10317

[Введите текст]

мы предполагали, что подынтегральная функция f (x) непрерывна, а промежуток интегрирования [ a,b] конечной длины. Распространим понятие определённого интеграла на более широкий класс функций. Пусть функция

взятых по отдельным интервалам, в которых функция остаётся непрерывной

(см. рис. 35.5).

Рис. 35.5

При этом и геометрическое значение интеграла как площади остаётся в силе.

Иначе обстоит дело, когда функция имеет разрыв второго рода в какой либо точке внутри интервала интегрирования или на одном из его концов. Начнём с примера. Так, формально написанный интеграл

не существует в обычном смысле, т.к. подынтегральная функция «уходит в бесконечность» на левом конце промежутка интегрирования (см. рис. 35.6). Попытаемся придать вполне определённый смысл интегралу (35.2), а значит, и понятию площади соответствующей бесконечной фигуры. Проведем прямую x и рассмотрим полученную криволинейную трапецию. Ее площадь равна интегралу

1 dx

x .

250

[Введите текст]

Рис. 35.6

Определим интересующую нас площадь бесконечной фигуры с помощью предельного перехода

В нашем примере предел оказался конечным. Таким образом, мы придали смысл интегралу

Прежде чем дать общее определение интеграла от функции с бесконечными разрывами, заметим, что достаточно рассматривать только точки разрыва на одном из концов промежутка интегрирования: если разрыв внутри интервала, то интересующий нас интеграл разбивается в сумму двух несобственных интегралов с точками разрывов, лежащих на концах.

Если в промежутке [ a,b] функция f (x) непрерывна, за исключе-

нием крайней точки (пусть для определённости это будет точка b ), то не-

собственный интеграл с бесконечными разрывами определяется как предел

В случае существования этого предела несобственный интеграл называют сходящимся. В противном случае говорят, что несобственный интеграл не

существует или расходится.

Для сходимости несобственного интеграла разрывной функции необходимо, чтобы эта функция «достаточно быстро» стремилась к бесконечности, когда аргумент стремится к точке разрыва. Что такое «достаточно

251

[Введите текст]

Задача сводится к вычислению несобственного интеграла

Интеграл оказался сходящимся, поэтому можно считать, что площадь этой

Этот несобственный интеграл – расходящийся.

Для сходимости несобственного интеграла с бесконечным пределом необходимо, чтобы подынтегральная функция «достаточно быстро» стремилась к нулю, когда аргумент стремится к бесконечности. Что такое «до-

Итак, при p 1 интеграл сходится, а при p 1 – расходится. Таким образом,

несобственный интеграл с бесконечным пределом оказывается сходящимся, если подынтегральная функция стремится к нулю не медленнее, чем функция x p с p 1.

253

[Введите текст]

Раздел 7 . Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

Лекция 36. Функции многих переменных

36.1. Понятие функции многих переменных. До сих пор мы изучали функции одной переменной. Теперь перейдём к изучению функций многих независимых переменных. Во-первых, к этому нас вынуждают практические приложения, так как почти во всех взаимосвязях, встречающихся в природе, функции, описывающие эти связи, зависят не от одного аргумента, а от многих. Во-вторых, и с чисто математической точки зрения существует необходимость в изучении свойств функций многих переменных. При этом большей частью достаточно рассматривать функции только двух переменных, поскольку для распространения результатов на функции трёх и более аргументов не возникает необходимости в существенно новых рассуждениях. Поэтому для простоты формулировок и краткости записей ограничимся случаем двух переменных там, где существо дела не зависит от их числа.

Если каждой точке ( x, y) , принадлежащей некоторому множеству

D плоскости xOy , поставлено в соответствие единственное действительное число z , то говорят, что на множестве D задана функция двух независимых переменных f ( x, y) .

В символической записи это выглядит следующим образом:

задается формулой без указания области определения, то предполагается «естественная» область определения, т.е. та область, где данная формула су-

ществует. В данном случае это замкнутый круг x2 y2 1.

Если функцию одной переменной изображают графически с помощью кривой, то функцию двух переменных представляют с помощью поверхности. Иногда это легко сделать, как в приведённом выше примере функции

z 1 x2 y2 .

254

[Введите текст]

Эта функция легко получается из уравнения сферы x2 y2 z2 1, поэтому

её геометрический образ – полусфера радиуса R = 1 с центром в начале координат, расположенная над плоскостью xOy .

Часто, особенно в картографии, функцию двух переменных изображают с помощью линий уровня. В плоскости xOy выделяют те точки, в

которых функция принимает одно и то же значение. Множество таких точек и представляет собой линию уровня C , т.е. кривую, уравнение которой

Эта кривая есть проекция на плоскость xOy точек пересечения поверхности z f (x, y) и плоскости z C . По картине линий уровня можно получить

представление о поверхности. Например, если линии уровня замкнуты в окрестности некоторой точки, то в этом месте поверхность имеет либо вершину, либо впадину. По «густоте» линий уровня можно судить о крутизне склонов поверхности (см. рис. 36.1).

10

5

0

-5

-10 4

36.2. Предел и непрерывность функции двух переменных. Приве-

дем предварительно определение -окрестности точки M 0 (x0 , y0 ) как совокупность точек M (x, y) , удовлетворяющих неравенству

(x x0 )2 ( y y0 )2 2 .

Будем говорить, что последовательность точек

(x1, y1 ),(x2 , y2 ), ,(xn , yn ),

стремится или сходится к точке M 0 (x0 , y0 ) , если расстояние

255

[Введите текст]

dn (xn x0 )2 ( yn y0 )2

между n -м членом этой последовательности и точкой M 0 стремится к нулю

при n .

Отметим, что в дальнейшем мы будем применять одну их эквивалентных записей

Определение предела функции двух переменных по форме ничем не отличается от определения предела функции одной переменной: число A называется пределом функции z f (x, y) если для любой последователь-

ности точек (x1, y1 ),(x2 , y2 ), ,(xn , yn ), сходящейся к точке (x0 , y0 ) , соответствующая последовательность значений функции zn f (xn , yn ) сходится к A . Символически это записывается так

lim f (x, y) A .

x x0 y y0

Рис. 36.2

Действительно, пусть точка (x, y) движется к началу координат по

256

[Введите текст]

т.е. при стремлении аргументов к началу координат по разным направлениям получаются различные «предельные» значения функции (см. рис.

(x0 , y0 ) , если

lim f (x, y) f (x0 , y0 ) .

x x0 y y0

Если подробно «прочесть» это равенство, то непрерывность означает, что

функция определена в данной точке и некоторой её окрестности;

существует предел функции в этой точке;

предел функции равен значению функции в этой точке.

При нарушении хотя бы одного из этих условий, говорят, что функция имеет разрыв в данной точке. Свойство непрерывности через приращения выражается так

lim[ f (x0 x, y0 y) f (x0 , y0 )] 0 ,

x 0y 0

т.е. непрерывность означает, что «малым» изменениям аргументов соответствуют «малые» изменения функции. Ясно, что эти понятия легко распространить на функции многих переменных.

Если функция непрерывна в любой точке некоторой области, то говорят, что она непрерывна в этой области. Убедитесь, пользуясь определением

непрерывности, что функция z x2 y2 непрерывна в любой точке плос-

кости.

36.3. Частные производные, производная по направлению. Для функции одной переменной производная в данной точке равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. В случае функции двух переменных приращения аргументов ( x, y) из данной точки M 0 (x0 , y0 ) в точку M (x0 x, y0 y) могут быть сделаны в любом направлении на плоскости. Это приводит к понятию производной функции по направлению, которая характеризует скорость изменения функции в выбранном направлении.

Начнем с простейшего случая, когда приращения происходят в направлении оси абсцисс, т.е. когда x 0, y 0 . В этом случае предел

257

[Введите текст]

называется частной производной функции f (x, y) по переменной x в

точке M 0 (x0 , y0 ) . Аналогично можно определить частную производную по переменной y

Из этих определений непосредственно следует, что для нахождения частной производной по данной переменной остальные переменные фиксируются и по обычным правилам дифференцирования отыскивается производная функции этой переменной. Например,

в этой точке существуют частные производные. Зафиксируем одну из переменных, например, переменную x .

Рис. 36.3

Тогда в плоскости x x0 (см. рис. 36.3) мы получаем функцию одной переменной z( y) f (x0 , y) . График этой функции – это сечение поверхности

258