10299
.pdfТочное значение объёма получим, |
увеличивая число n |
точек деления |
||||
отрезка [ a,b] . При этом длина наибольшего из отрезков |
max( xk ) |
|||||
|
|
|
|
|
|
k |
должна стремиться к нулю, т.е. находим предел интегральной суммы |
||||||
|
n |
|
|
b |
|
|
V lim |
S (xk ) xk S (x)d x |
|
||||
n k 1 |
|
|
a |
|
||
0 |
|
|
|
|
|
|
Пример. Найти объём части |
кругового цилиндра |
x2 y2 R2 , |
||||
отсечённого плоскостями x 0, |
z 0, |
z |
h |
y . |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
R |
|
Рис. 35.2
Через фиксированную точку x 0, R проводим плоскость,
перпендикулярно оси Ox . Сечение тела представляет собой прямоугольный треугольник, площадь которого
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
S (x) |
|
|
R |
x |
|
|
R |
2 |
x |
2 |
|
|
(R |
2 |
x |
2 |
) . |
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
2R |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Отсюда объём |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V R S (x)d x |
|
h |
|
R (R2 |
x2 )d x |
|
h |
|
(R2 x |
x3 |
) |
|
R |
|
1 |
hR2 . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
2R |
2R |
3 |
|
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
35.2. Вычисление объёмов тел вращения. Пусть криволинейная |
||||||||||||||||||||||||||||||
трапеция, ограниченная |
|
кривой |
|
|
|
y f (x) , |
|
|
a x b , |
|
вращается |
относительно оси Ox . Найдём объём полученного тела вращения.
250
Рис. 35.3
Поскольку нам известна площадь поперечного сечения тела для каждого
значения x , а именно (сечение – круг): |
S(x) f 2 (x) , то |
b |
b |
Vx S(x)d x f 2 (x)d x . |
|
a |
a |
Пример. Найти объём тора («баранки»). Тор можно получить, вращая относительно оси Ox окружность x2 ( y a)2 r2
Рис. 35.4
Интересующий нас объём равен разности объёмов, полученных при
вращении кривых y1 и |
y2 . Поскольку фигура симметричная, то можно |
||||||
вычислять половину объёма |
|
|
|
||||
|
1 |
r |
r |
r |
|
|
|
|
V ( y22 y12 )d x ( y1 y2 )( y1 y2 )d x 4a |
r2 x2 d x |
|||||
2 |
|||||||
0 |
0 |
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
||||
Применим подстановку |
x r sin t . |
Тогда будем иметь |
|
|
|||
|
|
|
|
251 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
V 4a r2 |
2 cos2 (t)d t 2a r2 2 |
(1 cos 2t)dt |
|||||||
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a r2 (t |
1 |
sin 2t) |
2 a 2r2 . |
|
V |
|
2 2ar2. |
||||
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
тора |
|
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35.3. Несобственные интегралы. Вводя определённый интеграл как |
||||||||||||
предел интегральных сумм |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
b |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||
f (x)dx lim f (xk ) xk , |
max xk ,(35.1) |
|
|
|||||||||
a |
n k 1 |
|
|
k |
|
|
|
|
||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
мы предполагали, что подынтегральная функция |
f (x) непрерывна, а |
|||||||||||
промежуток |
интегрирования |
[ a,b] конечной |
длины. Распространим |
понятие определённого интеграла на более широкий класс функций. Пусть
функция имеет в промежутке [ a,b] |
разрывы первого рода. В этом случае |
|
под интегралом функции следует понимать сумму интегралов |
||
b |
c |
b |
f (x)dx f (x)dx f (x)dx , |
||
a |
a |
c |
взятых по отдельным интервалам, в которых функция остаётся непрерывной
(см. рис. 35.5).
Рис. 35.5
При этом и геометрическое значение интеграла как площади остаётся в силе.
Иначеобстоит дело, когда функция имеет разрыв второго рода в какой либо точке внутри интервала интегрирования или на одном из его концов. Начнём с примера. Так, формально написанный интеграл
252
1 dx (35.2)
0 x
не существует в обычном смысле, т.к. подынтегральная функция «уходит в бесконечность» на левом конце промежутка интегрирования (см. рис. 35.6). Попытаемся придать вполне определённый смысл интегралу (35.2), а значит, и понятию площади соответствующей бесконечной фигуры. Проведем прямую x и рассмотрим полученную криволинейную трапецию. Ее площадь равна интегралу
1 dx
x .
Рис. 35.6
Определим интересующую нас площадь бесконечной фигуры с помощью предельного перехода
|
1 |
dx |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lim |
|
|
lim 2 |
x |
lim 2(1 |
) 2 . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x |
|
|
|
||||||||
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В нашем примере предел оказался конечным. Таким образом, мы придали смысл интегралу
1 |
dx |
= lim |
1 |
dx |
|
2 . |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
x |
|
x |
|||||
|
0 |
|
|
|
||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Прежде чем дать общее определение интеграла от функции с бесконечными разрывами, заметим, что достаточно рассматривать только точки разрыва на одном из концов промежутка интегрирования: если разрыв внутри интервала, то интересующий нас интеграл разбивается в сумму двух несобственных интегралов с точками разрывов, лежащих на концах.
253
Если в промежутке [ a,b] функция f (x) непрерывна, за
исключением крайней точки (пусть для определённости это будет точка b ),
то несобственный интегралс бесконечными разрывами определяется как предел
b |
|
b |
|
f (x)dx lim |
f (x)dx, |
0 . |
|
a |
0 |
a |
|
|
|
В случае существования этого предела несобственный интеграл называют сходящимся. В противном случае говорят, что несобственный интеграл не
существует или расходится.
Для сходимости несобственного интеграла разрывной функции необходимо, чтобы эта функция «достаточно быстро» стремилась к бесконечности, когда аргумент стремится к точке разрыва. Что такое «достаточно быстро» поясним на следующем примере. Рассмотрим
|
|
|
|
|
|
x p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
несобственные интегралы вида |
1 |
dx |
с параметром p 0. Найдем |
||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 p |
|
1 |
1 (1 p), |
p 1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
dx |
|
|
lim x |
|
|
|
, |
p 1 |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
lim |
|
1 p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
lim ln x |
|
|
, |
p 1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, при p 1 интеграл сходится, а при p 1 – расходится. Этот
пример показывает, что несобственный интеграл с бесконечным разрывом оказывается сходящимся, если подынтегральная функция «уходит» в бесконечность не медленнее, чем функция x p с p 1.
Следующее важное обобщение понятия определённого интеграла заключается в том, что один или оба из пределов интегрирования являются бесконечными. Такие несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрированияопределяются с помощью предельных переходов следующим образом
|
|
|
|
A |
|
|
f (x)dx lim |
f (x)dx, |
a A , |
||
|
a |
A |
a |
|
|
|
|
|
|
||
b |
|
|
b |
|
|
|
f (x)dx |
lim |
f (x)dx, |
B b , |
|
|
|
B |
B |
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
f (x)dx f (x)dx f (x)dx . |
||||
|
|
|
|
c |
Если такие пределы существуют, то интегралы называют сходящимися, в противном случае – расходящимися.
254
3.5 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
Пример 1. Найдем площадь фигуры, заключённой между кривой |
||||||
y 1/(1 x2 ) 2и.5 осью абсцисс (см. рис. 35.7). |
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
1.5 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
y=1/(1+x2) |
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
-4 |
-3 |
-1 |
0 |
1 A |
3 |
4 |
|
|
|
Рис. 35.7 |
|
|
|
Задача сводится к вычислению несобственного интеграла |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
A |
dx |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
lim |
|
|
|
2 lim arctgx |
2 |
lim arctgA . |
1 |
x |
2 |
1 |
x |
2 |
1 x |
2 |
||||||||||
|
|
0 |
|
|
A |
0 |
|
A |
0 |
A |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интеграл оказался сходящимся, поэтому можно считать, что площадь этой
бесконечной фигуры равна |
3.14 кв.ед. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Пример 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
A |
dx |
|
|
|
|
|
A 2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
lim |
|
|
lim 2 |
x |
lim A . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x |
|
x |
|||||||||||||
0 |
|
|
A |
0 |
|
|
A |
|
|
0 |
A |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Этот несобственный интеграл – расходящийся.
Для сходимости несобственного интеграла с бесконечным пределом необходимо, чтобы подынтегральная функция «достаточно быстро» стремилась к нулю, когда аргумент стремится к бесконечности. Что такое
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
«достаточно быстро», показывают несобственные интегралы вида |
x p |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
с параметром p 0. |
Найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim x1 p |
|
A |
|
1 ( p 1), |
|
|
||||||
|
A |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
lim |
|
|
|
1 |
p A |
|
|
1 |
|
, |
p 1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A |
1 |
|
|
lim ln x |
|
A |
, |
p 1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
255
Итак, при p 1 интеграл сходится, а при p 1 – расходится. Таким образом,
несобственный интеграл с бесконечным пределом оказывается сходящимся, если подынтегральная функция стремится к нулю не медленнее, чем функция x p с p 1.
Раздел 7 . Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Лекция 36. Функции многих переменных
36.1. Понятие функции многих переменных. До сих пор мы изучали функции одной переменной. Теперь перейдём к изучению функций многих независимых переменных. Во-первых, к этому нас вынуждают практические приложения, так как почти во всех взаимосвязях, встречающихся в природе, функции, описывающие эти связи, зависят не от одного аргумента, а от многих. Во-вторых, и с чисто математической точки зрения существует необходимость в изучении свойств функций многих переменных. При этом большей частью достаточно рассматривать функции только двух переменных, поскольку для распространения результатов на функции трёх и более аргументов не возникает необходимости в существенно новых рассуждениях. Поэтому для простоты формулировок и краткости записей ограничимся случаем двух переменных там, где существо дела не зависит от их числа.
Если каждой точке ( x, y) , принадлежащей некоторому множеству
D плоскости xOy , поставлено в соответствие единственное действительное число z , то говорят, что на множестве D задана функция двух независимых переменных f ( x, y) .
В символической записи это выглядит следующим образом:
z f (x, y), |
(x, y) D . |
256
Множество D называется областью определения этой функции, а
множество соответствующих значений z |
называется областью значений |
||||
функции. |
|
|
|
|
|
Пусть S – площадь прямоугольника с размерами |
x и y . Тогда можно |
||||
определить функцию двух переменных |
|
|
|
||
|
|
|
|
||
S x y, |
D (x, y) : x 0, y |
0 . |
|
||
|
|
|
|
||
Пусть функция определена формулой |
z |
1 x2 y2 . Если функция |
задается формулой без указания области определения, то предполагается «естественная» область определения, т.е. та область, где данная формула
существует. В данном случае это замкнутый круг x2 y2 1.
Если функцию одной переменной изображают графически с помощью кривой, то функцию двух переменных представляют с помощью поверхности. Иногда это легко сделать, как в приведённом выше примере функции
z 1 x2 y2 .
Эта функция легко получается из уравнения сферы x2 y2 z2 1, поэтому
её геометрический образ – полусфера радиуса R = 1 с центром в начале координат, расположенная над плоскостью xOy .
Часто, особенно в картографии, функцию двух переменных изображают с помощью линий уровня. В плоскости xOy выделяют те
точки, в которых функция принимает одно и то же значение. Множество таких точек и представляет собой линию уровня C , т.е. кривую, уравнение которой
f (x, y) C, C const .
Эта кривая есть проекция на плоскость xOy точек пересечения поверхности z f (x, y) и плоскости z C . По картине линий уровня можно получить
представление о поверхности. Например, если линии уровня замкнуты в окрестности некоторой точки, то в этом месте поверхность имеет либо вершину, либо впадину. По «густоте» линий уровня можно судить о крутизне склонов поверхности (см. рис. 36.1).
257
10
5
0
-5
-10 4
2 |
4 |
|
0 |
2 |
|
0 |
||
-2 |
||
-2 |
||
|
||
-4 |
-4 |
|
|
Рис. 36.1 |
36.2. Предел и непрерывность функции двух переменных.
Приведем предварительно определение -окрестности точки M 0 (x0 , y0 )
как совокупность точек M (x, y) , |
удовлетворяющих неравенству |
|
(x x )2 ( y y )2 |
2 . |
|
0 |
0 |
|
Будем говорить, что последовательность точек
(x1, y1 ),(x2 , y2 ), ,(xn , yn ),
стремится или сходится к точке M 0 (x0 , y0 ) , если расстояние
dn (xn x0 )2 ( yn y0 )2
между n -м членом этой последовательности и точкой M 0 стремится к нулю
при n .
Отметим, что в дальнейшем мы будем применять одну их эквивалентных записей
x x0 |
x 0 |
M M 0 . |
|
|
|
y y0 |
y 0 |
|
Определение предела функции двух переменных по форме ничем не
отличается от определения предела функции одной переменной: число |
A |
||||
называется |
пределом |
функции |
z f (x, y) |
если |
для |
любойпоследовательности точек (x1, y1 ),(x2 , y2 ), |
,(xn , yn ), |
сходящейся к |
|||
|
|
258 |
|
|
|
точке (x0 , y0 ) , соответствующая последовательность значений функции zn f (xn , yn ) сходится к A . Символически это записывается так
lim f (x, y) A .
x x0 y y0
В качестве примера приведем функцию z |
2xy |
, у которой не |
|
||
x2 y2 |
||
существует предела в начале координат. |
|
Рис.36.2
Действительно, пусть точка (x, y) движется к началу координат по прямой y kx, 0 k . Тогда
lim |
2xkx |
|
|
2k |
, |
x2 (kx)2 |
|
k 2 |
|||
x 0 |
1 |
|
|||
y 0 |
|
|
|
|
|
т.е. при стремлении аргументов к началу координат по разным направлениям получаются различные «предельные» значения функции (см.
рис. 36.2). |
|
|
Понятие предела даёт возможность |
определить |
непрерывность |
функции в данной точке. А именно, функция |
z f (x, y) |
непрерывна в |
точке (x0 , y0 ) , если
lim f (x, y) f (x0 , y0 ) .
x x0 y y0
Если подробно «прочесть» это равенство, то непрерывность означает, что
259