10292

Раздел 6. Математический анализ. Интегральное исчисление

Лекция 29. Неопределенный интеграл

Наряду с задачейдифференцирования функции, в которой для заданной функции f (x) требуетсянайти ее производную f (x) , часто приходится

решать обратную задачу, называемую интегрированием функции: для заданной функции f (x) найти такую функцию F (x) , производная которой

этой обратной задачи.Происхождение термина интегрирование связано с именем Я. Бернулли (1654-1705). Вероятно, он произвёл термин от латинскогоintegro – приводить в прежнее состояние, восстанавливать.

29.1. Первообразная функция и неопределённый интеграл.Функция

F (x) называется первообразнойфункции f (x) на промежутке (a,b) , если для любого x (a,b) выполняется равенство

dF (x) f (x) . dx

К сожалению, это определение не даёт способа нахождения первообразной F (x) данной функции f (x) . Однако для основных

элементарных функций эта задача разрешима, поскольку известны их

число.

Из этого примера следует, что одна и та же функция имеет множество первообразных.Возникает вопрос – как найти всё это множество? Покажем,

210

то по формуле Лагранжа конечных приращений получаем, что (x) C , и,

следовательно, F1 x F2 (x) C .

Таким образом, достаточно найти одну первообразную F (x) данной функции f (x) , чтобы знать всё множество её первообразных F (x) C .

Для обозначения рассматриваемой операции – нахождения функции F (x) изравенства

dF (x) f (x)dx ,

был введён символ , применение которого к указанному равенству восстанавливает множество всех первообразных данной функции f (x)

(подобно тому, как знак обозначает операцию нахождения квадратного корня). Для краткости совокупность всех первообразных функции f (x) называется её неопределенным интеграломи обозначается так

f (x) dx F (x) C ,

где C – некоторая постоянная.Операция нахождения неопределенного интеграла называется интегрированием.При этом функция f (x) называется

подынтегральной функцией, f x dx – подынтегральным выражением, а знак– знаком интеграла.

Поставим вопрос: для всякой ли функции f (x) существует

первообразная, а, следовательно, и неопределенный интеграл?

Сформулируем без доказательства достаточное условие интегрируемости:

если функция f (x) непрерывна на интервале (a,b) , то на этом множестве у функции f (x) существует первообразная, а, значит, и неопределённый

интеграл. Ниже будем говорить об интегралах непрерывных функций, которые заведомо существуют.

211

Из определения неопределенного интеграла непосредственно следуют формулы, подчёркивающие, что операции интегрирования и дифференцирования взаимно обратные (с точностью до постоянной)

Это аналогично тому, как операции возведения в целую степень и извлечение корня, проведённые последовательно друг за другом, оставляют без изменения число, к которому они применялись

Отметим два свойства, непосредственно вытекающие из соответствующих правил дифференцирования: постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

k f (x) dx k f (x)dx k const ,

и неопределённый интеграл суммы или разности конечного числа функций равен соответствующей сумме (разности) интегралов этих функций, т.е.

( f (x) g(x))dx f (x)dx g(x)dx .

Для нахождения производной функции, полученной из основных элементарных функций с помощью алгебраических операций или суперпозиции, применялись таблица производных основных элементарных функций и правила дифференцирования. Формально, таблица интегралов элементарных функций может быть получена, если переписать справа налево таблицу производных. Однако для практического применения целесообразнее привести таблицу интегралов в следующем виде:

sin x dx cos x C cos x dx sin x C

212

cosdx2 x sindx2 x tg x ctg x C ,

где при вычислении интеграла суммы нескольких функций сумма произвольных постоянных, которая при этом получается, заменена одной постоянной.

Следует отметить, что некоторые интегралы не могут быть выражены через элементарные функции. В частности, это касается интегралов следующих функций:

29.2.Интегрирование методами подстановки и замены переменной.Еще одно важное свойство неопределенного интеграла, основанное на инвариантности формы первого дифференциала, позволяет находить интегралы функций, не входящих в таблицу.

Пусть

f (x) dx F (x) C

иформально подставим в эту формулу функцию x (t) ,производная которой непрерывна. Тогда получим так называемую формулу подстановки

f ( (t)) (t)dt f ( (t))d (t) F( (t)) C .(29.1)

Покажем, что формула (29.1), действительно, верна. Для этого найдём производную по переменной t правой части этого выражения

подынтегрального выражения слева.

Применение этой формулы позволяет находить интегралы сложных функций, используя таблицу основных интегралов. Например, найдем

cos(3x 2)dx .

Зная, что

cosudu sin u C

иделая в этойформулеподстановкуu 3x 2 , получим

214

cos(3x 2)d (3x 2) sin(3x 2) C ,

откуда найдем

cos(3x 2)dx 13 sin(3x 2) C .

Этот прием, основанный на подстановке некоторой функции в готовую формулу табличного интеграла, называют методом подстановки.

Рассмотрим теперь приём интегрирования с помощью замены переменной. Предположим, что нужно найти интеграл f (x)dx . Заменяем

переменную интегрирования некоторой дифференцируемой функцией x (t) , имеющей обратную функцию t (x) . Предположим также, что

(t) непрерывна.Тогда справедлива формула замены переменной в

неопределенном интеграле

f ( (t)) (t)dt F( (t)) C F(x) C

при x (t) , что подтверждает справедливость формулы (29.2).

Прием замены переменной состоит в том, чтобы после её проведения сделать такую замену, при которой для подынтегральной функции в полученном интеграле справа в (29.2) легко может быть найдена первообразная.

переменной x a sin t так, что

a2 x2 a2 a2 sin2 t a cost , dx a cost dt .

Следовательно,

Перейдём от переменной t к переменной x . В промежутке a x a

существует обратная функция t arcsin ax , поэтому

Заметим в заключение этой темы, что в некоторых случаях замену переменной непосредственно не осуществляют, а применяют так называемую операцию «внесения под дифференциал». Заменяя выражение(x)dx дифференциалом d (x) , получают

f ( (x))d (x) f ( )d .

216

Лекция 30. Методы интегрирования (продолжение)

30.1.Интегрирование простейших иррациональностей.Рассмотрим только простейшие случаи иррациональных подынтегральных функций.

Первый из них сводится к табличному интегралу выделением полного квадрата в подкоренном выражении. Для нахождения второго интеграла следует в числителе выделить дифференциал квадратного трехчлена d ( Ax2 Bx C) (2Ax B)dx .

В числителе дроби получим дифференциал подкоренного выражения d (3 2x x2 ) (2 2x)dx и разобьём интеграл на два интеграла

Винтегралах вида

a2 x2 dx , a2 x2 dx , x2 a2 dx

освобождаются от иррациональности применением тригонометрических подстановок. Для первого интеграла применяется замена x a sin t (можно

30.2. Интегрирование по частям.Рассмотрим метод интегрирования, который позволит нахождение одного интеграла заменить отысканием другого, «более простого». В основу этого метода положено следующее рассуждение. Пусть u (x) и v(x) – две функции, имеющие непрерывные

производные на некотором интервале. Найдем дифференциал d (u v) от произведения этих функций

d (u v) u dv v du ,

где dv v (x) dx, du u (x) dx . Перепишем это выражение в виде u(x) dv(x) d (u(x) v(x)) v(x)du(x)

и проинтегрируем обе его части. Учитывая, что d (u v) u v , получим

формулу интегрирования по частям

u(x) dv(x) u(x) v(x) v(x) du(x) .

Метод интегрирования по частям состоит в представлении интеграла

f (x)dx

ввиде u(x) dv(x) так, чтобы интеграл v(x) du(x) в правой части формулы

интегрирования по частям оказался «более простым». При нахождении функции v(x) можно произвольную постоянную C , возникающую при этом

интегрировании, положить равной нулю.

Найдем интеграл x e xdx . Введем обозначения: u(x) x ,

218

dv(x) e xdx . Тогда du(x) dx и v(x) e xd ( x) e x .

Применяя формулу интегрирования по частям, получим

переходе к правой части первый дифференцируется, а второй интегрируется. Нужно стараться, во-первых, чтобы интегрирование дифференциала dv не представляло трудностей и, во-вторых, чтобы

интеграл v(x) du(x) имел более простое подынтегральное выражение. Так,

мы получили более сложный интеграл, чем первоначально данный. Заметим, что если мы имеем интегралы вида

Pn (x)sin kxdx , Pn (x)cos kxdx , Pn (x)ekxdx ,

( Pn x – многочлен n -ой степени), то следует выбрать u(x) Pn (x) . При

этом интегрирование по частям проводится столько раз, какова степень многочлена Pn (x) . Если же имеем интегралы вида

Pn (x)arcsin kx dx , Pn (x)arccos kx dx , Pn (x)arctg kx dx ,

Pn (x)arcctg kx dx , Pn (x)loga kx dx ,

то выбираем в качестве функции u(x) либо обратную тригонометрическую функцию, либо логарифм.

30.3. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.Разнообразие тригонометрических функций и особенно формул, их связывающих, приводит к большому

219