10313

[Введите текст]

Рис. 10.2

Из аналогичной формулы для тангенса угла «отражения»

Сведём вычисление угла между прямыми к вычислению угла между нормальными векторами к этим прямым. Заметим, что угол между прямыми

70

[Введите текст]

может быть только острым, а угол между векторами может быть и тупым.

71

[Введите текст]

В последнем случае, если дополнительно выполняется равенство

то эти прямые совпадают.

Обратим внимание на связь полученных условий взаимного расположения прямых с условиями разрешимости системы (10.2) двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Определитель этой системы

выполнено условие параллельности этих прямых. При этом возможны два случая. В первом, когда выполнено условие (10.3), прямые совпадают, и система имеет бесконечное множество решений (координаты любой точки прямой дают решение системы). Отметим, что условие (10.3) означает, что ранг расширенной матрицы совпадает с рангом матрицы системы, т.е.

и согласно теореме Кронекера-Капелли система совместна. Во втором случае, когда в условии (10.3) не выполнено второе равенство, прямые параллельны, ранг расширенной матрицы больше ранга матрицы системы, и система несовместна.

10.2. Пучок прямых, определяемый двумя пересекающимися пря-

мыми. Иногда при решении задач не следует спешить с нахождением точки пересечения двух прямых, решая систему уравнений (10.2), а лучше вос-

пользоваться понятием пучка прямых, проходящих через точку пересе-

чения этих прямых (в частности, когда нужно найти прямую, проходящую через точку пересечения данных прямых, и удовлетворяющую некоторому дополнительному условию). Уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересечения двух заданных прямых

[Введите текст]

Действительно, уравнение (10.4) – уравнение прямой. Так как точка пересечения этих прямых M 0 (x0 , y0 ) принадлежит каждой из этих прямых,

то ее координаты обращают в ноль обе скобки в (10.4), а, значит, при любомпрямая (10.4) проходит через точку M 0 .

10.3. Расстояние от точки до прямой. Пусть требуется вычислить рас-

комое расстояние равно абсолютной величине проекции вектора M1M 0 на направление нормального вектора N A, B .

73

[Введите текст]

Найдём координаты точки M1 (x1, y1 ) . Для этого выразим вектор M1M 0

Отсюда, приравнивая координаты векторов, получаем координаты точки

M1(4, 4) (см. рис. 10.6).

Рис. 10.6

10.4. Линейные неравенства. В заключение этой лекции выясним геометрический смысл неравенства

Построим прямую

74

[Введите текст]

и нормальный к ней вектор N A, B . Нас интересует множество точек M (x, y) , координаты которых удовлетворяют неравенству (10.7). Возьмём на прямой (10.8) произвольную, но фиксированную точку M 0 ( x0 , y0 ) .

Рис. 10.7

Поскольку Ax0 By0 C 0 , то, выражая отсюда C и подставляя в (10.7), получим, что левая часть этого неравенства (10.7) равна скалярному произведению вектора N A, B на вектор M 0M

N , M 0M A(x x0 ) B( y y0 ) 0 .

Итак, неравенству (10.7) удовлетворяют все точки плоскости, для которых угол между векторами N и M 0M – острый. Из рисунка 10.7 видно,

что все такие точки принадлежат одной полуплоскости. Чтобы выяснить, какая из двух полуплоскостей «отвечает» неравенству (10.7), достаточно проверить его выполнение для какой-нибудь одной точки из любой полуплоскости. Если координаты этой точки ему удовлетворяют, то и координаты всех точек полуплоскости, в которой выбрана «пробная» точка, будут его решениями, если нет – то нужная полуплоскость – другая.

75

[Введите текст]

Лекция 11. Плоскость

11.1. Различные виды уравнения плоскости. Перейдем теперь к изу-

чению уравнений плоскости в пространстве. Пусть в трехмерном пространстве с декартовой прямоугольной системой координат имеем плоскость П , и мы хотим получить уравнение, связывающее координаты любой точки, принадлежащей этой плоскости.

Рис. 11.1

76

[Введите текст]

Для этого зафиксируем какую-нибудь точку M 0 (x0 , y0 , z0 ) П и возьмем вектор, перпендикулярный (ортогональный, нормальный) к этой плоскости. Пусть это будет вектор N A, B,C . Очевидно, что для произволь-

Это и есть уравнение плоскости П , проходящей через заданную точку M 0 (x0 , y0 , z0 ) перпендикулярно заданному вектору N A, B,C .

где для краткости обозначено D Ax0 By0 Cz0 . Уравнение (11.2) назы-

вают общим уравнением плоскости. Обратим внимание, что уравнение плоскости является линейным уравнением относительно переменных x, y, z

, а коэффициенты при них – соответствующие координаты нормального вектора к этой плоскости.

Обратно, покажем, что уравнение вида (11.2) определяет плоскость

уравнению (11.2), имеют одну и ту же проекцию на вектор N A, B,C . Это означает, что точки M (x, y, z) принадлежат плоскости, перпендикулярной вектору N A, B,C и отстоящей от начала координат на расстояние | p | , где

[Введите текст]

Отсюда следует алгоритм построения плоскости по заданному уравнению (11.2). Через начало координат проведем прямую в направлении вектора N A, B,C и отложим на ней от начала координат отрезок OP дли-

ной | p | в направлении вектора N A, B,C , если p 0 , или в противоположном направлении, если p 0 . Через конец этого отрезка P проводим перпендикулярно ему требуемую плоскость.

Рис. 11.2

Рассмотрим некоторые частные случаи общего уравнения плоскости. Пусть один из коэффициентов перед переменными в уравнении (11.2) равен нулю (например, C 0 ). Тогда нормальный вектор этой плоскости

N {A, B,0}. Это значит, что он перпендикулярен оси O z , а плоскость параллельна этой оси

z

O

y x

Рис. 11.3

Теперь пусть два каких-нибудь коэффициента перед переменными в уравнении (11.2) равны нулю (например, A B 0 ). Тогда нормальный

вектор N {0,0,C} перпендикулярен плоскости xO y , а плоскость параллельна этой координатной плоскости

78