10315
.pdf[Введите текст]
38.1. Дифференцируемость функции двух переменных. Дифферен-
циал. Вспомним, что дифференцируемость функции одной переменной y f (x) в данной точке означает существование производной функции в
этой точке. Если функция |
y f (x) дифференцируема в точке x0 , то её |
приращение в этой точке может быть представлено в виде |
|
|
y f (x0 ) x ( x) x , |
где ( x) 0 при x 0 . |
Более подробная запись этой формулы |
y y0 f (x0 )(x x0 ) ( x) x
«раскрывает» и геометрическое содержание свойства дифференцируемости: в окрестности точки x0 кривая y f (x) отличается от своей касатель-
ной в этой точке
Y y0 f (x0 )(x x0 )
на бесконечно малую величину более высокого порядка, чем x (см. рис.
38.1).
Рис. 38.1
Как перенести это свойство на функции двух переменных? Нельзя ли функцию z f (x, y) , имеющую в точке (x0 , y0 ) непрерывные частные про-
изводные, представить приближённо в виде линейной функции двух переменных, т.е. чтобы её приращение в точке (x0 , y0 ) имело вид
|
f |
|
f |
y ( x, y) , |
(38.1) |
z |
|
x |
|
||
|
x 0 |
|
y 0 |
|
|
|
|
|
|
|
где |
x2 y2 , |
а величина ( x, y) 0 при x 0 и |
y 0 , т.е. |
|
при 0 . Другими словами, нельзя ли в окрестности точки |
(x0 , y0 ) по- |
|||
верхность |
z f (x, y) |
«приблизить» плоскостью |
|
|
|
|
|
270 |
|
[Введите текст] |
|
|
|
|
|
|
f |
|
f |
( y y0 ) (z z0 ) 0 |
? |
|
|
(x x0 ) |
|
||
|
x 0 |
|
y 0 |
|
|
Оказывается, можно, если функция «достаточно хороша».
Дадим теперь определение дифференцируемой функции двух переменных. Функция z f (x, y) дифференцируема в точке (x0 , y0 ) , если её при-
ращение в этой точке может быть представлено в виде (38.1). Ясно, что из дифференцируемости следует непрерывность. Действительно, перейдя в ра-
венстве (38.1) к пределу, получим lim z 0 , что и означает свойство
0
непрерывности.
Покажем, что существование частных производных в данной точке не влечёт за собой дифференцируемости функции в этой точке. Если в точке
(x0 , y0 ) |
существуют частные производные |
|
f |
|
|
f |
|
, то формально |
|
|
|
, |
|
|
|||
|
|
|
x 0 |
|
y 0 |
|
уравнение плоскости можно написать, но назвать её касательной плоскостью в указанном выше смысле нельзя. Например, непрерывная функция
z = | x | | y |
имеет в начале координат частные производные равные нулю.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f lim |
|
| x | 0 0 |
0, |
f lim |
|
0 | y | 0 |
0 . |
||||
|
|
|
|
||||||||
x |
x 0 |
x |
y |
y 0 |
y |
||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Приращение этой функции в начале координат равно z = x y . Но эта величина не является бесконечно малой более высокого порядка, чем
x2 y2 . Действительно, если x y , то отношение
|
|
| x | | y | |
|
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x2 y2 |
2 |
не стремится к нулю при 0 . Поэтому плоскость z 0 нельзя считать касательной плоскостью к этой поверхности в точке (0,0) (см. рис. 38.2).
Рис. 1.12
2 1.5
1
271
0.5
0
1
[Введите текст]
|
|
Рис. 38.2 |
|
|
|
Дифференциалом функции |
|
z f (x, y) |
в точке M 0 (x0 , y0 ) |
называют |
|
главную, линейную относительно приращений аргументов x и |
y часть |
||||
приращения функции z в этой точке |
|
|
|
||
(dz)0 |
|
f |
|
f |
|
|
|
x |
y . |
|
|
|
|
x 0 |
|
y 0 |
|
Поскольку точка M 0 (x0 , y0 ) произвольная, то запишем формулу для диф-
ференциала, опуская нижний индекс. Учтём также, что дифференциалы независимых переменных равны их приращениям. Итак,
dz fx dx fy dy .
Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных виден из следующего рисунка, на котором изображена поверхность и касательная плоскость к ней в некоторой точке, где дифференциал равен приращению аппликаты касательной плоскости.
Отметим также, что дифференциал функции двух переменных применяется, как и дифференциал функции одной переменной, для приближенных вычислений по формуле
z (dz)0 |
|
f |
|
f |
y . |
|
|
x |
|
||
|
|
x 0 |
|
y 0 |
|
272
[Введите текст]
Рис. 38.3
38.2. Производные и дифференциалы высших порядков. Для функ-
ции двух переменных производные и дифференциалы высших порядков определяются аналогично соответствующим понятиям для функции одной переменной. А именно, вторая частная производная, например, по x определяется как частная производная по x от частной производной по x , т.е.
2 z |
|
|
z |
||
x |
2 |
|
|
. |
|
|
|||||
|
|
x |
x |
Читается это так: «дэ два зет по дэ икс квадрат». Последовательность, в которой вычисляются смешанные производные, если они существуют и непрерывны, не имеет значения. Например,
|
2 z |
|
|
z |
|
|
|
z |
|
2 z |
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x y |
|
y |
y x |
|||||||||||
|
|
x y |
|
|
x |
|
|
||||||||
Дифференциал второго порядка определяется как дифференциал от |
|||||||||||||||
дифференциала, т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
dx |
f |
dy |
|
|
|||
|
d 2 z d (dz) d |
|
|
|
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|||
Отсюда следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2 z |
2 z dx2 |
2 |
2 z |
dxdy |
2 z dy2 |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x2 |
|
x y |
|
|
|
y2 |
|
|
|
при условии, что смешанные производные непрерывны. Аналогично определяются дифференциалы более высоких порядков.
273
[Введите текст]
38.3. Экстремумы функции многих переменных. Рассмотрим сна-
чала функцию двух независимых переменных z f (x, y) , определённую в
области D , и изобразим её наглядно поверхностью в декартовой системе координат xyz . Мы будем говорить, что функция имеет максимум в неко-
торой внутренней точке (x0 , y0 ) D, если значения функции во всех точках некоторой -окрестности точки (x0 , y0 ) меньше, чем значение функции в
этой точке, т.е.
f (x, y) f (x0 , y0 ) .
Геометрически такому максимуму соответствует вершина на поверхности (см. рис. 38.4)
zmax=f(x0,y0)
z=f(x,y)
(x0,y0)
Рис. 38.4
Аналогично минимум определяется неравенством f (x, y) f (x0 , y0 )
в некоторой окрестности точки (x0 , y0 ) и соответствует «ямке» на поверх-
ности (см. рис. 38.4).
Для функции большего числа переменных понятия максимума и минимума определяется аналогично, только уже нельзя дать геометрической иллюстрации. Функция u f (x, y, ) имеет в точке (x0 , y0 , ) максимум (ми-
нимум), если она в некоторой окрестности этой точки принимает всюду значения, меньшие (большие), чем в самой точке (x0 , y0 , )
Как и в случае функции одной переменной, наряду со словами максимум и минимум будем пользоваться термином экстремум, объединяющим эти два понятия. Сформулируем теперь необходимые условия существования экстремума, т.е. такие условия, которые непременно должны быть выполнены в точке M 0 (x0 , y0 , ), если функция имеет в этой точке экстремум.
274
[Введите текст]
Для того, чтобы дифференцируемая функция u f (x, y, z, ) имела экстремум в точке M 0 (x0 , y0 , ), необходимо, чтобы все ее част-
ные производные обращались в этой точке в ноль, т.е. чтобы выполнялись следующие равенства:
fx (x0 , y0 , z0 , |
) 0 |
|
|
f y (x0 , y0 , z0 , |
) 0 |
|
||
|
fz (x0 , y0 , z0 , |
(38.2) |
|
) 0 |
|
|
|
|
|
|
|
Эти условия легко получаются из известного необходимого условия экстремума дифференцируемой функции одной переменной. В самом деле, зафик-
сируем, например, переменные |
y y0 , |
z z0 , |
и будем рассматривать |
функцию в окрестности точки |
M 0 как функцию |
f (x, y0 , z0 , ), зависящую |
только от x . Тогда она имеет экстремум при x x0 , а необходимым условием такого экстремума является равенство
fx (x0 , y0 , z0 , |
) 0 . |
В случае дифференцируемой функции двух переменных z f (x, y) z f (x, y) это необходимое условие имеет простой геометрический смысл: функция может иметь в точке M 0 (x0 , y0 ) экстремум лишь в том случае, если поверхность z f (x, y) имеет в этой точке касательную плоскость, параллельную плоскости xOy. Рассмотрим, например, функцию z xy . Необхо-
димые условия показывают, что начало координат – точка, подозрительная на экстремум. Однако в окрестности этой точки функция принимает как положительные, так и отрицательные значении, смотря по тому, в какой четверти берётся точка. Стало быть, в точке (0,0) функция экстремума не
имеет.
Точки, в которых выполняются необходимые условия экстремума (38.2), называют, как и в случае функции одной переменной, стационарными. Другие точки, в которых могут быть экстремумы, – это точки, в которых частные производные либо не существуют, либо обращаются в бесконечность. В совокупности со стационарными эти точки называют крити-
ческими. Например, рассмотрим функции z x2 y2 , z 3x2 y2 , графики которых получаются при вращении вокруг оси Oz кривых z | y | и
z 3 y2 , соответственно (см. рис. 38.5). Очевидно, что обе эти функции имеют минимум в начале координат.
275
[Введите текст]
функции одной переменной достаточные условия экстремума, позволяющие различать среди стационарных точек те, где есть экстремум, и определять, каков он: максимум или минимум.
Рассмотрим стационарную точку (x0 , y0 ) функции z f (x, y) , |
т.е. |
точку в которой обращаются в нуль обе частные производные f x и |
f y . |
Вычислим вторые производные в этой точке и введём, для краткости, следующие обозначения:
|
|
|
|
|
2 f (x , y |
) |
A, |
2 |
f (x , y |
) |
B, |
2 |
f (x , y |
) |
C . |
|||
|
|
|
|
|
0 0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
x y |
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
Примем без доказательства следующее правило: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
если |
|
в |
стационарной |
точке |
выполняется |
неравенство |
||||||||||||
AC B2 0, то в этой точке функция |
z f ( x, y) имеет экстремум;при |
|||||||||||||||||
этом, если |
A 0 , |
то |
|
f ( x0 , y0 ) – максимум, если |
A 0 , |
то |
f ( x0 , y0 ) – |
|||||||||||
минимум |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если в стационарной точке AC B2 |
0,то функция не имеет |
|||||||||||||||||
экстремума в этой точке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
случай |
AC B2 0 требует дополнительного исследования. |
|||||||||||||||||
Пример 1. Исследовать на экстремум функцию |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
z 5 2x 6 y 2xy x2 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Находим стационарные точки, решая систему |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
zx 2 2 y 2x 0 |
|
M0 (3, 4) . |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
z |
6 2x |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисляем вторые производные в этой точке: |
A 2, |
|
B 2, |
C 0 . |
||||||||||||||
AC B2 4 0 , |
поэтому экстремума нет. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лекция 39. Условный экстремум
39.1. Понятие условного экстремума. Весьма часто возникает задача не просто найти экстремум функции n переменных u f (x, y,...) , а найти
её экстремум при дополнительных условиях, связывающих переменные по-
средством m уравнений связей ( m n )
gk (x, y,...) 0, |
k 1,..., m . |
277 |
|
[Введите текст]
Такие экстремумы называют условными. Например, пусть требуется найти минимум функции
f (x, y) x2 y2
при дополнительном условии x y 1. Следующий рисунок делает решение задачи очевидным.
1
1
zmin 0, 5
x
(0,5;0,5)
Рис. 39.1
С учётом уравнения связи мы на самом деле имеем функцию одной переменной
f(x, 1 x) 2x2 2x 1
иеё экстремум легко находится. Следовательно, функция
f (x, y) x2 y2
имеет условный минимум fmin 0,5 в точке (0,5; 0,5) .
Таким образом, задача нахождения условных экстремумов не является
принципиально новой. Разрешая уравнения связи относительно m неизвестных и подставляя их в исходную функцию, мы получаем задачу отыскания безусловного экстремума функции меньшего ( n m) числа пере-
менных. Если задача разрешения уравнений связи не вызывает трудностей, то так и следует поступать. Но весьма часто это либо трудоёмкая задача, либо принципиально неразрешимая (вспомним, что не всегда можно перейти от неявного задания функции к её явному заданию).
39.2. Метод множителей Лагранжа. Представляется важным найти некоторую универсальную формулировку необходимых условий условного
278
[Введите текст]
экстремума. Такая формулировка была предложена французским учёным Лагранжем (1736–1813 гг.).
Пусть требуется найти экстремумы функции
u f (x1, x2 , ... , xn ) ,
причём её n |
аргументов подчинены m уравнениям связей |
( m n ) : |
||||||||
|
|
gk (x1, x2 , ... , xn ) 0, k 1, ... , m . |
|
|||||||
Введём |
m |
так называемых неопределённых множителей Лагранжа |
||||||||
1, 2 , |
, m |
и образуем функцию Лагранжа |
|
|||||||
|
|
|
F f 1g1 2 g2 |
... m gm . |
|
|||||
Эта функция зависит от n m переменных: x1, ... , xn , 1 , ... , m . Запишем |
||||||||||
для нее необходимые условия экстремума |
|
|
|
|
||||||
|
|
F 0 |
,…, |
F |
0, |
F 0 |
,…, |
F |
0 . |
(39.1) |
|
|
|
|
|||||||
|
|
x1 |
|
xn |
1 |
|
m |
|
Заметим, что последние m уравнений в (39.1) совпадают с уравнениями связей. Оказывается, что необходимые условия экстремума функции Лагранжа являются одновременно необходимыми условиями условного экстремума исходной функции.
Чтобы в какой-то мере «оправдать» метод множителей Лагранжа ограничимся нахождением экстремума функции двух переменных с одним уравнением связи. Допустим, что уравнение связи g(x, y) 0 изображается
гладкой кривой, т.е. кривой, в каждой точке которой существует касательная. Мы должны найти экстремум функции z f (x, y) , когда точки (x, y)
лежат на этой кривой. Двигаясь вдоль кривой |
g(x, y) 0 , например, слева |
направо, мы последовательно пересекаем |
линии уровня f (x, y) C . В |
точке (x0 , y0 ) , где кривая g(x, y) 0 касается одной из линий уровня f (x, y) C* , следует ожидать максимума, т.к. при переходе через эту точку возрастание C сменяется убыванием.
279