведения сделать такую замену, при которой для подынтегральной функции в полученном интеграле справа в (29.2) легко может быть найдена первообразная.
Например, для нахождения интеграла a2 x2 dx сделаем замену переменной x a sin t так, что
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 x2 |
|
|
|
|
a2 a2 sin2 t a cost |
, dx a cost dt . |
|||||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 cos 2t |
|
|
a |
2 |
x |
2 |
dx a |
2 |
cos |
2 |
tdt |
a |
2 |
|
dt |
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
a2 |
t sin t cost C . |
||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
sin 2t |
|
C |
|
||||||||
|
2 |
|
2 |
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Перейдём от переменной |
t |
к переменной x . В промежутке a x a |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
213 |
|
|
|
|
|
|
|
[Введите текст]
существует обратная функция t arcsin ax , поэтому
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x2 |
|
|
a2 x2 |
. |
|
cost |
1 sin2 t |
|
|
|||||||
a2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
Окончательно получаем
|
|
dx |
a2 |
arcsin |
x |
|
x |
|
|
|
|
|
a2 x2 |
|
a2 x2 |
C . |
|||||||
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
a |
2 |
|
|
|
Заметим в заключение этой темы, что в некоторых случаях замену переменной непосредственно не осуществляют, а применяют так называемую операцию «внесения под дифференциал». Заменяя выражение (x)dx диф-
ференциалом d (x) , получают
f ( (x))d (x) f ( )d .
Например, |
|
|
|
||||
|
1 |
|
1 |
|
3x 7 |
11 |
|
3x 7 10dx |
3x 7 10 d 3x 7 |
|
|
|
C . |
||
3 |
3 |
11 |
|
214
[Введите текст]
Лекция 30. Методы интегрирования (продолжение)
30.1. Интегрирование простейших иррациональностей. Рассмот-
рим только простейшие случаи иррациональных подынтегральных функ-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ций. Если интеграл содержит иррациональность вида |
n ax b |
a 0 , то |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
применяют подстановку |
|
ax b tn . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Пример. Найти интеграл |
|
|
1 |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Сделаем замену или |
x t2 . Тогда |
dx 2tdt |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
dx |
2t dt |
2 |
t 1 1 |
dt |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
t 1 |
|
|
|
|
t 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 t |
|
|
|
|
dt 2 t ln |
t 1 |
C = 2( x ln |
|
|
|
|
|
x 1) C . |
||||||||||||||||||||||
t 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Если подынтегральное выражение содержит иррациональности вида |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m n , то применяют подстановку ax b t p с p , |
||||||||||||||||||||||||||||
n ax b и m ax b , |
где |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
равным наименьшему общему кратному чисел m и n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Рассмотрим интегралы вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mx N dx |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Ax2 Bx C |
|
Ax2 Bx C |
|
Первый из них сводится к табличному интегралу выделением полного квадрата в подкоренном выражении. Для нахождения второго интеграла следует в числителе выделить дифференциал квадратного трехчлена d ( Ax2 Bx C) (2Ax B)dx .
Пример. Найти интеграл I |
x 2 dx |
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
3 |
2x x |
2 |
||||
|
|
|
|
В числителе дроби получим дифференциал подкоренного выражения d (3 2x x2 ) (2 2x)dx и разобьём интеграл на два интеграла
I |
1 |
|
(2 2x) 2 |
|
dx |
|
1 |
|
|
(2 2x)dx |
|
|
dx |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
3 2x x2 |
3 2x x2 |
3 2x x2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
d (3 2x x2 ) |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2x x2 arcsin |
C |
||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
3 2x x2 |
|
4 (x 1)2 |
|
В интегралах вида
215
[Введите текст] |
|
|
|
|
|
|
a2 x2 dx , |
|
a2 x2 dx , |
|
x2 a2 dx |
освобождаются от иррациональности применением тригонометрических подстановок. Для первого интеграла применяется замена x a sin t (можно
x acost ) и используется тождество |
sin2 t cos2 t 1; для второго – за- |
|||||||
мена x a tgt |
и применяется соотношение 1 tg2 t |
1 |
; для третьего – |
|||||
cos2 t |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
замена x |
a |
или x |
a |
. |
|
|
|
|
cos t |
sin t |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
30.2. Интегрирование по частям. Рассмотрим метод интегрирования, который позволит нахождение одного интеграла заменить отысканием другого, «более простого». В основу этого метода положено следующее рассуждение. Пусть u (x) и v(x) – две функции, имеющие непрерывные произ-
водные на некотором интервале. Найдем дифференциал d (u v) от произведения этих функций
|
d (u v) u dv v du , |
|
|
где dv v (x) dx, |
du u (x) dx . Перепишем это выражение в виде |
|
u(x) dv(x) d (u(x) v(x)) v(x)du(x) |
и проинтегрируем обе его части. Учитывая, что d (u v) u v , получим
формулу интегрирования по частям
u(x) dv(x) u(x) v(x) v(x) du(x) .
Метод интегрирования по частям состоит в представлении интеграла
f (x)dx
ввиде u(x) dv(x) так, чтобы интеграл v(x) du(x) в правой части формулы
интегрирования по частям оказался «более простым». При нахождении функции v(x) можно произвольную постоянную C , возникающую при
этом интегрировании, положить равной нулю. |
|
Найдем интеграл x e xdx . Введем обозначения: |
u(x) x , |
216 |
|
[Введите текст] |
|
|
dv(x) e xdx . |
Тогда du(x) dx и |
v(x) e xd ( x) e x . |
Применяя формулу интегрирования по частям, получим
x e xdx x e x e xdx x e x e x C .
Формула интегрирования по частям предполагает разбиение подынтегрального выражения на два множителя u(x) и dv(x) , причем при переходе
к правой части первый дифференцируется, а второй интегрируется. Нужно стараться, во-первых, чтобы интегрирование дифференциала dv не пред-
ставляло трудностей и, во-вторых, чтобы интеграл v(x) du(x) имел более
простое подынтегральное выражение. Так, в предыдущем примере было бы «неразумно» положить u e x , а dv xdx . Действительно, в этом случае
x e xdx x2 e x 1 x2 e xdx ,
2 2
мы получили более сложный интеграл, чем первоначально данный. Заметим, что если мы имеем интегралы вида
|
P (x)sin kxdx , |
|
P (x)cos kxdx , |
|
P (x)ekxdx , |
|
|
n |
|
n |
|
n |
|
( Pn x – многочлен n -ой степени), то следует выбрать |
u(x) Pn (x) . При |
этом интегрирование по частям проводится столько раз, какова степень многочлена Pn (x) . Если же имеем интегралы вида
Pn (x)arcsin kx dx , Pn (x)arccos kx dx , Pn (x)arctg kx dx ,
Pn (x)arcctg kx dx , Pn (x)loga kx dx ,
то выбираем в качестве функции u(x) либо обратную тригонометрическую функцию, либо логарифм.
30.3. Интегрирование выражений, содержащих тригонометриче-
ские функции. Разнообразие тригонометрических функций и особенно формул, их связывающих, приводит к большому выбору методов вычисления интегралов, содержащих тригонометрические функции. Рассмотрим некоторые из этих методов интегрирования.
Для нахождения интегралов вида sin x cos x dx , sin xsin x dx ,
217
[Введите текст]
Если и – четные неотрицательные числа, то степени синуса и косинуса понижаются посредством перехода к двойному аргументу с помощью формул:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 x |
1 cos 2x |
; |
|
|
sin2 x |
|
|
1 cos 2x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример. Найти интеграл |
|
|
cos4 x dx . Понизим степень косинуса |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
cos4 x |
|
|
cos2 |
|
x |
|
2 |
|
|
1 cos 2x |
2 |
|
1 |
|
1 2cos 2x cos2 2x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 cos 4x |
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 2cos 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2cos 2x |
|
cos 4x . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2cos 2x |
|
|
|
|
cos 4x dx |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x sin 2x |
|
|
sin 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Если под интегралом функции |
sin x и |
|
|
|
cos x содержатся только в чет- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ных степенях, то используется подстановка |
|
|
t tg x с применением формул |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
sin |
2 x |
|
t2 |
|
|
|
, |
|
|
cos2 |
x |
|
1 |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
dx |
|
|
dt |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Пример. |
|
|
Вычислить интеграл |
|
|
|
I |
|
|
|
dx |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 5sin |
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Сделаем замену |
|
t tg x . |
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
d 2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 2t |
|
|
|
|
1 |
1 2 tg x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
I |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
С |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
ln |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
t2 |
|
1 4t2 |
2 |
1 2t 2 |
4 |
1 2t |
4 |
1 2 tg x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
1 t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Интеграл вида |
|
|
R sin x,cos x dx , |
где |
|
R(sin x,cos x) |
– рациональная |
функция синуса и косинуса, можно привести к интегралу рациональной дроби (правильной или неправильной) с помощью универсальной триго-
нометрической подстановки
t tg 2x , x .
219