10298
.pdfбыстро» поясним на следующем примере. Рассмотрим несобственные инте- |
||||||||||||||
гралы вида 1 dx |
с параметром p 0. Найдем |
|
|
|
||||||||||
x p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 p |
1 |
1 (1 p), |
p 1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
lim x |
|
|
|
, |
p |
1 |
||
|
|
|
dx |
1 p |
0 |
|
|
|
||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
lim ln x |
, |
p 1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, при p 1 интеграл сходится, а при p 1 – расходится. Этот |
||||||||||||||
пример показывает, что несобственный интеграл с бесконечным разрывом |
||||||||||||||
оказывается сходящимся, если подынтегральная функция «уходит» в беско- |
||||||||||||||
нечность не медленнее, чем функция x p |
с p 1. |
|
|
|||||||||||
Следующее важное обобщение понятия определённого интеграла за- |
||||||||||||||
ключается в том, что один или оба из пределов интегрирования являются |
||||||||||||||
бесконечными. Такие несобственные интегралы с бесконечными преде- |
||||||||||||||
лами интегрированияопределяются с помощью предельных переходов |
||||||||||||||
следующим образом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x)dx lim |
f (x)dx, |
a A , |
||||||||
|
|
|
a |
|
|
A |
a |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
b |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x)dx lim |
f (x)dx, |
B b , |
||||||||||
|
|
|
|
|
B |
B |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x)dx f (x)dx f (x)dx . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
3.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если такие пределы существуют, то интегралы называют сходящимися, в |
||||||||||||||
противном случае – расходящимися. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1. Найдем площадь фигуры, заключённой между кривой |
||||||||||||||
y 1/(1 x2 ) 2и.5 осью абсцисс (см. рис. 35.7). |
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y=1/(1+x2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-4 |
|
-3 |
|
|
-1 |
|
|
0 |
|
1 A |
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 35.7 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
250 |
|
|
|
|
|
Задача сводится к вычислению несобственного интеграла
|
|
|
dx |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
A |
dx |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
lim |
|
|
|
2 lim arctgx |
2 |
lim arctgA . |
1 |
x |
2 |
1 |
x |
2 |
1 x |
2 |
||||||||||
|
|
0 |
|
|
A |
0 |
|
A |
0 |
A |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интеграл оказался сходящимся, поэтому можно считать, что площадь этой
бесконечной фигуры равна |
3.14 кв.ед. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Пример 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
A |
dx |
|
|
|
|
|
A 2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
lim |
|
|
lim 2 |
x |
lim A . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x |
|
x |
|||||||||||||
0 |
|
|
A |
0 |
|
|
A |
|
|
0 |
A |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Этот несобственный интеграл – расходящийся.
Для сходимости несобственного интеграла с бесконечным пределом необходимо, чтобы подынтегральная функция «достаточно быстро» стремилась к нулю, когда аргумент стремится к бесконечности. Что такое «до-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
статочно быстро», показывают несобственные интегралы вида |
x p |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
с параметром p 0. |
Найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim x1 p |
|
A |
|
1 ( p 1), |
|
|
||||||
|
A |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
lim |
|
|
|
1 |
p A |
|
|
1 |
|
, |
p 1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A |
1 |
|
|
lim ln x |
|
A |
, |
p 1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, при p 1 интеграл сходится, а при p 1 – расходится. Таким образом,
несобственный интеграл с бесконечным пределом оказывается сходящимся, если подынтегральная функция стремится к нулю не медленнее, чем функция x p с p 1.
251
Раздел 7 . Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Лекция 36. Функции многих переменных
36.1. Понятие функции многих переменных. До сих пор мы изучали функции одной переменной. Теперь перейдём к изучению функций многих независимых переменных. Во-первых, к этому нас вынуждают практические приложения, так как почти во всех взаимосвязях, встречающихся в природе, функции, описывающие эти связи, зависят не от одного аргумента, а от многих. Во-вторых, и с чисто математической точки зрения существует необходимость в изучении свойств функций многих переменных. При этом большей частью достаточно рассматривать функции только двух переменных, поскольку для распространения результатов на функции трёх и более аргументов не возникает необходимости в существенно новых рассуждениях. Поэтому для простоты формулировок и краткости записей ограничимся случаем двух переменных там, где существо дела не зависит от их числа.
Если каждой точке ( x, y) , принадлежащей некоторому множеству
D плоскости xOy , поставлено в соответствие единственное действительное число z , то говорят, что на множестве D задана функция двух независимых переменных f ( x, y) .
В символической записи это выглядит следующим образом:
z f (x, y), |
(x, y) D . |
|
|
|
|
Множество D называется областью определения этой функции, а множе- |
|||||
ство соответствующих значений |
z |
называется областью значений функ- |
|||
ции. |
|
|
|
|
|
Пусть S – площадь прямоугольника с размерами |
x и y . Тогда можно |
||||
определить функцию двух переменных |
|
|
|||
|
|
|
|
||
S x y, |
D (x, y) : x 0, y 0 . |
||||
|
|
|
|
||
Пусть функция определена формулой z |
1 x2 |
y2 . Если функция |
задается формулой без указания области определения, то предполагается «естественная» область определения, т.е. та область, где данная формула су-
ществует. В данном случае это замкнутый круг x2 y2 1.
Если функцию одной переменной изображают графически с помощью кривой, то функцию двух переменных представляют с помощью поверхности. Иногда это легко сделать, как в приведённом выше примере функции
z 1 x2 y2 .
252
Эта функция легко получается из уравнения сферы x2 y2 z2 1, поэтому
её геометрический образ – полусфера радиуса R = 1 с центром в начале координат, расположенная над плоскостью xOy .
Часто, особенно в картографии, функцию двух переменных изображают с помощью линий уровня. В плоскости xOy выделяют те точки, в
которых функция принимает одно и то же значение. Множество таких точек и представляет собой линию уровня C , т.е. кривую, уравнение которой
f (x, y) C, |
C const . |
Эта кривая есть проекция на плоскость xOy точек пересечения поверхности z f (x, y) и плоскости z C . По картине линий уровня можно получить
представление о поверхности. Например, если линии уровня замкнуты в окрестности некоторой точки, то в этом месте поверхность имеет либо вершину, либо впадину. По «густоте» линий уровня можно судить о крутизне склонов поверхности (см. рис. 36.1).
10
5
0
-5
-10 4
2 |
4 |
|
0 |
2 |
|
0 |
||
-2 |
||
-2 |
||
|
||
-4 |
-4 |
|
|
Рис. 36.1 |
36.2. Предел и непрерывность функции двух переменных. Приве-
дем предварительно определение -окрестности точки M 0 (x0 , y0 ) как совокупность точек M (x, y) , удовлетворяющих неравенству
(x x0 )2 ( y y0 )2 2 .
Будем говорить, что последовательность точек
(x1, y1 ),(x2 , y2 ), ,(xn , yn ),
стремится или сходится к точке M 0 (x0 , y0 ) , если расстояние
253
dn (xn x0 )2 ( yn y0 )2
между n -м членом этой последовательности и точкой M 0 стремится к нулю
при n .
Отметим, что в дальнейшем мы будем применять одну их эквивалентных записей
x x0 |
x 0 |
M M 0 . |
|
|
|
y y0 |
y 0 |
|
Определение предела функции двух переменных по форме ничем не отличается от определения предела функции одной переменной: число A называется пределом функции z f (x, y) если для любойпоследователь-
ности точек (x1, y1 ),(x2 , y2 ), ,(xn , yn ), сходящейся к точке (x0 , y0 ) , соответствующая последовательность значений функции zn f (xn , yn ) сходится к A . Символически это записывается так
lim f (x, y) A .
x x0 y y0
В качестве примера приведем функцию z |
2xy |
, у которой не су- |
|
||
x2 y2 |
||
ществует предела в начале координат. |
|
Рис.36.2
Действительно, пусть точка (x, y) движется к началу координат по
254
прямой y kx, |
0 k . Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
2xkx |
|
|
2k |
, |
|
|
2 |
(kx)2 |
|
k 2 |
|||
|
x 0 |
x |
1 |
|
||||
|
y 0 |
|
|
|
|
|
|
|
т.е. при стремлении аргументов к началу координат по разным направлениям получаются различные «предельные» значения функции (см. рис.
36.2). |
|
Понятие предела даёт возможность |
определить непрерывность функ- |
ции в данной точке. А именно, функция |
z f (x, y) непрерывна в точке |
(x0 , y0 ) , если
lim f (x, y) f (x0 , y0 ) .
x x0 y y0
Если подробно «прочесть» это равенство, то непрерывность означает, что
функция определена в данной точке и некоторой её окрестности;
существует предел функции в этой точке;
предел функции равен значению функции в этой точке.
При нарушении хотя бы одного из этих условий, говорят, что функция имеет разрыв в данной точке. Свойство непрерывности через приращения выражается так
lim[ f (x0 x, y0 y) f (x0 , y0 )] 0 ,
x 0y 0
т.е. непрерывность означает, что «малым» изменениям аргументов соответствуют «малые» изменения функции. Ясно, что эти понятия легко распространить на функции многихпеременных.
Если функция непрерывна в любой точке некоторой области, то говорят, что она непрерывна в этой области. Убедитесь, пользуясь определением
непрерывности, что функция z x2 y2 непрерывна в любой точке плос-
кости.
36.3. Частные производные, производная по направлению. Для функции одной переменной производная в данной точке равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. В случае функции двух переменных приращения аргументов ( x, y) из данной точки M 0 (x0 , y0 ) в точку M (x0 x, y0 y) могут быть сделаны в любом направлении на плоскости. Это приводит к понятию производной функции по направлению, которая характеризует скорость изменения функции в выбранном направлении.
Начнем с простейшего случая, когда приращения происходят в направлении оси абсцисс, т.е. когда x 0, y 0 . В этом случае предел
255
lim |
f (x0 x, y0 ) f (x0 , y0 ) |
|
f (x0 , y0 ) f (x , y ) |
|
|
||||
x 0 |
x |
x |
x 0 0 |
|
|
||||
|
|
|
|
называется частной производной функции f (x, y) по переменной x в
точке M 0 (x0 , y0 ) . Аналогично можно определить частную производную по переменной y
lim |
f (x0 , y0 y) f (x0 , y0 ) |
|
f (x0 , y0 ) f (x , y ) . |
|
|
||||
y 0 |
y |
y |
y 0 0 |
|
|
||||
|
|
|
|
Из этих определений непосредственно следует, что для нахождения частной производной по данной переменной остальные переменные фиксируются и по обычным правилам дифференцирования отыскивается производная функции этой переменной. Например,
|
x |
z |
1 |
|
z |
|
x |
|||
z |
|
, |
|
|
|
, |
|
|
. |
|
y |
x |
y |
y |
y2 |
||||||
Выясним геометрический смыслчастных производных. Пусть в неко- |
||||||||||
торой окрестности точки M 0 (x0 , y0 ) |
задана функция z f (x, y) , у которой |
в этой точке существуют частные производные. Зафиксируем одну из переменных, например, переменную x .
Рис. 36.3
Тогда в плоскости x x0 (см. рис. 36.3) мы получаем функцию одной переменной z( y) f (x0 , y) . График этой функции – это сечение поверхности
256
|
Производной функции |
z f ( x, y) в точке |
M0 ( x0 , y0 ) в заданном |
||||
направлении s называется предел |
|
|
|
||||
lim |
s z |
lim |
f (x0 s cos , y0 |
s sin ) f (x0 , y0 ) |
|
f . |
(36.1) |
|
|
|
|||||
s 0 |
s |
s 0 |
s |
|
s |
|
В частности, частные производные |
z ; |
z |
это производные по |
|
|
|
|||
|
x |
y |
|
|
положительному направлению координатных осей. |
Найдём, например, |
|||
частную производную в точке M 0 (x0 , y0 ) |
положительном направлении |
|||
оси Ox . В этом случае угол 0 , y 0 , а |
s x и формула (36.1) |
примет вид
lim |
x z |
lim |
f (x0 x, y0 ) f (x0 , y0 ) |
|
f |
|
x |
x |
x |
||||
x 0 |
x 0 |
|
Лекция 37. Производные сложных функций
258
37.1. Дифференцирование сложных функций. Будем предполагать,
что функция z f (x, y) имеет непрерывные частные производные в области D , а функции x(t) и y(t) имеют непрерывные производные в проме-
жутке |
t . Тогда функция |
z f (x(t), y(t)) – сложная функция одной |
|||||||
переменной t . Для производной |
dz |
этой функции справедлива следующая |
|||||||
dt |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
формула |
|
|
|
|
|
||||
|
dz |
f |
dx |
f |
dy |
. |
|
(37.1) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
dt |
x dt |
y dt |
|
|
Для доказательства рассмотрим приращение
z f (x, y) f (x0 , y0 ) f (x, y) f (x0 , y) f (x0 , y) f (x0 , y0 ) .
В первой из разностей изменяется только x , а во второй – только y , т.е.
каждая из этих разностей – это функция одной переменной. Применим кним формулу Лагранжа (формулу конечных приращений)
|
|
z fx ( , y)(x x0 ) f y (x0 , )( y y0 ) , |
|
где |
лежит в интервале между x и x0 , а – между y |
и y0 . К разностям |
|
x x0 |
и |
y y0 опять применим формулу Лагранжа |
|
|
|
x x0 x(t) x(t0 ) x (t1 )(t t0 ) x (t1 ) t |
|
|
|
y y0 y(t) y(t0 ) y (t2 )(t t0 ) y (t2 ) t , |
|
где t1 ,t2 |
расположены между t и t0 . Таким образом, |
|
|
|
|
z fx ( , y)x (t1) f y (x0 , ) y (t2 ) . |
|
|
|
t |
|
Переходя вэтом равенстве к пределу и замечая, что при |
t 0 имеем |
tt0 t1,t2 t0 x x0 , y y0 x0 , y0 ,
сучетом непрерывности всех, входящих в это равенство функций, получаем
dz |
fx (x0 , y0 )x (t0 ) f y (x0 , y0 ) y (t0 ) . |
||
|
|
|
|
|
|||
dt t |
|
||
|
0 |
|
В силу произвольности значения t0 приходим к формуле (37.1).
259